构建初中数学活动 促进师生共同发展

摘  要：随着大数据、云计算和人工智能的迅猛发展，数学越来越重要. 为了提升初中学生学习数学的兴趣，加强数学应用意识，培养数学学科核心素养及创新精神，广州市教育研究院于2014年开始组织“玩转数学——广州市初中生数学创新作品评比”活动，引导初中生开展运用数学知识解决现实问题的研究性学习活动. 学生研究作品视角新颖、独特，颇具实用性、时代性、地域特色和推广价值，还有学生的研究作品拿到了国家专利. 活动对改变教师的教学观念、提升专业素养都起到了较好作用.

關键词：玩转数学;数学应用;创新精神

当今世界正经历百年未有之大变局，我国发展面临的国内外环境发生深刻、复杂变化，我国“十四五”时期及更长时期的发展对加快科技创新提出了更为迫切的要求. 面对挑战，基础数学“教与学”方式亟需改变. 为此，笔者结合教研工作，组织了“玩转数学——广州市初中生数学创新作品评比”（以下简称“玩转数学”）活动，在全市初中学生中组织开展应用数学知识解决实际问题的主题研究活动，尝试在数学教学中通过综合实践活动探索培养学生数学学科核心素养的新途径.

“玩转数学”活动本着“快乐参与，玩转数学”理念，每年在全市的初中学生中举行，学生自由组合成研究团队，以团队形式围绕数学知识开展研究，形成研究报告. 经过各区初选后，最终进行市级评比展示. 在进行市级评比时，每个研究团队都要经历提交研究报告、现场展示和现场答辩三个环节.

一、活动的育人价值

经过长期的初中数学教研工作，笔者发现很多数学课等同于解题课，教师着重研究解题技巧，重点教学生如何套用模型解题. 优等生和中等生忙于“刷题”，将数学作为考试拿分的重要科目;学困生则惧怕数学，更有甚者完全放弃数学学习. 很多学生不明白学习数学的目的和意义，数学学习常停留在纸上谈兵、机械套用、思路僵化的状态. 有些学生缺乏基本的数学学科核心素养，对知识不求甚解，不清楚数学知识之间的内在联系，没有在数学学习的过程中积累一定的研究问题的基本方法、经验和策略，极少在生活中发现数学和应用数学，无法感悟数学的价值，从而造成学习数学的动力不足，对后续学习和持续发展造成了极大的阻碍.“玩转数学”活动正是为了改善这种局面，发挥其应有的育人价值，恢复数学教育的本来面目.

1. 发展数学学科核心素养

“玩转数学”借助生活化、情境化的“数学味”的研究活动，激发学生的学习兴趣，促使学生关注数学的应用性，善于用数学的眼光看待生活中的一些问题，体会数学的作用，并由此积累一些研究问题的方法和经验.

在开展“玩转数学”活动时，学生需要运用数据分析、直观想象、逻辑推理等素养去发现问题和提出问题，运用数学抽象、数学建模、数据分析、数学运算和逻辑推理等素养去分析问题和解决问题，进而会用数学的语言论述、表达问题，形成结题报告. 整个研究活动需要综合运用这六大核心素养，提升学生综合运用数学知识解决实际问题的能力，从而培养学生的创新意识.

2. 落实“五育并举”的育人要求

按照全国教育大会提出的人才培养需要德智体美劳“五育并举”全面发展的要求，“玩转数学”活动紧密联系实际生活，尊重学生的认知规律，充分体现立德树人鲜明导向，强调研究的过程性和展示结果的立体性，促进学生的全面发展.

“玩转数学”活动在寻找有意义、有价值的研究课题的过程中培养了学生的社会责任感和创新精神. 该研究有助于学生养成严谨踏实、务实求真的习惯，培养学生的理性精神. 研究过程真实而曲折，有助于培养学生积极探索、锲而不舍的科学精神. 活动设置的现场展示与答辩环节则培养了学生的沟通、合作和表达能力. 综上所述，“玩转数学”活动培养学生从“做研究”到“做人做事”，在培养学生形成正确的人生观、价值观、世界观等方面发挥着独特的作用.

二、活动的特点

1. 彰显学科特征，鼓励跨学科融合

“玩转数学”并非通常意义上的综合实践活动，而是突出数学学科性，让学生在真实的情境中研究数学，运用数学知识解决问题，领悟数学知识中蕴涵的思想方法和精神实质，使学生真正感受数学的魅力和作用. 其精髓是让学生利用所学的数学知识进行创造发现、计划并开展研究，其核心是“发现问题—设计研究方案—利用数学及相关知识实施方案—将研究过程与结论传达给大家”. 由于真实情境中往往融合了数学、科学、技术、工程、艺术等，因此鼓励跨学科融合. 学生通过对跨学科数学问题的探究，获得跨学科的视野和思维，在自主、合作、探究等活动过程中亲身体验与数学相关的知识与技能，从而产生强烈的参与感和社会责任感.

