浅谈高中数学竞赛解题思维

季远林

摘要：高中数学知识的抽象性较强，特别是竞赛题目，其难度更高，但是只要学生掌握正确的解题思维，其才能够在解答数学题目时做到游刃有余。本文即是从引导学生学会高效审题入手，结合具体题目对特殊值解题思维法、逆向解题思维法以及构造解题思维法进行阐述，以供大家参考。

关键词：高中数学;数学竞赛;解题思维中图分类号：A 文献标识码：A 文章编号：（2021）-27-075

随着时代的发展和新课改的不断推进，传统的高中数学教学模式已不再满足当今时代的教学发展需要。而今的高中数学教学不再单一的注重数学知识的传授，更加注重学生解题思维的培养。因为只有提升学生自身的解题思维能力，学生才能够更加深入地学习和理解高中数学知识，也才能够更加娴熟地运用数学知识。从整体而言，数学竞赛题目的难度是普遍高于日常普通数学考试的，但是数学竞赛重在锻炼学生们的思维能力，而不是提高解题难度，这才是开展高中数学竞赛的初衷和目的。因此，借助高中数学竞赛题目的方式锻炼学生们的解题思维能力属于一种很好的教学方法。笔者结合多年的教学经验，针对高中数学竞赛解题思维教学进行深入地分析与研究，认为可从以下几个方面着手。

一、特殊值解题思维法

所谓特殊解题思维法，指的就是通过特殊值带入的方式进行解题。这种解题思维方式虽然偏于极端，但却是一种非常有效的解题思维。学生在遇到设定函数取值范围的这一类题目时，可以采用该方法进行解题。需要注意的是，并不是所有涉及到函数范围的题目都可以运用极限解题思维，这一点需要区分，否则不仅会误导学生思维，而且还会白白消耗学生们的解题时间。一般而言，特殊值解题思维法主要应用于选择和填空等小题目的作答。

例如这道题：已知f（1-x）/（1+x）=（1-x2）/（1+x2），则f（x）的解析式可取为（）Ax/（1+x2） B-2x/（1+x2） C2x/（1+x2） D-x/（1+x2）。这道题目的解题思路极为明确，先设（1-x）/（1+x）=t，而后反向运用x代替t，并带入上述等式，最终可以得出C选项正确。但是，这种解题思路比较费时耗力。因为上述为函数等式，所以就可以选择特殊值法进行作答。那么，在具体选择哪一个特殊值呢？这就需要学生根据具体的题型而定。比如这道题中，学生就可以取x=0的特殊值，这样对于后续的计算最为方便。通过特殊值带入可以得出f（1）=1的结论。此时可以继续将x=0带入A、B、C、D四个选项的解析式中进行求解，只有C选项等于1，则可判断出C选项为正确答案。如此既提高了解题的速度，又提高了解题的效率。

二、逆向解题思维法

所谓逆向解题思维法，指的是一种将问题倒过来思考的解题方法。很多时候，我们发现正向无法解题，或者说通过正向的方式解题比较困难，我们就可以尝试通过反向的方式进行解题。所谓反向解题，就是要调转自己的思维，不要为题目本身所束缚。其实，在上述特殊值解题思维法的举例当中，也应用到了逆向解题思维法。即在特殊值带入构建等式之后，通过将特殊值带入选项的方式进行反向论证，如此也属于是对逆向解题思维的一种应用。通常的逆向解题思维法多应用于题目论证，下面就以证明题为例对此方法进行阐述。

例如这道题，已知a、b、c是三个正整数，而且b-a=c-b，那么请证明c2-ab-b2+xz=b2-xz-a2+bc。如果单看这道题目以及所给出的题目关系，会感觉有些混乱，因此感到毫无头绪。但是通过挖掘题目当中的关键信息，比如b-a=c-b，我们可以断定a、b、c之间成等差数列的关系。如果我们再对最后的证明结果进行变式，就会发现最终的证明结果可以转换为2*（b2-ac）=c2-ab+a2-bc。这就相当于是要证明c2-ab、b2-xz、a2-bc三者之间互成等差关系。搞清楚题目的本意之后，即可思考解题方法。此题目，如果从2b=a+c的角度切入，則难以得出2*（b2-ac）=c2-ab+a2-bc的结论，因为我们日常所做题目多是从繁到简，而绝非从简倒繁。所以在解答该道题目时，就应当通过反证的方式进行切入，即从2*（b2-ac）=c2-ab+a2-bc得出2b=a+c的结论，此便是逆向解题思维法。

三、构造解题思维法

所谓构造解题思维法，指的是根据已有的题目条件进行方程构造、图像构造、函数构造等方式，进而得出题目结论的一种解题思维方法。其实在高中数学竞赛题目当中，存在诸多条件简单的数学题目。高中学生都清楚，题目越简单，解答起来就会越难，因为题目简单，解题条件就会减少，故而解答起来难度会有所增加。遇到条件简单的题目，教学老师可以引导学生通过构造的方式进行解题，从而将简单的题目条件丰富起来，从而增加解题的思路和途径。例如下面这道题：求函数f（x）=（5+sinx）/（6-cosx）的值域。这道题目就一句话，条件也只有一个，非常的简单。但是仅通过给出的条件并不能实现对该道题目的作答，所以就需要根据题目构造条件。f（x）=（5+sinx）/（6-cosx）可以看做是（6，5）与（cosx，-sinx）连线的斜率，如此一来，此道题目也就变换成为求取（6，5）与（cosx，-sinx）连线斜率的最大值和最小值。仅是这么一个简单的构造转换，才使得这道数学题目有了新的解题方向。

除了以上所提到的三种高中数学竞赛题目解题思维之外，还包括很多种其他的数学解题思路，比如化繁为简法、有序排列法、关系影射反演法、动静结合法等，此处不再一一赘述。但是无论教导学生学习哪一种数学解题馊味，教学老师都要与具体的高中数学题目相结合，如此才能加深学生对于相关数学解题思维的学习与认识。其次，教学老师要注重引导学生学会审题，这是保证学生有效运用各种解题思维的前提和关键。在此基础上，还要加强学生的课下练习，从而不断强化学生自身的高中数学解题思维和解题能力。

参考文献

[1]贺万一浅谈高中数学竞赛解题思维[J]新课程（下），2019（05）：65

[2]薛景隆论高中数学竞赛解题思维与命题探究[J]祖国，2017（17）：239

[3]李斌试探高中数学竞赛解题思维探讨[J]中华少年，2016（03）：177-178