借助数形结合思想 推开数学解题之门

马金玲

摘 要：数形结合思想在高中数学中有着广泛的应用，可给学生带来直观的认识，降低解题繁琐程度，提升解题效率.为使学生能够灵活应用数形结合思想解答相关数学习题，应注重结合自身经验，为学生展示数形结合思想的具体应用，使其更好地把握这一解题思想的应用细节.

关键词：数形结合思想;数学;解题;应用

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）10-0022-02

“数”与“形”有着密切的联系，两者结合起来可获得事半功倍的解题效果，因此教学中应注重数形结合思想的灌输，为学生系统、深入的讲解数学基础知识，使其掌握各种图象绘制技巧，并能根据图象构建正确的图形，灵活用于解答数学习题中，促进其解题能力的显著提升.

一、借助数形结合思想，解答零点习题

零点是高中数学的重要知识点，相关题型在高考中的出现频率较高.解答零点问题应注重根据题意对函数的形式进行转化，以方便的绘制出对应函数的图象，运用数学结合思想将其转化为图象交点问题，问题便迎刃而解.如下题：

已知函数f（x）=3x+x，g（x）=log 3x+x，h（x）=sinx+x的零点依次为x1，x2，x3，其大小关系正确的是（）.

A.x1

C.x3

D.x2

图1认真观察三个函数解析式，可知其均含有x，因此可将各解析式拆分成两部分，其零点分别表示函数y=3x、y=log 3x、y=sinx和y=-x交点的横坐标.在同一坐标系中绘出的函数图象，如图1所示：

由图可直观的看出三个函数和y=-x图象交点对应的横坐标关系，即，x1

二、借助数形结合思想，解答参数习题

三角函数是高中数学的重要构成部分，尤其求解三角函数表达式中相关参数的取值范围、个数等问题时借助数学结合思想，可直观的看到参数之间的关系，顺利突破题目，因此，解题中应提高数形结合思想应用意识，通过绘制对应的图形，充分挖掘题目隐含条件，高效的解答出相关习题.如下题：

已知函数f（x）=sin（ωx+π3）（ω∈Z），当x∈（0，π3]时，f（x）=32有唯一解则满足条件的ω的个数为（）.

A.5B.6C.7D.8

题目中ω正负不确定因此，需要进行分类讨论.①当ω>0时，由x∈（0，π3]，则ωx+π3∈（π3，πω3+π3]

∵f（x）=32有唯一解，绘制出y=sinx函数图象，如图2所示.

可知πω3+π3∈[2π3，7π3），解得ω∈[1，6），又∵ω∈Z則ω=1、2、3、4、5;

②当ω<0时，由x∈（0，π3]，则ωx+π3∈[πω3+π3，π3），同理易得πω3+π3∈（-5π3，-4π3]，解得ω∈（-6，-5]，又∵ω∈Z，则ω=-5;综上可知，满足条件的ω共有6个，选择B项.三、借助数形结合思想，解答方程习题函数与方程联系紧密，尤其一些方程习题通过转化为函数问题，借助函数图象运用数形结合思想能够快速作答.尤其为保证解题的正确性，应注重根据题设准确的绘制出不同定义域内的函数图象，通过函数图象交点迅速的判断出方程根的个数.如下题：

已知函数f（x）=-x，x≤0-x2+2x，x>0，若0

A.2B.3C.4 D.5

该题目是分段函数和二次函数综合题目难度较大.∵f2（x）-bf（x）=0，则可得f（x）=0或f（x）=b，在平面直角坐标系中画出函数f（x）的图象如图3所示：

由图3可清晰的看到当f（x）=0时，x=0或x=2共两个根;当f（x）=b，0

四、借助数形结合思想，解答向量习题

高中阶段向量既可以单独出题，也可以作为解答其他习题的工具，尤其在解答向量与三角形结合的习题时，通过构建合理的直角坐标系，将向量之间的关系运用坐标表示出来，而后通过坐标的运算进行求解，可迅速解答出难度较大的习题.如下题：

已知AB ⊥AC ，|AB |=1t，|AC |=t，若P点是△ABC所在平面内一点，且AP =AB AB +4AC AC ，则PB ·PC 的最大值为（）.

A.13B.15C.19D.21

解答该题目时可运用数形结合法.根据题意，构建以A为原点，AB 方向为x轴，AC 方向为y轴的平面直角坐标系，如图4所示：

∵|AB |=1t，|AC |=t，，所以B（1t，0），C（0，t），又∵AP =AB AB+4AC AC ，则P（1，4），故则PB =（1t-1，-4）， PC =（-1，t-4）， PB ·PC =17-（4t+1t），而4t+1t≥24t·1t=4，则PB ·PC ≤17-4=13，当且仅当4t=1t，t=12时取等号，此时PB ·PC 的最大值为13，选择A.

借助数形结合思想解答高中数学习题时，不仅要认真审题，将陌生的问题转化为熟悉的问题，而且还要运用所学知识准确地绘制出各种函数图象以及图形，通过对图象、图形的认真分析，准确的找到相关参数之间的内在关系，在解题中少走弯路，顺利的得出正确答案.

参考文献：

[1]张慧萍.数形结合思想在高中数学教学与解题中的有效运用[J].新课程，2020（42）：208.

[2]温小鹏.数形结合思想在高中数学教学中的应用[J].发明与创新（职业教育），2020（10）：80.

[3]杨颖.探析高中数学解题中数形结合思想的应用[J].科学咨询（教育科研），2020（10）：139.

[4]王霞霞.数形结合方法应用于高中数学教学的实践[J].学周刊，2020（28）：107-108.

[责任编辑：李 璟]