因此，“玩转数学”活动并不指定研究课题，而是提供了一些选题方向和研究案例，让师生既有具体可供参考的范本，又有自由发挥的空间. 其中，提供的选题方向主要有：从数学到生活，如摄影与黄金分割;从生活到数学，如雨刷问题——利用二次函数进行研究;纯数学研究，如教材中的数学活动等. 创新作品的研究范围可以关注基础数学与应用数学的以下领域：工程应用，包括计算机、互联网、通讯、信息及数码科技等;商业应用，包括经济、金融、物流、管理、决策、运筹学、交通运输等;科学应用，包括医药、物理、化学、生物、环境及健康问题;创新设计，包括图形设计、游戏等.

2. 走大众数学之路，立足基础求创新

在初中学生中开展“玩转数学”活动，最大的难点是如何凭借活动本身的魅力吸引初中学生广泛参与. 怎样发现、选择合适的课题来进行研究？部分初中学生比较“惧怕”数学，鲜有自主发现问题、提出问题的经验，难以提出有价值而又适合初中学段开展的数学研究问题. 即便找到课题，如果选题过大、过难，会导致只有优等生才能做研究，曲高和寡，达不到大面积提升学生数学学习的兴趣和方法的目的;如果选题太小，又失去了研究的意义，缺乏挑战性，难以达到培养学生数学学科核心素养的目的.

鉴于此，为了最大限度地吸引学生参与，从活动的命名到活动的宗旨都充分体现了走“大众数学”之路，鼓励学生广泛参与，既提供具体可参照、可操作的案例和指引，又给予极大的自由度以激发学生的创造力. 考虑到初中学生所学的知识有限，“玩转数学”活动特别强调选材应从学生的实际水平出发，研究背景贴近学生生活，鼓励学生利用所学的数学知识开展研究，肯定一切符合学生的认知水平、脚踏实地、真实参与的研究. 不提倡为了追求结果而让学生超前学习更高阶、超出学生理解水平的数学知识. 当然，学生在研究过程中需要补充的各学科知识，在学生可接受的前提下，可以由指导教师安排讲授.

3. 以学生为主体，强调过程、评价的多元化

在“玩转数学”活动中，学生是主体，教师是指导者，教师需要把握指导学生的“度”，不能为了得到优秀成果而越俎代庖，替代学生进行研究，而应该在学生需要补充数学基础知识或陷入困境的时候给出有效、适度的指导. 如果教师干涉太多，学生就容易丧失独立思考的能力，导致失去创造的动力和欲望. 唯有学生主动参与，教师有效指导，才能不断挖掘和激发学生的潜能.

由于初中学段学科及学生心智水平的局限性，“玩转数学”活动并不过分追求研究的结论，要求呈现研究过程，实行多元化评价，立足于学生在参与过程中的研究态度、问题意识和思考能力的提升，故每个学生研究团队要经历提交研究报告、现场展示和现场答辩三个环节. 前两个环节展示研究的背景、过程、研究方法与研究成果，分享参与研究的收获和体会，很好地展现学生的综合素质和对所研究问题的理解程度. 答辩环节则是教师与学生的激情对话和思维碰撞，评委老师在先期评审、交流、研讨的基础上，围绕着课题研究提问，进而给予合理的建议，将研究引入更高层次，为学生后续完善课题打下坚实的基础.

三、活动的成效

在初中阶段开展学生的数学研究活动，鲜有大面积参与且获得成功的先例，而在“玩转数学”活动中，师生参与热情高.“玩转数学”活动积累了大量适合在初中阶段开展的以数学为核心的课题研究案例，为初中阶段开展数学研究提供了可以仿效学习的资源. 从活动情况来看，传统名校表现亮眼，但最大的惊喜来自普通学校的脱颖而出. 难能可贵的是，普通学校所研究的课题全部来自学生的自主选择，学生运用初中所学的数学知识进行研究，从研究到展示、答辩，每个作品都极具冲击力和说服力，使得参与其中的师生真正意识到原来初中阶段也可以“玩”数学. 数学不再是高高在上的，而是变得有趣、有用、平易近人，只需要带着“慧眼”用数学的眼光观察世界，就会发现数学原来就在身边，并能运用数学解决生活中的问题. 目前，活动初见成效，显示出了强大的生命力和吸引力.

1. 学生层面

（1）用数学眼光看世界.

① 激发兴趣，感受数学的价值.

爱玩是初中学生的天性，“玩转数学”活动将学生从枯燥乏味的数学练习中解放出来. 随着研究活动的开展，学生对数学产生了浓厚的兴趣，虽历经艰险但乐此不疲，在“玩”中学到数学知识，运用数学知识解决问题使得学生看到了数学的力量，更有了研究的热情. 学生体验到自己的研究与真实的社会息息相关，付出的努力是有意义、有回报的，自然而然地更加重视自己所学到的数学知识. 学生认识到数学来源于生活，又应用于生活，使生活变得更便利、更有条理、更有意义，这才是数学学习的本质，从而真实感受到数学在学习生活中的必要性和重要性，“玩”出了数学的魅力与价值.

