关于量子力学原理的注记

杨师杰

(北京师范大学 物理学系，北京 100875)

在经典力学中，质点的状态由位置和动量(速度)(q,p)完整地描述，这样一对物理量被称作正则共轭量，它满足哈密顿运动方程：

(1)

其中j=1,2,…,n代表n维空间独立坐标.对于N质点系统，由独立变量(q,p)张开一个2nN维的相空间，相空间中的一点代表质点系的一个完整状态，质点系的时间演化即为相空间里的一条轨迹.对于孤立系统，这条轨迹被约束在相空间中的等能面上.

量子力学的情况有所不同，由于位置和动量不是好物理量，不能用它们来描述微观粒子的状态.我们设想仍然存在一个状态量|ψ〉，它完备地描述粒子的全部物理性质，那么需要解决下面几个问题：1) 状态量|ψ〉处于什么样的空间中？2) 状态量|ψ〉具有什么基本特性？3) 状态量|ψ〉在该空间中随时间如何演化？相对于经典力学的相空间，量子系统所有可能的状态集合构成一个完备的复内积空间，冯·诺依曼称之为希尔伯特空间[1].所以状态量|ψ〉是希尔伯特空间中的一个向量，它满足线性叠加原理，并且保持归一化条件：〈ψ|ψ〉≡1. 所有力学量都被视作对量子态进行线性变换操作的算符，该操作不会导致状态量超出原来的希尔伯特空间，为此要求力学量都是自伴算符.

为了得到状态量|ψ(t)〉随时间演化的动力学方程，引入演化算符U(t,t0)，有

|ψ(t)〉=U(t,t0)|ψ(t0)〉

(2)

其中|ψ(t0)〉是t0时刻的状态量.由于〈ψ(t)|ψ(t)〉=〈ψ(t0)|ψ(t0)〉=1，可知

U†(t,t0)U(t,t0)=1

(3)

即U(t,t0)必须是幺正算符，可表示为U(t,t0)=eiΛ(t,t0)，其中Λ=Λ†为厄米算符.现在考虑一个具有时间平移不变的系统，状态量|ψ(t)〉应该具有什么形式呢？……