再现椭圆定义 渗透核心素养

李小蛟

摘 要：高考中对椭圆的定义考查是一种常态，特别是小题（选填题）的考查更为突出.现行教材对椭圆的定义我们称为第一定义，实质上第二、第三定义在我们的教材例题及练习与高考试题中也经常以不记名的方式呈现.

关键词：再现;定义;思考

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）10-0054-03

一、考题再现

（2018年全国卷Ⅲ理20）已知斜率为k的直线l与椭圆x24+y23=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m>0）.

（1）证明：k<-12;

（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且

FP+FA+FB=0.

证明：|FA|，|FP|，|FB|成等差数列，并求该数列的公差.

试题分析

本题第（1）问考查直线与椭圆位置关系，涉及直线斜率与弦中点，考生很容易想到设直线方程，将直线与椭圆方程联立，运用韦达定理写出中点坐标，再利用中点在椭圆内部求解斜率范围，更一般的方法应该是运用设而不求的思想，用“点差法”解决中点弦这一类问题;第（2）问思维难度较大，要求考生对FP+FA+FB=0.正确理解并合理转化，可以理解为三角形的重心，也可以直接将坐标代入求解出的m的值，再利用相关知识求解出相应距离，证明等差数列，并求出相应公差;如何计算出的|FA|，|FP|，|FB|长度是难点，考生未能突破这一难点，究其原因在于对椭圆定义、焦半径理解掌握不到位，不能有效的运用椭圆定义解决相关问题.

解析 （1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则

x214+y213=1，x224+y223=1.

两式相减，并由y1-y2x1-x2=k，得x1+x24+y1+y23·k=0.

由题设知x1+x24=1，y1+y23=m，于是k=-34m①

由题设得0<m<32，故k<-12.

（2）由题意得F（1，0），設P（x3，y3），则（x3-1，y3）+（x1-1，y1）+（x2-1，y2）=（0，0）.

由（1）及题设得x3=3-（x1+x2）=1，y3=-（y1+y2）=-2m<0.

又点P在C上，所以m=34，

从而P（1，-32），|FP|=32.于是|FA|=（x1-1）2+y21=（x1-1）2+3（1-x214）=2-x12.

同理|FB|=2-x22.所以

|FA|+|FB|=4-12（x1+x2）=3.故2|FP|=|FA|+|FB|，即|FA|，

|FP|，|FB|成等差数列.

设该数列的公差为d，则2|d|=

||FB|-|FA||=12|x1-x2|=12（x1+x2）2-4x1x2.②

将m=34代入①得k=-1.所以l的方程为y=-x+74，代入C的方程，并整……