② 学会了发现和提出问题，形成了选取课题的经验和方法.

选择和确定一个恰当的研究课题，是做好研究的前提. 但对于初中学生而言，研究课题从何而来？怎样才能找到既有“数学味”又有意义的课题呢？应当在哪里挖掘？事实证明，学生在自己的所见所闻中寻找，研究发生在身边的事，则兴趣更浓，参与度更高.“玩转数学”活动引导学生学会用数学眼光观察自然界中的现象、日常学习生活和社会生活，养成不断提问的习惯，培养学生的问题意识，掌握思考问题的方法，形成寻找研究课题的基本路径，即“观察身边事—建立问题库—初选问题—精选问题—确定研究课题”.

例如，在课题“用数学的眼光看‘打折’”中，教师先指导学生观察身边的各种打折现象，一位学生观察到商场里有形形色色的打折标语，对这件事感兴趣，马上将想到的问题记录下来，通过这样的方式慢慢建立起自己的问题库. 小组研讨时，大家从各自的问题库中初步筛选，找出更感兴趣的、可“玩”性更高的问题. 初选出两三个问题后，再把问题利用思维导图或“五何问题法”进行多角度剖析，帮助学生有序地发散思维，引导学生从事件的起因、背景、影响等方面进行思考. 利用思维导图可以罗列出如下部分子问题：商家为什么要进行打折促销？打折商品质量也有打折吗？哪些商家更喜欢进行打折促销？不同的打折形式，哪种更实惠？折扣与理性消费有什么关系？针对“是何、为何、如何、若何、由何”，把打折现象分解成以下五个维度：会出现什么形式的打折？为什么会出现打折现象？如何买到折扣最低的商品？如果选购了某折扣，真的能省下钱吗？是什么原因使商家能做到低折扣下盈利？通过对这些子问题的分析，容易得出“打折”这个主题价值很高. 如此操作，将事件剖析得更到位，精选出最有研究价值的问题，最终形成研究课题.

③ 形成了初中学生开展数学研究的课题资源.

从已有的研究课题来看，学生能从不同的角度挖掘现实世界与所学数学知识之间的联系，提出了一系列具有社会意义和实用价值的研究课题，选题颇具匠心，呈现出范围广、来源多、操作性强，极具创意和趣味性，贴近学生日常学习和生活的特点. 特别地，还具有前瞻性和商业推广价值. 概括起来，题材来源主要可以分为以下三类.

第一类，动手制作模型或与计算机等前沿科学相结合的数学活动. 初中学生对于动手操作、利用计算机软件等方式开展数学研究表现出極大的兴趣. 此类活动能提升学生对数学的认同感，具有时代感，会使学生在研究中非常主动地亲近数学，这类选题适合面向大部分学生推广. 例如，在课题“A4立体折纸造型”中，学生通过折纸活动进行镶嵌、空间填充的探究. 在课题“元胞自动机方法应用于模拟植物的算法与实验研究”中，将算法编程技术应用于生物. 在“神奇的数学光影”中，利用数学画图软件和三角函数知识画出各种美丽的图案.

第二类，用数学解决实际生活中的问题. 这类题材所占比例最大，学生从日常生活中提炼出感兴趣的研究课题，体现了数学与日常生活的紧密联系. 例如，在课题“书包探秘、乐亦无穷”中，从常见的“背包病”入手，运用三角函数知识建立数学模型，提出肩带长度的“黄金三角”结论，使肩背受力更加均衡、舒适. 在课题“关于广州市初中回收旧计算器的研究”中，学生以独到敏锐的眼光观察到身边同学使用计算器所造成的环保问题，体现了学生关注课题的社会意义与实用价值. 在课题“允许车辆掉头（亦可直行）的合适车道”中，通过观察道路上掉头车道的不同安排提出问题，建立数学模型进一步研究其合理性.

第三类，对教材练习题或数学活动的拓展、深化.该类选题往往立足于教材，但又高于教材. 例如，由广州地域特色的满洲窗引发的研究“探究满洲窗中的一类几何性质与应用”，学生从生活中的满洲窗抽象出各种几何图形，然后对图形进行了分类，深入研究角之间的关系. 课题“探究多边形剪拼成正方形数学实验活动”“由一道练习题联想到的最短路径问题”则是从人教版《义务教育教科书·数学》（以下统称“人教版教材”）八年级下册第十七章“勾股定理”复习题中的第12题受到启发，开展针对立体图形表面最短路径问题的研究. 课题“正多边形的折法研究”从人教版教材八年级下册第十八章“平行四边形”的数学活动“折纸做60°，30°，15°的角”研究深化而来，课题在研究用矩形纸片折叠30°角的基础上，进一步考虑是否能折叠得到其他角度，再从中得到正多边形. 另外，课题“巧用几何方法解决不等式问题”“二进制的奥秘”等均来源于教材.

