基于整体视角的图形初步知识单元教学设计

丁黎森

摘要：以“线段的和差”的教学设计为例，探讨基于整体视角的图形初步知识单元教学策略，为学生整个初中段的几何学习奠定牢固的根基。

关键词：“线段的和差”;整体视角;教学设计

几何的研究对象就是点、线、面、体。几何单元把最基本的几何元素作为研究对象，研究它们的定义、表示方法、分类及其性质。几何学科首先针对线、角、中点、角平分线等建立概念体系，再从大小、分类、关系、性质等方面建立各几何元素间的逻辑关系，最后渗透了类比、数形结合、分类讨论、方程等作为解决问题的思想方法。本单元的内容覆盖面广，是整个初中段的几何学科的根基。本单元的知识要点将融入学生今后学习几何知识的每一个环节。

几何单元从实际情境中抽象出几何图形，使学生进一步认识了点、线、面、体，让学生在研究图形的形状、大小、相互位置关系中，从几何角度提升自己对客观世界的认识，这样有利于学生形成科学的世界观。波利亚说过：数学教育的意义并不是要教会学生去使用数学知识，而是要培养学生的思维习惯，一种数学文化修养。本单元的知识体系具有深刻的逻辑结构、丰富的直观背景和鲜明的认知层次。在对概念的认知、大小的比较、和差的计算、性质的应用以及在解决实际问题等方面，学生既要对概念、性质有精准的把握，又要在对知识和技能正确理解的基础上，用几何语言规范严谨地表达，有效地培养推理严谨、言必有据和条理化的思维习惯，发展演绎推理和逻辑思维能力。

一、目标和目标解析

（一）目标

（1）经历从实际情境中抽象出几何图形的过程，进一步认识点、线、面、体，了解几何体与立体图形、平面与平面图形的概念。

（2）进一步了解线段、射线、直线、线段的中点、角、角平分线、补角、余角、相交线、对顶角、垂线、距离等有关概念及其相关性质。

（3）会用尺规作线段的和、差，会用量角器作一个角等于已知角。

（4）理解线段、角度的大小，会对线段的长度和角的大小进行度量，能理解线段、角的和差并能进行一些相关的计算;能用线段、角的相关知识解决一些简单的实际问题。

（5）理解两点间距离、点到直线距离的意义。

（6）直观地理解平面上两条直线之间的关系：相交与不相交。

（7）掌握基本事实：两点确定一条直线，两点之间线段最短。

（8）用正确的几何语言进行表述。

（二）目标解析

经过分析，笔者确定了完成各个教学目标的依据。

完成目标（1）的依据是：能从日常生活中见到的物体抽象出几何图形，能分辨平面图形与立体图形，理解点动成线、线动成面、面动成体。

完成目标（2）的依据是：能理解相关概念的内涵与外延，在实际问题中准确表示出相关几何元素，并能在解决问题时合理地选择应用。

完成目标（3）的依据是：直尺、圆规、量角器是基本的几何作图工具，在尺规作图的过程中本身就蕴含着几何关系与思维逻辑，能准确画出线段的和差、角的和差本身就是对知识本质的理解与掌握。

完成目标（4）的依据是：掌握线段、角的和差的数量化定义，同时也能从形的角度进行理解，能从复杂的图形中理顺有关线段、角之间的数量关系和逻辑关系，同时能运用数形结合、分类讨论、方程思想等思想方法解决实际问题。

完成目标（5）的依据是：能画出连接两点的线段、点到直线的垂线段并能度量其长度，明白距离的可度量性，同时能区分两种距离的不同之处。

完成目标（6）的依据是：直线的相交比较好理解，直线的不相交比较抽象，能从位置关系的角度来理解是从小学知识到初中知识的一个上升，同时要明白相交关系的特殊情况——垂直。

