参数非凸弱广义Ky Fan不等式解映射的Lipschitz连续性

万德龙, 孟旭东

(南昌航空大学科技学院, 江西 共青城 332020)

Ky Fan不等式[1]提供了几类问题的统一模型, 如向量优化问题、向量变分不等式、向量互补问题、向量鞍点问题和不动点问题等, 在力学、数学物理、交通运输和网络均衡等领域应用广泛[2-4]. 目前, 关于Ky Fan不等式解映射存在性的研究已有许多成果[5-8], 关于Ky Fan不等式解映射的稳定性研究是优化问题的研究热点, 如解映射的连续性、Hölder连续性、Lipschitz连续性和连通性等[9-22]. 对Ky Fan不等式解映射Lipschitz连续充分条件的研究可有效促进优化理论建立、算法设计及应用实践. 本文在实赋范线性空间中, 在非凸分离定理的基础上给出参数非凸弱广义Ky Fan不等式解映射Lipschitz连续的最优性充分条件.

1 预备知识

设U(λ0)×V(μ0)⊆Λ×Ω为点(λ0,μ0)∈Λ×Ω的有界邻域,f:X×X×Ω→Y为向量值映射,E:Λ→2X为集值映射, 对每个点(λ,μ)∈U(λ0)×V(μ0), 讨论参数非凸弱广义Ky Fan不等式, 简称问题(PWGKFI)： 找到点x0∈E(λ), 满足

f(x0,y,μ)∉-int(C), ∀y∈E(λ).

对每个点(λ,μ)∈U(λ0)×V(μ0), 问题(PWGKFI)的弱有效解集记为SW(λ,μ), 即

SW(λ,μ)={x∈E(λ):f(x0,y,μ)∉-int(C), ∀y∈E(λ)}.

定义1设Y,Ω为实赋范线性空间,G:Ω→2Y为给定的集值映射,g:X→Y为向量值映射, 给定点μ0∈Ω, 则：

1) 称集值映射G在点μ0处为l-Lipschitz连续的当且仅当存在l>0及点μ0的邻域V(μ0)⊆Ω, 使得对任意的点μ1,μ2∈V(μ0), 均有

G(μ1)⊆G(μ2)+l‖μ1-μ2‖B(0,1)；

2) 称向量值映射g在点μ0处为l-Lipschitz连续的当且仅当存在l>0及点μ0的邻域V(μ0)⊆Ω, 使得对任意的点μ1,μ2∈V(μ0), 均有

‖g(μ1)-g(μ2)‖≤l‖μ1-μ2‖.

定义2[19]设Y为实赋范线性空间,A⊆Y为非空子集, 泛函ΔA:Y→∪{±∞}定义为

ΔA(y)=dA(y)-dYA(y).

命题1[19]设Y为实赋范线性空间,A⊆Y为非空子集, 且A≠Y, 则下列结论成立:

1)ΔA为实值泛函；

2)ΔA为1-Lipschitz算子；

3) 若int(A)≠Ø, 则ΔA(y)<0当且仅当y∈int(A);

4)ΔA(y)=0当且仅当y∈bd(A);

5) 若Ac≠Ø, 则ΔA(y)>0当且仅当y∈int(Ac);

6) 若A为顶点在原点的锥, 则ΔA为正齐次的.

受文献[20]启发, 定义如下非线性泛函：

T(ω;ε)=εΔ-int(C)(ω)-‖ω‖, (ω,ε)∈Y×+.

定义3设X,Y,Ω为实赋范线性空间,E⊆X为非空子集,f:X×X×Ω→Y为向量值映射, 对每个给定点(μ,ε)∈V(μ0)×+⊆Ω×+, 称映射f(·,·,μ)关于T(·;ε)在E×E上为h-Lipschitz强单调的当且仅当存在h>0, 使得对任意点x,y∈E,x≠y, 均有

T(f(x,y,μ);ε)+T(f(y,x,μ);ε)+h‖x-y‖≤0.

结合命题1, 类似文献[20]中命题3.1的证明过程, 易得：

命题2设Y为实赋范线性空间,+=(0,+∞), 则下列结论成立:

1)T为实值泛函；

2) 对每个点ε∈+,T(·;ε)关于‖·‖与ε为1+ε-Lipschitz算子；

3) 若点ω∈-int(C), 则对每个点ε∈+, 有T(ω;ε)<0;

4) 若点ω∉-int(C), 则存在点ε∈+, 使得T(ω;ε)≥0;

5) 对每个点ε∈+, 均有T(·;ε)为正齐次的.

