参数非凸弱广义Ky Fan不等式解映射的Lipschitz连续性

万德龙, 孟旭东

(南昌航空大学科技学院, 江西 共青城 332020)

Ky Fan不等式[1]提供了几类问题的统一模型, 如向量优化问题、向量变分不等式、向量互补问题、向量鞍点问题和不动点问题等, 在力学、数学物理、交通运输和网络均衡等领域应用广泛[2-4]. 目前, 关于Ky Fan不等式解映射存在性的研究已有许多成果[5-8], 关于Ky Fan不等式解映射的稳定性研究是优化问题的研究热点, 如解映射的连续性、Hölder连续性、Lipschitz连续性和连通性等[9-22]. 对Ky Fan不等式解映射Lipschitz连续充分条件的研究可有效促进优化理论建立、算法设计及应用实践. 本文在实赋范线性空间中, 在非凸分离定理的基础上给出参数非凸弱广义Ky Fan不等式解映射Lipschitz连续的最优性充分条件.

1 预备知识

设U(λ0)×V(μ0)⊆Λ×Ω为点(λ0,μ0)∈Λ×Ω的有界邻域,f:X×X×Ω→Y为向量值映射,E:Λ→2X为集值映射, 对每个点(λ,μ)∈U(λ0)×V(μ0), 讨论参数非凸弱广义Ky Fan不等式, 简称问题(PWGKFI)： 找到点x0∈E(λ), 满足

f(x0,y,μ)∉-int(C), ∀y∈E(λ).

对每个点(λ,μ)∈U(λ0)×V(μ0), 问题(PWGKFI)的弱有效解集记为SW(λ,μ), 即

SW(λ,μ)={x∈E(λ):f(x0,y,μ)∉-int(C), ∀y∈E(λ)}.

定义1设Y,Ω为实赋范线性空间,G:Ω→2Y为给定的集值映射,g:X→Y为向量值映射, 给定点μ0∈Ω, 则：

1) 称集值映射G在点μ0处为l-Lipschitz连续的当且仅当存在l>0及点μ0的邻域V(μ0)⊆Ω, 使得对任意的点μ1,μ2∈V(μ0), 均有

G(μ1)⊆G(μ2)+l‖μ1-μ2‖B(0,1)；

2) 称向量值映射g在点μ0处为l-Lipschitz连续的当且仅当存在l>0及点μ0的邻域V(μ0)⊆Ω, 使得对任意的点μ1,μ2∈V(μ0), 均有

‖g(μ1)-g(μ2)‖≤l‖μ1-μ2‖.

定义2[19]设Y为实赋范线性空间,A⊆Y为非空子集, 泛函ΔA:Y→∪{±∞}定义为

ΔA(y)=dA(y)-dYA(y).

命题1[19]设Y为实赋范线性空间,A⊆Y为非空子集, 且A≠Y, 则下列结论成立:

1)ΔA为实值泛函；

2)ΔA为1-Lipschitz算子；

3) 若int(A)≠Ø, 则ΔA(y)<0当且仅当y∈int(A);

4)ΔA(y)=0当且仅当y∈bd(A);

5) 若Ac≠Ø, 则ΔA(y)>0当且仅当y∈int(Ac);

6) 若A为顶点在原点的锥, 则ΔA为正齐次的.

受文献[20]启发, 定义如下非线性泛函：

T(ω;ε)=εΔ-int(C)(ω)-‖ω‖, (ω,ε)∈Y×+.

定义3设X,Y,Ω为实赋范线性空间,……