在解答阅读理解型问题的过程中培养数学能力

摘要：通过教育教学提高学生的数学素养是数学教育追求的最高目标，数学素养主要是由“四基四能”构成的.数学能力是“四能”为核心并且由多种能力组合而成的重要素养，培养和提高学生的数学能力是落实“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同发展”这个“核心理念”的宏观措施.解答阅读理解型问题有助于培养、提高和发展学生的数学能力.

关键词：阅读理解;试题点评;语言训练;阅读材料

提高学生的基本数学素养是数学教育教学的根本目的，数学能力是数学素养的关键构成因素，学生的数学能力是在数学学习和解决问题的过程中形成和发展起来的.《义务教育数学课程标准》（2011年版）（以下简称《课标（2011年版）》）非常重视学生的数学阅读活动，例如，在“实施建议”中提出“为考查学生从具体情境中获取信息的能力，可以设计阅读分析的问题”[1].实践证明，加强阅读理解型问题的教学与研究是提高学生数学能力的有效途径[2].

数学阅读是一个完整的心理活动过程，包含对语言符号（文字、数学符号、术语、公式、图表等）的感知和认读、新概念的同化和顺应、阅读材料的理解和记忆等各种心理活动因素.它是一个不断假设、证明、想象、推理的积极能动的认知过程[3].

1 认识阅读理解型问题

阅读理解型问题是最近几年中考中才逐渐盛行起来的一类题目，这样的题目由两大部分组成：一是阅读材料;二是需要学生解答的问题.阅读材料部分相当于传统意义上的“例题”部分，学生通过阅读，深刻理解材料的含义，才能有效解决后面的问题.

解答阅读理解型问题需要学生具备多种数学能力，下面结合2021年山西省中考第20题加以说明.

（四）试题点评

本题以“阅读与思考”为题目，给出了“图算法”的意义，并提出了两个问题，要求学生解答.属于典型的阅读型题目，主要考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，实数的混合运算等知识点.

解答阅读理解型问题首先要求学生具有较强的阅读理解能力，这是解决阅读理解型问题的基础，本题中正确理解“图算法”的定义是解题的关键.

从数学素养的角度看，学生通过解答本题，不仅仅提高了阅读理解能力，还有助于提高下面几种能力：

（1）学习新知识的能力

本题把两个能用“图算法”解决的问题作为例题，放在供学生阅读的材料中.“图算法”对于学生来说是一种新的知识，学生通过阅读材料，能理解图算法的意义，知道利用图算法可以解决“一类”特殊问题，其基本思路是：绘制图形，根据图形直接读出答案.

（2）获取信息的能力

数学问题是由条件和结论两部分组成的，解答数学问题，首先需要知道已知条件，这些条件是解答问题的必要信息，阅读理解型问题中的“信息”隐含在阅读材料之中，这些信息只有通过阅读思考才能“提取”出来.获取信息能力是一个人适应未来社会发展需要的基本素养之一，数学教学应结合具体问题培养学生获取数学信息的能力.

（3）语言表达能力

数学教学要培养学生用数学的“眼睛”观察现实世界，用数学的“思维”思考现实世界，用数学的“语言”描述现实世界的能力[4]，这是社会公民的一种必备素养.本题中要求学生“简要说明图算法的优越性”考查的就是学生的语言表达能力，数学教学应强化训练学生的语言表达能力.

（4）问题解决的能力

问题解决的能力是一种“综合能力”，本题中的问题（2）有两问，第一问主要考查学生的运算能力，第二问主要考查学生的绘图技能、几何论证能力以及计算能力等，解决的关键是添加辅助线，构造相似三角形，根据相似三角形的性质建立比例式，然后计算求解.

学生通过解答本题能进一步感悟到数形结合思想和方程思想.

2 培养学生解答阅读理解型问题的能力

学生如何才能顺利解答阅读理解型问题呢？这是一个“综合问题”，解答阅读理解型问题需要学生具备多种“基础能力”力，这些基础能力包括数学思考能力、探究发现能力、数学猜想能力等.教学中教师除了要加强这几种能力的培养和训练外，还应重视下面几个问题.