（2）用数学思维思考世界.

通过“玩转数学”活动，学生掌握了开展课题研究的一般方法，学会了統筹、合理规划研究路径，科学筛选研究课题，经历了通过测量、观察、收集和组织数据、控制变量，建立数学模型，估计、试验、作图、推理、数据解释、做出假说、模型认可等完整的研究过程，综合运用数学抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算、直观想象、数据分析等对研究内容进行理性分析与思考;通过研究活动，学生还根据需要自发学习了很多新的知识，体会到数学思想方法的作用，深刻感受到数学的实用性和联系性，形成了严谨、务实的思维习惯，逐步学会定性思考、定量研究，把握辩证地思考问题，发展了学生的数学学科核心素养.

例如，在课题“话费·水电费·分段收费”及“关于拱桥和平桥承受力大小的研究”中，学生通过已掌握的知识合理构建数学模型，借助函数思想尝试解决问题，在研究过程中，学生通过广泛收集数据、调查问卷和实地探究，在力所能及的情况下对解决方案进行拟定并多次修改. 在课题“熠熠生辉的出入相补”和“一元一次不等式在购物中的应用”的研究中，学生通过对数学问题进行深入剖析，提出全新思考视角，使得教材中的数学研究在数学思想方法上得到了进一步的跃升.

（3）用数学语言表达世界.

“玩转数学”活动需要学生撰写研究报告，这个环节使得学生掌握了写研究报告的基本格式规范，在日常教学中学习的数学表达在报告撰写中得到了很好的锻炼. 学生围绕数学问题的描述、论证过程，学会了科学严谨、言简意赅的表达方式，而展示和答辩则锻炼了学生沟通和口头语言表达能力.

2. 教师层面

众所周知，由于常年积累的思维定势和固有成见，成年人改变观念的难度较大，即使可以接受新观念，但缺乏持久、具有可操作性的做法和实践动力. 而“玩转数学”活动以学生鲜活灵动的创造性活动震撼、触及教师的心灵. 参与的教师在以下三个方面发生了质的转变.

第一，改变了对数学教育的认识.“玩转数学”活动使得教师充分感受到数学的重要性，以及开展数学活动过程中学生的激情、兴趣和创造力所散发出来的育人价值. 这种意识的觉醒使得教学中纸上谈兵、功利应试行为发生质的改变，直接改变了教师教学的出发点，使教师在教学中能自觉挖掘数学教学的育人功能，重视对学生数学学科核心素养的培养.

第二，教学方式有实质性转变. 在课堂教学中，教师有时为“活动”而活动，虽有学生活动的环节但缺乏培养学生素养的实质，学生活动流于形式，而“玩转数学”活动让教师看到学生的能动性和创造性. 随着课题的深入研究，在教师帮助之下学生自发学习了很多教材之外的或者更高年级的数学知识，学生从“要我学”转变为“我要学”，积极而主动，完全没有课堂教学中启而不发、推而不动的状态. 活动中，教师的指导作用充分而恰当的发挥，使得学生在教师的点拨下对研究问题、感悟数学思想方法有了深刻的认识，比用传统学习方式学得更好、走得更远. 这些现象都令教师通过活动反思自己的课堂教学行为及设计，审视教学是否突出了学生的主体性，使得课堂教学发生质的改变，力求通过教学设计与课堂生成让学生主动思考，真正激发学生的潜能.

第三，促使教师专业水平的发展，与时俱进.“玩转数学”活动产生了很多由学生自主选定的研究课题，这些课题富有时代感、科技感，跨学科融合. 教师被初中学生研究的深度和广度震撼，由此产生了压力、挑战和紧迫感，以前教师要有“一桶水”的观念被彻底打破. 教师逐渐意识到需要倾听学生、了解学生，跟上学生的步伐，不断学习新技术，提升课程力，主动将数学与其他学科、生活联系，这样才能具备指导学生开展“玩转数学”活动的能力. 教师在“玩转数学”活动中指导力得到提升，对数学思想方法和数学知识之间的联系认识更加深刻，这些都会自觉融入课堂教学中，达到教学相长的目的.

四、活动案例

课题“在楼梯中‘做’数学”是一所普通中学八年级学生的作品，在“玩什么？”“怎么玩？”“能玩出什么？”等方面给出了很好的示范.

1. 生活困扰，发现问题

楼梯不只是简简单单的建筑，生活中曾发生因楼梯设计不当导致人员受伤的实例. 研究小组由此注意到了楼梯设计存在不合理的现象，而且容易被人们忽视. 楼梯设计需要更人性化、更精确，才能安全放心地投入使用. 怎样设计楼梯，使其符合不同人群的需求呢？楼梯的结构是怎样的？能不能结合数学知识合理设计楼梯？这是本课题要探究的问题.

