问题支架：在算理和算法之间搭桥

王蜜 卜骥

【摘 要】培养学生的计算能力是小学阶段需要完成的重要目标之一，也是小学生必须形成的一种学习素养。计算课中，算理和算法的教学是一节课的核心内容，也是培养学生计算能力的重要通道。算理是指计算过程中的道理，主要解决“为什么这样算”的问题;算法是指计算的方法，主要解决“怎么算”的问题。也就是说算理是算法赖以成立的数学原理，是算法的理论依据。

【关键词】计算能力 数学问题 算理 算法

透彻地理解算理是掌握计算方法的前提条件，也是学生提高计算能力的重要保障。在教学中，如果只注重算法的讲解，不注重学生对算理的理解，那么学生对计算的理解是浅薄的，学生的思维也得不到有效的发展。怎样才能更好地沟通算理与算法的联系呢？

一、预设问题：让学生自主探究晓理晓法

数学问题设计的好坏，是一节数学课高效、生动与否的关键，只有设计好了数学问题，学生才能在不断地分析、探索中有所获。在计算教学算理、算法的探究过程中，教师的引导十分关键，指向性明确的数学问题可以更好地帮助学生快速理解计算原理，明确算法。

1.让“理”“法”有个良好的生长环境

在计算教学中， 教学情境的设计应尽量贴近学生的生活实际， 我们可以选择一些发生在学生身边的事例或学生熟悉的素材作为教学内容，再设计适合学生解决的问题，让计算教学蕴于情境之中，使枯燥的数学知识融入生活之中。

如在苏教版数学五年级上册“小数加减法”一课的教学中，教师出示在超市购买零食的情境，“妈妈买了一罐薯片花了4.5元，又买了一瓶半价后是2.25元的饮料，需要付给营业员多少元？”学生们都有购物的经验，马上将自己置身于超市購物环境下，想到要用4.5+2.25这个算式来解决，那怎么算呢？因为4.5元就是4元5角，2.25元是2元2角5分，想到将4元与2元相加，5角与2角相加，再加上5分，其实也就是相同数位上的数相加。有了这样的实际环境作依托，算理就显得更好理解了，只有相同数位上的数对齐了，也就是小数点对齐了，才能做到相同计数单位上的数相加，才能正确运算。

算理是合理运算的依据，算法是正确计算的基础。学生只有真正理解了运算的道理，才能更好、更快地掌握计算的方法。

2.让“理”“法”有个良好的生长过程

基于核心素养的计算教学，怎样才能更好地在算理和算法间建立联系？笔者认为：学生的自主探究、自主推理、自主归纳是获得自我成长经验的有效途径。在探究算法前，教师不要急于带着学生一起探究，而应该设计巧妙的数学活动让学生在操作、思考中一步步主动明算理、知算法、主动获得知识的建构。

如在苏教版数学六年级上册“分数与整数乘法”一课的教学中，出示完问题“做一朵绸花要3— 10米绸带，做3朵这样的花需要多少米绸带？”，并列出算式后，教师没有马上要求学生计算，而是先问：“3— 10米是多少？”学生回答：“3— 10米就是把1米平均分成10份，表示这样的3份。”教师此时出示一条线段表示1米，先将线段平均分成10份，找到3— 10米后做上了标记，接着提出问题：“请你先在这一条线段上像这样表示出3个3— 10米，再看看是多少米？”学生画好后马上发现计算3×3— 10时可以把它转化成3个3— 10相加，是3+3+3— 10，也就是3×3— 10=9— 10。从图中，还能清楚地看到3— 10里含有3个1— 10，3个3— 10里就有9个1— 10，也就是9— 10。

学生在动手操作、自我探究、互相交流的过程中深刻地体会到了为什么在计算分数乘整数的时候，要固定分母不变，将分数的分子乘整数作为计算结果的分子。教师此时不用刻意去强调怎么算，学生已经慢慢掌握了必然的算法，也理解了需要这样算的道理。

二、“支解”问题：让学生知其然也知其所以然

在新课改背景下，如何实现从教师“教”到学生“会”的转变？如何实现从学生的“形会”到“理会”的提升？针对学生的年龄特点，我们要设计有层次的数学问题，让学生知其然也知其所以然，进而达到以“理”驭“法”、“理”“法”相融的要求。

1.化大为小，给学生打破砂锅问到底的机会

有时，在较难的数学计算教学中，当学生感到找不到思路的时候，我们不妨尝试将较难的数学问题逐步分解，将大问题逐步化小，帮助学生克服困难，找到解决方法，在思维转化的过程中慢慢理解算理、学会算法。

如在苏教版数学五年级上册“除数是小数的除法”一课的教学中，对问题“一块橡皮0.39元，3.56元最多可以购买几块橡皮？”列出算式3.56÷0.39后，不会计算的学生可能会产生畏难情绪，此时，教师先不要急着让学生列竖式计算，可以先引导学生估计一下得数大约是多少，让学生看到希望，试着计算3.6÷0.4的得数，从而得到结果大约是9。那具体答案到底是多少呢？可以引导学生发散思维，相机提问：“怎样把复杂的小数除法转化成简单的、我们会计算的算式？”引导后可能有学生会想到进行单位转化，把3.56元看成356分，0.39元看成39分;还有学生会想到利用商不变的规律，将被除数和除数同时扩大100倍。这样，复杂的小数除法就转化成了我们学过的整数除法，问题得到解决。