2.1 培养学生的阅读理解能力

阅读理解能力的强弱主要体现在对数学语言的熟练使用程度上.数学语言作为一种科学语言，它是数学的载体，数学概念都是用数学语言加以精确定义的.数学语言有助于学生更加简捷的进行探索活动、领会数学知识、相互交流数学学习中遇到的各种问题.数学阅读活动是一种数学思维活动，而数学语言则是数学思维活动的有力工具.阅读理解型问题中的“阅读材料”是用数学语言给出的，教学中应加强数学语言的训练，在训练中要求学生具备下面两点：

一是准确的把握、理解数学语言的精确涵义，这是进行数学阅读的基础.数学语言的基本特点主要表现在“简练、严密、精确”三个方面.如对于数学语言之精炼，一方面体现于量上之“少”，一方面则见著于质上之“精”.我们可以借“增之一分则太长，减之一分则太短，著粉则太白，施朱则太赤[5]”来作为对数学语言之简练特点的文学形容.

数学语言叙述中的一字之差、数学符号表示中的一笔不同往往会带了意义上的很大差异，如“除”与“除以”、“切线”与“割线”、“包含”与“包含于”、“大于”与“不小于”、“>”与“<”、“=”与“≈”“≌”与“∽”等等.

二是能對三种语言灵活的进行相互转化，这是学生进行数学阅读的必备条件.数学有文字语言、符号语言和图形语言三种形式，在学生能准确把握数学语言后，要求学生能熟练进行下面三种转化：

（1）把一个用抽象表述方式阐述的问题转化成用具体的或不那么抽象的表达方式表述的问题;

（2）把用符号形式或图表表示的关系转化为言语的形式以及把言语形式表述的关系转化成符号或图表形式;

（3）把一些用言语形式表述的概念转化成用直观的图形表述形式.

学生对数学语言如果能达到上面要求，就具备了解答阅读理解型问题前提条件.

案例1 下面关于和差概念的表述有问题吗？

如图5，已知线段a，b（a>b）.用圆规在射线AE上截取线段AB=a，再在AB的延长线上截取线段BC=b，则线段AC就是线段a与b的和，记作AC=a+b.如果在线段AB上截取线段BD=b（图6），那么线段AD就是线段a与b的差，記作AD=a-b.

请仔细阅读，并观察图形，你认为上述材料中存在什么问题？

设计意图 在学习了线段的和、差定义后，我在“当堂检测”中以这两个概念为载体给出了上面的阅读材料，目的是考查学生在阅读过程中对线段和、差的概念是否真正理解，并且对三种数学语言（即文字语言、符号语言、图形语言）能否准确的进行相互转化.结果全班55名学生竟然没有一个发现材料是有问题的.

线段的和、差运算结果，既能用数量表示（和差的代数式）关系，也能用图形表示（一条新的线段）.学生的阅读理解是否正确，应从这两个方面同时进行检测.

事实上，图6中标志D点小弧线的“弯向”是有问题的，应改为图7所示的“弯向”.只有对数学图形语言有非常准确的理解，才能发现问题.我们认为，学生只有精准阅读，才不会出现类似的问题.

笔者认为，强化数学语言训练是培养学生精准阅读的一条重要并且有效的途径.数学教学中，应结合具体内容让学生反复对三种语言进行相互转化训练，以不断提高和发展学生的数学精准阅读能力，这是学生解答阅读理解型问题的前提条件.

2.2 加强问题解决教学

问题解决既是课程目标，也是一种能力，这是培养学生解答阅读理解型问题能力的有效措施.关于这个问题，笔者发表过多篇文章，如[6][7][8]等.这里就不赘述.

2.3 精心设计阅读材料

数学课堂教学中，引导学生阅读的内容主要包括：数学教科书的正文;数学教科书中提供的阅读材料;教师根据课堂所学内容随时补充的阅读资料;其他一些与数学、科学等有关的科普书籍等.在实际教学时，教师应根据学习内容，既做到面向全体学生，又考虑到学生发展的差异.在保证基本要求的前提下，结合具体的课程内容和学生的特点，精心设置一些供学生阅读的材料，用“小资料”“知趣园”“史海漫游”等栏目给出.