完成目标（7）的依据是：基本事实是整个几何体系的基石，能從直观上感受到基本事实的正确性和客观存在性，并能用基本事实来解释实际情境中的问题。

完成目标（8）的依据是：在对推理过程的几何语言表述中，学生通过不断地模仿、尝试、修改、完善直到逐步适应，在解决实际问题中能把对知识和技能的理解准确地表达出来。

二、教学设计

（一）教学内容：6.4 线段的和差

（二）教学目标

（1）体验“线段的和差”在实际生活中的应用，培养学生的抽象思维能力;

（2）了解线段的和、差概念;

（3）经历画线段的和、差，理解延长线的意义;

（4）理解线段中点的概念，掌握线段中点的性质;

（5）掌握有关线段的和、差、倍、分的简单计算;

（6）通过探究线段之间的关系，渗透数学思想，训练识图能力，培养学生对数学的好奇心与求知欲。

（二）教学重点和难点

教学重点：线段的和、差、线段中点的概念，以及相关的作图和运用线段的和、差进行计算。

教学难点：（1）例2涉及较多的线段和较复杂的数量关系，是本节的难点;（2）几何证明过程的表述学生以前从末接触过，如何把一道几何题有条理、逻辑严密地表述出来，是本节课的另外一个难点。

三、教学过程设计

（一）情境导入，引出新知

有一天，小明刚好走到校园一边的角落上，接到快递小哥的电话，小明就在角落上等快递小哥（如图1所示）。在等的过程中，小明忽然想到一个问题：快递小哥从哪条路过来会更近一些呢？这个问题实际上就是指在图2中，走哪条线路更短。

思考：更近些指的是什么？

追问：有哪些方法？

【设计意图】让学生经历从客观实际到几何图形的抽象过程，体现了数学来源于生活。

（二）动手操作，探究新知

生：度量法，用刻度尺量出长度。（学生量出长度）

生：叠合法。

教师准备两段绳子，让两位学生到黑板上具体操作，学生操作好后剪断多余的绳子。

问题：哪条线路更短？（教师可以给予点拨，让学生通过对比后回答）

【设计意图】教师应给学生提供充分的观察、实验、操作的时间和空间，让学生通过观察图形，思考两种路线长短的比较，引导学生得到比较两种路线的方法实际上就是先求每种路线中两条线段的和，再比较和的大小，从而引出线段和的概念。在这一过程中，教师应让学生充分感受与体验知识的产生与形成过程，让学生通过直观的观察来理解抽象的数学概念，加深对本课所学知识的理解与掌握。

1.线段和、差的概念

步骤1：

一般地，如果一条线段的长度是另两条线段的长度的和，那么这条线段就叫作另两条线段的和。线段c是线段a与b的和，记做c=a+b.

步骤2：

在这个步骤中，教师应用类比的方法让学生得出：如果一条线段的长度是另两条线段的长度的差，那么这条线段就叫作另两条线段的差。线段a是线段c与b的差，记做a=c-b.

步骤3：

两条线段的和或差仍是一条线段。

步骤4：巩固对概念的理解。

练习1：观察图3，根据图中所标线段的长度，你能得出哪些线段间的数量关系？

【设计意图】教材用数量化定义两条线段的和、差，使线段的和、差与线段的大小的定义处于同一体系，并与数的大小比较，使之与数的和、差等意义保持一致。本题就是要让学生从数和形两方面体会线段和、差的意义，渗透了数形结合的思想。

练习2：如图4所示，C是线段AB上的一点.请完成下面的填空。

【设计意图】从数量化来理解线段的和、差过渡到图形上线段的和、差，让学生进一步理解两条线段的和与差仍是一条线段。线段的和、差是本堂课的重点，通过前面的学习，学生已经完成了相关知识的建构。为突出重点，本节课安排了相应练习，同时补充了线段延长线的概念。通过这组练习，学生进一步掌握知识、形成技能、发展思想、培养能力。