在计算教学中，估算能力的培养也是一项重要的学习任务，通过估算，可以训练学生对数学算式整体把握的能力，再通过进一步分析，化难为易，开拓了学生的解题思路，同时也实现了教师对单一与开放辩证的把握目标，降低了学生计算的难度，提高了学生计算的水平，同时也延伸了计算的实用价值。

2.从形到理，给学生柳暗花明又一村的希望

在探究算理和算法时，教师可以想办法有效地将“数”与“形”进行结合，让学生在“视觉冲击”和“理性分析”中发散思维，由现象到本质的引领，促使学生将算理和算法有机结合，从而实现计算教学的轻负高效。

如在苏教版数学四年级下册“乘法分配律”一课的教学中，如果能在运算律的推导过程中出示格子图（见图1），并提出要求：“你会用不同颜色的色块在格子图表示7×6和3×6吗？”学生在清楚地看到每个算式在格子图中对应的部分后发现，7×6+3×6的大小其实和（7+3）×6所表示的大小是一样的，所以在计算7×6+3×6这样的三步计算时，我们可以先算7+3=10，再算10×6，使计算更加简便。这种形象直观的方法，更利于学生理解算理，明理得法。

三、延展问题：让学生依理用法解决问题

计算教学不仅要发展学生的运算能力，还要帮助学生养成规范化思考问题的品质，养成多动脑、勤思考、举一反三的好习惯。在新授部分完成后，应组织学生回顾在探索过程中遇到的问题及解决问题的策略方法，并通过强化训练加以巩固、提炼，这有助于学生进一步理解算理、明确算法，并积累数学活动经验，提升思维品质。

1.创设问题，让学生体会“学有所用”的道理

运算技能的形成在各个阶段呈现不同的特点，教师可运用交错训练、变式训练的方式，坚持少而持续的计算练习，并在明晰算理、算法的基础上，引导学生用学到的计算知识解决实际生活问题，从而使单薄的教学内容变得丰盈，使枯燥的计算课变得生动有趣。“练”是训练，“习”是思考，在“练”的过程中，我们不仅要培养学生的计算能力，还要培养学生勤思考、多动脑的好习惯。

例如，在教学“两位数减两位数”时，教师设计了这样一道实际问题：“二（1）班在植树活动中植了65棵树，二（2）班比二（1）班少植了三十几棵，二（2）班最多植了多少棵树？”读完题目有的学生表示困惑，只知道二（1）班植树的棵数，并不知道二（2）班具体比二（1）班少植了多少棵，无法计算出二（2）班植树的棵数。此时教师鼓励学生寻找问题中的关键词，学生找到了“最多”，教师相机追问：“什么情况下二（2）班植树棵数最多？”学生想到二（2）班比二（1）少植的棵数越少，其植的棵数就越多，而又有三十几棵这个条件限制，那也就是当二（2）班比二（1）班少植了31棵时，二（2）班植树棵数最多，即65-31=34（棵），此时教师再次发问：“二（2）班最少植树多少棵呢？”学生根据刚才的解题经验，想到二（2）班比二（1）班少植的棵数最大时，就可以算出二（2）班最少植树的棵数，即65-39=26（棵）。解决完两个问题后，教师再引导学生将这两题的竖式过程进行比较，“同样是65减三十几，为什么有的得三十几，有的得二十多？”学生发现65-39属于退位减，计算的时候需要“退一作十”。

在此题的解题过程中，不仅练习了两位数减两位数的竖式，而且还训练了学生分析、思考问题的能力，这就是“习”的作用。“习”能够对“练”进行延伸，从而深化计算的重要性。

2.创新问题：让学生养成“求新探异”的习惯

传统的练习模式有时学生只能简单根据模仿获得经验，所以我们需要设计一些开放性问题，旨在指向学生的最近发展区，引领学生经过探索解决问题，从而对所习得的知识“理解性”掌握。这样的活动过程，培养了学生思维的灵活性和创新性，最大限度地激活了学生的学习因子。

如，在教学“同分母分数加减法”时，教师设计了一道这样的拓展题：（ ）— 20+（ ）— 20=（ ）— 5，（ ）— （ ）+（ ）— （ ）=（ ）— （ ），学生在完成题目的过程中，不仅需要对算理、算法十分明确，还要考虑全面。

再如，在学完“乘法分配律”时，教师设计了这样一组题目：81×69+81，810-9×81，以提高学生计算的灵活性。

學生学习数学，不仅仅是学习一个个知识点，更重要的是习得数学的思维方式。计算教学中也是如此，在教学过程中，我们更多的是要思考：如何才能巧妙设计教学活动、教学问题让学生在操作、思考、交流中高效沟通算理和算法，提升学生的思维能力，增强学生的数学计算效率。