2. 受到启发，确定方向

研究小组决定用数学知识分析楼梯构造，以期为建造楼梯提供合理建议. 由此提出猜想：楼梯设计是否与使用楼梯的人群的身高有关？楼梯设计是否与其特殊功能有关？有没有国家规定的楼梯建筑标准？如何建造合理规范的楼梯，使其满足人们的需求？

为了方便表达，研究前，首先定义楼梯各部分结构名称，如图1所示.

抽象、定义楼梯截面模型如下：因为踏高垂直于踏宽，所以楼梯的坡面、踏宽、踏高组成一个直角三角形，踏宽和踏高是直角三角形的两条直角边. 楼梯截面由若干个全等直角三角形组成. 如图2，在Rt△ABC中，AC是踏宽，BC是踏高，测量出踏宽AC与踏高BC的长，求出BC与AC的比值，即楼梯的坡度，然后算出∠BAC的度数.

猜想：（1）楼梯的踏宽与踏高应该与人群的（身高）脚掌长度有关系;（2）根据楼梯功能不同，楼梯的设计应该有所不同.

3. 收集数据，验证假设

为了验证猜想，研究小组寻找了公共场所的几个楼梯进行调查研究，包括学校附近的小学、中学、商场、公园. 经过问卷调查，发现这些楼梯的满意度都为80%以上.

（1）身高与脚掌长度的关系.

为了验证这个猜想，先进行身高与脚掌长度关系的调查. 分别在某小学和中学各抽取50名学生、30名成人进行调查，进行样本采集. 部分数据如表1所示.

（2）小学学校楼梯踏宽与踏高的关系.

测量某小学教学楼楼梯的踏宽AC = 29 cm，踏高BC = 14 cm，由tan∠BAC =[1429]，得坡角∠BAC ≈ 25.8°. 以此計算出适合小学生走的楼梯的坡角度数. 再根据小学高年级学生的身高值，计算出小学生脚掌长度的平均值为21.4 cm，发现踏宽约比小学生脚掌长7.6 cm. 如果学生穿上鞋子就比踏宽长约6 cm，且踏宽约为踏高的2倍. 按照这个方法设计出适合小学生走的楼梯的踏宽、踏高与坡角度数.

（3）中学学校楼梯踏宽与踏高的关系.

测量某中学楼梯的踏宽AC = 30 cm，踏高BC =15 cm，由tan∠BAC =[1530]，得坡角∠BAC ≈ 26.6°，计算出适合中学生走的楼梯的坡角度数. 再计算中学生脚掌长度的平均值为24.3 cm，发现踏宽约比中学生脚掌长度多5 cm，且踏宽约为踏高的2倍. 按照这个方法设计出适合中学生走的楼梯的踏宽、踏高与坡角度数.

（4）商场紧急通道楼梯踏宽与踏高的关系.

测量某商场的紧急通道楼梯的踏宽AC = 32 cm，踏高BC = 17.5 cm，由tan∠BAC =[17.532，] 得坡角∠BAC ≈ 28.7°，以此计算出紧急逃生时，人们快速疏散时所走楼梯的坡角度数. 因为紧急通道要使人们能快速疏散，所以楼梯踏宽必须要宽，以便人们逃生时不会踩空，发生意外;踏高必须要高，以便人们能更加快速地逃生.

（5）公园楼梯踏宽与踏高的关系.

测量某公园台阶的踏宽AC = 38 cm，踏高BC = 14 cm，由tan∠BAC =[1438，] 得到坡角∠BAC ≈ 20.2°，以此计算出适合公园散步的行人所走台阶的坡角度数. 因为散步的行人有儿童、成人、老人等各种年龄段的人群，所以公园台阶的设计踏宽较宽，踏高较低，坡角度数较小，适合大众人群散步放松.

4. 初步感知，得出结论

通过分析不同场景楼梯的数据，验证了初始的猜想，即楼梯的踏宽设计必须考虑使用楼梯的人群的脚掌长度;楼梯的踏高设计必须考虑使用群体的目的与身高. 特别是公共场所，为了方便群众、节约资源，楼梯设计一定要仔细，要进行综合考量. 当然，除了验证以上猜想，在研究过程中，小组学生还归纳发现如下结论.

（1）人的身高与脚掌长度的比值约是7∶1.

（2）通过测量小学和中学教学楼的楼梯踏宽与踏高，估测出适合人们行走的楼梯踏宽约比脚掌长度长5 cm，且踏宽约为踏高的2倍，公共场所的楼梯的坡角度数多数小于30°. 特别是公园的楼梯，坡度应该更小才适宜.

（3）人们散步的台阶的设计应该是踏宽较长，踏高较低，坡角度数较小，但范围在20° ～ 25°，且踏宽的长度不超过步距，这样设计的楼梯才能使人们得到更好的放松.

（4）紧急疏散楼梯的踏宽和踏高的长度比普通楼梯要长一些，踏高必须要高，让人们能更安全、更快捷地逃生.

（5）随着使用楼梯群体的年龄的增长，踏宽越长，踏高渐高. 但总体而言，坡角度数为25°左右最为适宜.