2.线段的中点

如图5所示，线段AB=2，点C把线段AB分成相等的两部分，这个点给它取个什么名字好呢？

生：中点。

师：能不能更准确些呢？

生：线段AB的中点。

追问：（展示手中的一段绳子）如果这段绳子代表一条线段，怎么找到它的中点？

生：用对折的方法找到。

师：用几何画板动态展示对折一条线段，得到线段的中点。

【设计意图】通过向学生提问，组织学生小组合作，来研究线段的和与差的画法。教师用圆规、尺子在黑板上作图，引导学生完善作图的步骤，加深学生的印象;组织学生观察所画线段的特点，通过发现“点C把线段AB分成相等的两条线段AC和BC”这一特点引出“线段的中点”的概念，使学生能自然而然地接受新知识。

3.线段中点概念

如图5所示，点C把线段AB分成相等的两条线段AC与BC，点C叫作线段AB的中点。

∵点C是线段AB的中点，

∴AC=BC=      AB， AB=2AC=2BC

如图6所示，延长线段AB至点D，使BD=AC=CB，则点B、C叫作线段AD的三等分点。

（三）变式练习，巩固新知

（1）如图7所示，若CD=4，BD=7，点B是AC的中点，求AB的长。

【设计意图】在具体的问题中应用线段的和、差以及线段的中点进行解题，帮助学生理顺线段间的数量关系，为以后学习几何证明打下坚实的基础，实现本节课的教学目标，落实本节课的重点。

（2）如图8所示，点C是线段AB的中点，点D、E把线段AB三等分，若CD=1.5，求AB的长.

【设计意图】从简单的线段的和、差到更复杂的数量关系，从线段的中点过渡到线段的等分点，体现了从简单到复杂。本题的教学为学生迈好学习几何第一步意义深远，也是本节课突破难点的关键。

（3）已知点P为线段AB上一点，点P把线段AB分成的两部分长度之比为2：3，若AP=4cm，求PB、AB的长。

【设计意图】知识为骨干，思想为灵魂，数形结合、分类讨论、方程思想这三大数学思想在本题都徐徐展开，开拓了学生的视野，丰富了学生的思想，训练了学生的能力，也激发了学生学习数学的兴趣和探索数学知识的欲望。

（四）课堂小结，内化新知（如图9所示）

（五）作业布置，落实新知

（1）书本P152、P153课内练习、作业题。

（2）作业本。

四、目标检测设计

（1）如图10所示，C、D、E是线段AB上的三个点，下列关于线段CE的表示：①CE=CD+DE;②CE=BC-EB;③CE=CD+BD-AC;④CE=AE+BC-AB

【设计意图】考察学生对线段的和、差的理解，让学生学会观察图形，从图形中去寻找线段的和与差的关系。

（2）已知线段AB，C是直线AB上一动点，P是线段AC的中点，Q是线段BC的中點.

①若点C恰好为线段AB上的一点，且AB的长为10cm，则PQ=         cm;

②求线段PQ与线段AB长度的关系

【设计意图】考察学生对线段中点的理解，让学生体会用运动的观点看待问题，让分类讨论、方程思想、数形结合思想渗透到学生的思考中，并尝试培养在复杂关系中寻找所需的数量关系的能力。

（3）已知：AB=5，BC=3，求：（1）AC的最大值;（2）AC的最小值。

【设计意图】这个题目看似简单，实则需要较强的几何直觉能力，一开始大部分学生会感到简单，但又觉得不好把握。通过本题的练习，逐步培养学生对一个问题全方位思考的能力，化静为动，又能从动中寻找出不变的规律。

总之，本课是学生几何证明、几何逻辑思维的开山之作，从这一节课起，学生真正进入了波澜壮阔的几何的学习，学生几何证明之路开始迈出了第一个踏实的脚步。

参考文献：

[1] 李晓文，王莹.教学策略[M].北京：高等教育出版社，2000.

（责任编辑：奚春皓）