为建立集合-int(C)与紧子集A⊆Y之间的非凸分离定理, 本文给出如下基本假设条件：

(H0) 设Y为实赋范线性空间,A⊆Y为非空子集, 存在δ>0, 满足B(0,δ)∩A≠Ø, 使得对任意点ω∈(B(0,δ)∩A)(-int(C)), 均有Δ-int(C)(ω)=‖ω‖.

命题3设Y为实赋范线性空间,+=(0,+∞),A⊆Y为非空紧非凸子集, 且满足基本假设(H0), 则A∩(-int(C))=Ø当且仅当存在点ε∈+, 使得对任意点u∈-int(C),v∈A, 均有

T(u;ε0)

证明： 充分性显然成立. 下面证明必要性.

根据命题2中3)知, 对每个点u∈-int(C)及点ε∈+, 均有

T(u;ε)<0.

(1)

则必存在一致的点ε∈+, 使得对每个点v∈A, 均有T(v;ε0)≥0. 事实上, 由A⊆Y为非空紧子集知,AB(0,δ)为紧集. 不妨设

易见m,M>0. 对每个点v∉-int(C),v∈A, 考虑下列两种情形：

情形1) 若B(0,δ)∩A≠Ø, 则取点v∈B(0,δ)∩A及点ε1=1∈+, 有

T(v;ε1)=ε1Δ-int(C)(v)-‖v‖=‖v‖-‖v‖=0.

2 问题(PWGKFI)弱解映射的Lipschitz连续性

假设对每个点(λ,μ)∈U(λ0)×V(μ0), 问题(PWGKFI)的弱有效解集SW(λ,μ)≠Ø, 下面建立问题(PWGKFI)弱有效解映射SW(·,·)在Λ×Ω上的Lipschitz连续性定理.

对每个点(λ,μ,ε)∈U(λ0)×V(μ0)×+⊆Λ×Ω×+, 考虑如下Ky Fan不等式： 找到点x0∈E(λ), 满足

T(f(x0,y,μ);ε)≥0, ∀y∈E(λ),

将其解集记为SW(λ,μ,ε), 即

SW(λ,μ,ε)={x0∈E(λ):T(f(x0,y,μ);ε)≥0, ∀y∈E(λ)}.

给定点(λ0,μ0)∈Λ×Ω, 则存在点λ0∈Λ的邻域U(λ0)⊆Λ, 记集合

为叙述方便, 假设:

(H1)E(·)在点λ0处为l-Lipschitz连续的；

(H2) 对任意点μ∈V(μ0),ε∈+,f(·,·,μ)关于T(·;ε)在E(U(λ0))×E(U(λ0))上为h-Lipschitz连续强单调的；

(H3) 对任意点x∈E(U(λ0)),μ∈V(μ0),f(x,·,μ)在E(U(λ0))上为k-Lipschitz连续的；

(H4) 对任意点x,y∈E(U(λ0)),f(x,y,·)在V(μ0)上为s-Lipschitz连续的；

(H5)f(·,·,μ0)在E(U(λ0))×E(U(λ0))上为有界的, 即存在M0>0, 使得对任意点x,y∈E(U(λ0)), 均有‖f(x,y,μ)‖≤M0;

(H6) 对任意点(λ,μ)∈U(λ0)×V(μ0),f(·,·,μ)在E(λ)×E(λ)上为紧值的, 且存在δ>0, 使得当B(0,δ)∩f(E(λ),E(λ),μ)≠Ø时, 对任意点y∈(B(0,δ)∩f(E(λ),E(λ),μ))(-int(C)), 均有Δ-int(C)(y)=‖y‖.

引理1假设条件(H6)成立, 对每个点(λ,μ)∈U(λ0)×V(μ0), 均存在有界子集D⊆+, 使得

(2)

(3)

首先证明

(4)

T(f(x,y,μ);ε0)≥0, ∀y∈E(λ).

(5)

假设点x∉SW(λ,μ), 则存在点y0∈E(λ), 使得f(x,y0,μ)∈-int(C). 根据命题2中3)知, 对每个点ε∈+, 均有T(f(x,y0,μ);ε)<0, 与式(5)矛盾. 故点x∈SW(λ,μ), 因此式(4)成立.

下证存在有界子集D⊆+, 使得

(6)

事实上, 设点x∈SW(λ,μ), 则有

f(x,y,μ)∉-int(C), ∀y∈E(λ),

于是

f(x,E(λ),μ)∩(-int(C))=Ø.

记

根据命题3及条件(H6)知, 存在点ε0(x)∈(0,ε0], 使得点x∈SW(λ,μ,ε0(x)). 记D=(0,ε0], 显然D⊆+有界, 且点故式(6)成立. 结合式(4),(6)知, 式(3)成立, 所以式(2)成立.