在研究过程中，研究成果通过手抄报形式进行一次集中展示. 学生通过观察、测量生活中常见的建筑物，发现其中蕴含着许多数学知识，回味无穷.

5. 结合行业标准，确定范围

经过资料检索、调查得知，楼梯设计规范虽然经常提及，但楼梯设计规范并没有明确的行业标准.但是，楼梯间设计应符合现行国家标准《建筑设计防火规范》（GBJ16）和《高层民用建筑设计防火规范》（GB50045）的有关规定. 研究小组查到民用建筑楼梯设计的规范标准如表2所示.

当然，在楼梯建设的规范要求当中，还有涉及梯宽、扶栏、平台等设计的大致要求，确保人流通畅与安全，在此不做详细研究. 现把以上标准暂作为楼梯的国家标准，以下统称“国标”.

6. 给定背景，设计楼梯

研究小组根据发现的规律，在国标基础上，进行不同功能的楼梯的设计. 假设给定楼高为3 m、进深为4 m的楼房模型，进行不同功能楼梯（主要为直线型与之字型）的合理设计，并判断该模型能否设计出风格各异的楼梯. 如果不能设计出符合要求的楼梯，能不能进行优化改进？带着这些问题，研究小组进行了如下设计操作.

（1）办公楼的楼梯设计.

一般地，采用如图4所示的设计方法，其步骤如下：① 初定踏高为0.14 m;② 由楼层高度为3 m，确定楼梯的阶数为[30.14]≈ 21.4（取偶数阶22级）;③ 精确踏高为[322]≈ 0.136 （m）;④ 由22阶确定进深深度最低为22 × 0.28 = 6.16 > 4（m）.

经研究发现，该模型不能设计为直线型楼梯. 但考虑空间有限，可以应用在餐馆等特殊场所. 在考虑安全性的前提下，要保证踏宽长度，再设计如图5所示的楼梯，设计步骤如下：① 初定踏宽为0.28 m;② 由进深高度为4 m，确定楼梯的阶数为[40.28]≈ 14，进而精确每阶踏宽为[414]≈ 0.286（m），踏高为[314]≈ 0.214（m）;由于0.214 > 0.16，可見，踏高过高，爬楼梯比较费劲.

转而考虑之字型楼梯，在楼层的中间设置一个休息平台. 按国家规定要求，平台的宽度至少是1.2 m. 于是，把该模型分成两个梯段，每段11阶，进行与上述方法相同的设计，但显得烦琐.

为了改进方法，从楼层梯段的坡角出发，反过来设计每一级阶梯的踏宽与踏高，如图6所示，其步骤如下. ① 计算坡角[α]的度数，由[tanα=1.52.8，] 得到[α≈]28.2°. ② 初定踏高为0.14 m，计算出踏宽为[0.14tan28.2°≈][0.26] （m）. 因为0.26 < 0.28，所以该阶梯的设计不符合国标要求. ③ 进而在国标的规范范围内，再定踏高为0.15 m，计 算出踏宽为[0.15tan28.2°≈0.28] （m）. 此时该阶梯的设计符合国标要求. 由此确定每个梯段的级数为[1.50.15=10]或者[2.80.28=10].

结合上述研究发现，在空间有限的前提下，相比直线型楼梯，之字型可以优化楼梯的设计，使其较好地符合国标要求，而且可以提高空间使用率. 基于此，下文的楼梯设计，多从之字型楼梯模型入手，进行设计并优化.

（2）住宅的楼梯设计.

如图7，从楼层梯段的坡角出发，设计每一级阶梯的踏宽与踏高，其步骤如下. ① 计算坡角[α]的度数，由[tanα=][1.52.8，] 得到[α≈28.2°.] ② 初定踏高为0.15 m，则踏宽为[0.15tan28.2°≈0.28] （m）. 因为0.28 > 0.26，所以该阶梯的设计符合国标要求. 因此设定每个梯段的级数为[1.50.15=10]或者[2.80.28=10].

（3）剧院的楼梯设计.

如图8，从楼层梯段的坡角出发，设计每一级阶梯的踏宽与踏高，其步骤如下. ① 计算坡角[α]的度数，由[tanα=1.52.8]，得到[α≈]28.2°. ② 初定踏高为0.12 m，进而计算踏宽为[0.12tan28.2°≈0.22] （m）. 因为0.22 < 0.3，所以该阶梯的设计不符合国标要求. ③ 定踏高为0.13 m，进而计算踏宽为[0.13tan28.2°≈0.24] （m）. 因为0.24 < 0.3，所以该阶梯的设计不符合国标要求. ④ 再定踏高为0.15 m，进而计算踏宽为[0.15tan28.2°≈0.28] （m）. 因为0.28 < 0.3，所以该阶梯的设计不符合国标要求.

综上所述，在踏高符合国标要求的前提下，由此得出的踏宽不符合国标要求，所以该模型不适宜建造剧院的楼梯.