案例2 史海漫游——漫谈相似形[9].

我们知道，形状相同的平面图形叫做相似形，形状相同且大小相等的图形叫做全等形.因此，全等形是相似形的特殊情况.两个全等多边形是相似比为1的相似多边形.

人类对相似形的研究和应用，有着悠久的历史.

古希腊数学家泰勒斯（Thalcs，约公元前625—公元前547）是希腊几何学的先驱，早于欧几里得约300年，他已开始了对全等三角形和相似三角形的研究.在他提出的为数不多的几何命题中，就有“两角及其夹边分别相等的两个三角形全等”，并根据相似三角形的原理，利用金字塔的塔高与垂直于地面的木杆的杆高之比等于它们的影长之比，测量出了埃及金字塔的高度.

欧几里得的《原本》中，在系统地建立了与全等形有关的知识体系后，专门有两卷（第Ⅴ卷和第Ⅵ卷）研究了比例论和相似图形. 莱布尼兹

1679年，德国数学家莱布尼兹（Leibniz，1646—1716）在研究图形的相似问题时，产生了一个奇妙的想法，他把拉丁字母S横过来，把相似符号写成“”，用“∽”表示全等.后人在此基础上，创造了全等符号“≌”，其中上面的“∽”表示两个图形相似，下面的“=”表示两个图形的大小相等，这充分反映了两个全等形形状相同、大小相等的本质.正因为相似符号“∽”和全等符号“≌”具有直观、简便等优点，所以这两个符号被数学界沿用至今.

设计意图 数学知识之间是相互关联的，数学教学要凸显这种“关联”，在具体教学过程中，应注意整体设计，突出核心内容，体现知识的实质性联系.

我们知道全等形和相似形具有“特殊与一般”的关系，在学习“顺序”上有前后之分.先学全等形，后学相似形.学习完相似形后，为帮助学生体会到全等形和相似形到内在联系，笔者用“史海漫游”栏目给出了上面的阅读材料“漫谈相似形”.

阅读材料的内容有三：（1）阐述了全等形与相似形的关系;（2）列举了古希腊数学家泰勒斯用相似三角形的性质测量金字塔高度的例子;（3）德国数学家莱布尼兹关于相似符号“∽”与全等符号“≌”的创造过程.

这个材料介绍了数学史上对相似形的研究，开拓了学生的眼界，能激发他们学习数学的兴趣，为学生认识相似形与全等形提供了帮助，促使学生从整体上把握全等形与相似形.也符合《课标（2011年版）》提出的“对于学有余力并对数学有兴趣的学生，教师要为他们提供足够的材料和思维空间，指导他们阅读，发展他们数学才能[1]”的建议要求.3 结语

阅读理解型问题有助于培养学生的多种能力，或者说学生在解答阅读理解型问题的过程中伴随着多种数学能力的形成与提高.加强阅读理解型问题的教学研究是新时代数学素养教育的需要.

教师在备课过程中，要结合具体的学习内容精心设计一些“给定材料—阅读理解—应用解答”的题目，以此引导学生精心阅读、思考、探索、猜想、证明、计算等活动，在活动的过程中逐步提高学生的综合数学能力，从而发展学生的数学核心素养.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]李树臣.加强阅读理解教学，提高学生数学能力——基于能力考查的阅读理解型问题例析[J].数学教学，2020（3）.

[3]李树臣.培养学生数学阅读能力的一般方法[J].中国数学教育，2011（4）.

[4]史宁中.数学基本思想18讲[M].北京：北京师范大学出版社，2016.

[5]薛茂芳.数学概念及其教学（修订版）[M].北京：光明日报出版社，2013.

[6]李树臣.实施问题解决策略，让学生真正会学习[J].中学教研（数学），2014（12）.

[7]李树臣.认真研读课程标准，加强问题解决教学[J].中学数学杂志，2017（2）.

[8]李树臣.加强抽象推理模型教学，落实数学教学核心目标[J].中学数学杂志，2017.

[9]展涛.义务教育教科书（数学 九年级上册）[M].青岛：青岛出版社，2013.