（4）幼儿园的楼梯设计.

图9为幼儿园楼梯设计图，设计步骤如下. ① 计算坡角[α]的度数，由[tanα=][1.52.8，] 得到[α≈28.2°.] ② 定踏高为0.14 m，计算出踏宽为[0.14tan28.2°≈0.26] （m），因此该阶梯的设计符合国标要求. ③ 确定每个梯段的级数为[1.50.14≈10.7]（取整数10），所以每一阶的踏高为[1.510=0.15]（m），踏宽为[2.810=0.28]（m）. 综上所述，当楼梯每个梯段为10阶，则每一梯段的踏高为0.15 m，踏宽为0.28 m，该设计满足幼儿园的国标要求.

综上所述，为了更快地判断能否设计出合理的楼梯，可以把国标的踏宽和踏高转化为每一级阶梯的坡角，再转化为每一梯段的坡角. 于是，设置了公共场所楼梯的坡角规定，如表3所示.

综上所述，改用坡角设计法，不仅可以判断能否建造出合理楼梯，还可以快速设计出楼梯建造方案，也可以设计三之型、旋转型、梯段不等高的楼梯. 以楼高为3 m、进深为4 m的模型为背景，设计办公楼的三之型楼梯，而梯段不等高方法也是如此. 设计方法参考如下.

① 设定坡角[α]= 29°.

② 两平台之间长度为4 - 2.4 = 1.6（m），由锐角三角函数得到两平台之间的高度为0.9 m.

③ 计算出三之型楼梯每一梯段高度分别为1.05 m，0.9 m，1.05 m.

④ 取每阶踏高为0.14 m，则中段的阶数为[0.90.14]≈ 6，再精确每一阶的高度为[0.96]= 0.15（m），每一阶的宽度为[0.15tan 29°][≈]0.27（m），则中段楼梯共6阶. 类似地，上段与下段的阶数是7阶，每一阶踏高为0.15 m，踏宽为0.27 m，如图10所示.

总之，可以采用坡角的设计方法，在给定的模型当中判断该模型是否可以设计符合国标要求的直线型或之字型楼梯，并解释能够设计楼梯的理由. 当然，如果可以设计，研究小组可以较快、较精确地设计出符合人们需求的楼梯，这也是该课题的亮点之一.

7. 合理优化，美观环保

针对以上设计中发现的问题，研究小组进行合理优化，方案如下.

（1）在如前所述的楼高为3 m、进深为4 m的楼房模型中，当以国标为判断依据时，是不能够设计满足要求的剧院楼梯的. 但是，如果在考虑踏高取最大值的情况下，若该模型的踏高取0.15 m，则踏宽为[0.15tan28.2°≈][0.28]（m），虽然0.28 < 0.3，不符合国标要求，但是可以考虑采用不增加踏高、增加踏宽的方法，使其踏宽符合要求，优化为如图11所示的形式.

（2）在建造楼梯的过程中，当满足国标的设计方法多样时，可以考虑建造用料的节省，从而降低成本，践行环保意识. 于是，通过计算每一阶梯的用料面积，得出所有阶梯的用料面积.

如图12，模型的高度为H m、进深为B m，则梯段与水平面的坡角为α，满足tan α =[H2B-1.2]（若H和B的长度是固定的，则坡度是一个定值）. 假设每一阶梯的踏高为x m，则踏宽为[xtan α]. 则每一阶梯的截面面积为S1=[x22 tan α，] 每个梯段截面的面积为[S=Hx · S1=][Hx2tan α].

通过计算，发现楼梯的用料多少与踏高和坡角度数的大小有关，其中与踏高成正比例关系，与坡角成反比例关系. 于是在符合国标的前提下，降低踏高或增大坡角，可以节省用料，从而做到低碳环保.

（3）在现实生活中，建造楼梯不仅要考虑国标的要求，有时候更需要考量美观性，而旋转楼梯在美观性和空间立体感方面收获人们更多的喜爱. 简易的旋转楼梯往往围绕一根单柱旋转直上，平面呈圆形;而复杂的旋转楼梯则要求同心圆的构造，踏宽的内侧长度较小，踏宽的外侧长度较大，其复杂的构造需要精心设计，才能达到美观与舒适的要求.

不妨借助如图13所示的办公楼模型，进行旋转楼梯的设计. 其中，将平台宽度1.2 m当作旋转楼梯的梯段宽度.

<＼＼10.1.5.113＼共享＼00初中＼00中数初中版2021年飞翔＼中数初中2021年第7-8期＼image27.jpeg>[图13]

其设计步骤如下：① 先初定踏高为0.15 m;② 由楼高为3 m，确定旋转楼梯的总级数为[30.15]= 20;③ 为了调整旋转半径，设置了上下各三阶的方梯，从而计算出内径为1.96 m，进而计算出其半圆的弧长，并求出每一阶的弧长约为0.44 m;类似地，依据外径为3.16 m，得出踏宽外侧每一阶的弧长约为 0.71 m，进而设计出如图14所示的旋转楼梯.

当然，旋转楼梯一般不作为主要人流交通和疏散楼梯，但由于其流线造型美观、优美、典雅、空间比较节省，常常用作楼层数不多的写字楼、居民楼，或者作为建筑小品布置的家庭影院或室内使用.

8. 学生感悟

学生从该课题中收获很多，在研究过程中真正体会到了数学与生活的联系，并掌握了设计楼梯的方法及优化楼梯的技巧. 该课题侧重考虑踏宽与踏高的研究，从研究到建造楼梯，还有许多需要考虑的因素，有待继续研究. 总体而言，该课题实现了“玩转数学”活动的初衷，即“玩中学，学中玩”，这就是数学的魅力.

当然，通过反思研究过程和结论，研究小组有以下几点感悟.

（1）调查的数据会有一点误差，但总体还是准确的.

（2）调查的样本来源于各类人群使用的楼梯，采用了问卷调查的形式，虽然楼梯的满意度较高，但样本的代表性不强.

（3）希望可以利用调查得出的结论，设计出合理的楼梯，减少生活中由楼梯导致的意外，并让人们行走楼梯时能更舒适. 但结论应用于生活实际，还有待研究.

（4）学生最初以为身边楼梯设计的不足之处应该不多，通过研究发现并非如此. 例如，生活中有的楼梯每一阶的踏高不同，有的樓梯的第一阶与最后一阶的高度有差异.

（5）通过研究发现，楼梯的合理设计离不开数学，说明数学源于生活，又服务于生活.

9. 指导教师体会

该课题研究的问题源自生活中的感受，研究背景具有实际意义，培养了学生的“四基”与“四能”. 学生针对生活中楼梯的设计发现并提出问题，聚焦在每一级阶梯的踏宽和踏高的研究，根据不同人群和不同场合的需要设计不同楼梯. 在这个过程中，学生需要思考：如何进行有效的分类设计？群体的需求有哪些？针对不同需求如何建造合适的楼梯？楼梯的设计是否与数学存在紧密的联系？在研究过程中，发现了哪些规律？针对这一连串的问题研究，学生都给予了很好的解答.

该课题充分体现了学生对于数学知识的应用，具体表现在以下几点：提取楼梯的数学模型，培养了学生的数学抽象、数学建模素养;三角函数知识的应用，拓宽了八年级学生解决直角三角形相关问题的思路;坡角的知识，让学生学会了从不同视角看问题;调查统计，启发了学生研究问题必须依靠数据收集;体会了函数和线性规划等知识的应用.

把学习过的数学知识应用到实际生活中，是从课堂到生活的衍生，而这种衍生正是目前所大力提倡的创新和实践精神. 在研究过程中，学生学会了发现问题、提出问题、分析问题，得出了结论，其心情是愉悦的、有成就感的. 他们不仅感受到了数学的实用性，再次见证了数学与生活的紧密联系，更体会到学习数学的无穷乐趣，这达到了开展“玩转数学”活动的目的.

对于学生的研究与工作，指导教师给予了他们极大的鼓励与肯定，引导学生从生活中发现数学，用数学知识解决生活中的实际问题.

当然，针对不合理的楼梯解释，不仅需要结合本文的研究数据作为判断，还需要对使用楼梯群体进行调查问卷. 楼梯的合理性应因人而异. 但总体而言，该课题研究具有一定的实用性.

总之，学生是很努力的，积极参与调查与论证，希望在使用数学知识研究生活事例的这条路上能够越走越远，越走越深. 收获越多，进步越大.

10. 答辩点评

在此环节，学生能运用数学知识、数学思想方法解决日常生活中有关楼梯设计的问题，不仅从国家关于楼梯设计的标准出发考虑问题，而且能从使用楼梯群体的需求特点出发思考有关楼梯设计的问题. 研究小组分别从楼层建筑楼梯的宽度与高度、楼梯台阶的高度与长度、人体踏高与踏宽三个维度提出设计的出发点，并针对直线型楼梯、之字型楼梯、旋转楼梯的各自特点选择设计方案，通过调查，利用统计知识确定使用楼梯群体的代表数据作为设计的依据. 研究过程扎实、严谨，研究报告、展示和答辩等环节都有较高水平.

总之，“玩转数学”活动是一项富有意义的、学生开展的数学研究活动，激发了学生学数学、用数学的兴趣，充分展现了学生的创新思维，也使得教师对数学教育有了更深层次的认识和更高的追求.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]伍晓焰. 初中学生开展数学活动的探索与思考：以“玩转数学”活动为例[J]. 中学数学研究（下半月），2015（4）：1-4.

[3]伍晓焰，曾辛金. 数学可以这样玩：广州市初中“玩转数学”获奖作品集[M]. 广州：广州出版社，2019.

[4]章建跃. 章建跃数学教育随想录[M]. 杭州：浙江教育出版社，2017.