引理2假设条件(H4),(H5)成立, 则存在ρ>M0, 使得对任意点ε1,ε2∈+, 均有

|T(f(x,y,μ1);ε1)-T(f(x,y,μ2);ε2)|≤max{1+ε1,1+ε2}s‖μ1-μ2‖+ρ|ε1-ε2|,

(7)

证明： 由条件(H5)知,

(8)

对任意点(x,y,μ)∈E(U(λ0))×E(U(λ0))×V(μ0), 注意到条件(H4)、式(8)及Δ-int(C)的1-Lipschitz性, 可得

(9)

因此对每个点ε1,ε2∈+, 由条件(H4)、式(9)以及T的Lipschitz性质, 可得

类似地, 有

|T(f(x,y,μ1);ε1)-T(f(x,y,μ2);ε2)|≤(1+ε2)s‖μ1-μ2‖+ρ|ε1-ε2|.

(11)

根据式(10),(11)知式(7)成立. 证毕.

引理3假设条件(H1)～(H5)成立, 对任意点ε∈+, 存在ρ>M0, 则:

1)SW(·,·,ε)在U(λ0)×V(μ0)上为单元素集；

2) 对任意点(λ1,μ1,ε1),(λ2,μ2,ε2)∈U(λ0)×V(μ0)×+及任意点x(λ1,μ1,ε1)∈SW(λ1,μ1,ε1),x(λ2,μ2,ε2)∈SW(λ2,μ2,ε2), 有

‖x(λ1,μ1,ε1)-x(λ2,μ2,ε2)‖≤Lλ‖λ1-λ2‖+Lμ‖μ1-μ2‖+Lε|ε1-ε2|,

(12)

证明： 1) 对每个点(λ,μ,ε)∈U(λ0)×V(μ0)×+, 必有SW(λ,μ,ε)为单元素. 事实上, 若点x0∈SW(λ,μ,ε), 则

T(f(x0,y,μ);ε)≥0, ∀y∈E(λ).

(13)

根据条件(H2)知,

T(f(x0,y,μ);ε)+T(f(y,x0,μ);ε)+h‖x0-y‖≤0, ∀y∈E(λ){x0}.

(14)

由式(13),(14)可得

T(f(y,x0,μ);ε)<0, ∀y∈E(λ){x0},

故对任意点y∈E(λ){x0}, 有点y∉SW(λ,μ,ε), 因此SW(·,·,ε)在U(λ0)×V(μ0)上为单元素集.

2) 下面分三步证明式(12)成立.

① 证明

‖x(λ1,μ1,ε1)-x(λ1,μ2,ε1)‖≤Lμ‖μ1-μ2‖.

(15)

事实上, 若点x(λ1,μ1,ε1)=x(λ1,μ2,ε1), 则式(15)显然成立. 假设点x(λ1,μ1,ε1)≠x(λ1,μ2,ε1), 根据{x(λ1,μ1,ε1)}=SW(λ1,μ1,ε1), {x(λ1,μ2,ε1)}=SW(λ1,μ2,ε1), 可得

T(f(x(λ1,μ1,ε1),x(λ1,μ2,ε1),μ1);ε1)≥0,

T(f(x(λ1,μ2,ε1),x(λ1,μ1,ε1),μ2);ε1)≥0.

再由条件(H2)及引理2, 得

故

因此式(15)成立.

② 证明

‖x(λ1,μ2,ε1)-x(λ1,μ2,ε2)‖≤Lε|ε1-ε2|.

(16)

事实上, 不妨设点x(λ1,μ2,ε1)≠x(λ1,μ2,ε2), 根据{x(λ1,μ2,ε1)}=SW(λ1,μ2,ε1), {x(λ1,μ2,ε2)}=SW(λ1,μ2,ε2), 可得

T(f(x(λ1,μ2,ε1),x(λ1,μ2,ε2),μ2);ε1)≥0,

T(f(x(λ1,μ2,ε2),x(λ1,μ2,ε1),μ2);ε2)≥0.

再根据条件(H2)及引理2知,

故

因此式(16)成立.

③ 证明

‖x(λ1,μ2,ε2)-x(λ2,μ2,ε2)‖≤Lλ‖λ1-λ2‖.

(17)

事实上, 根据点x(λ1,μ2,ε2)∈E(λ1),x(λ2,μ2,ε2)∈E(λ2), 并结合条件(H1)知, 存在点x1∈E(λ1),x2∈E(λ2), 使得

‖x(λ1,μ2,ε2)-x2‖≤l‖λ1-λ2‖, ‖x(λ2,μ2,ε2)-x1‖≤l‖λ1-λ2‖.

(18)

再注意到{x(λ1,μ2,ε2)}=SW(λ1,μ2,ε2), {x(λ2,μ2,ε2)}=SW(λ2,μ2,ε2), 有

T(f(x(λ1,μ2,ε2),x1,μ2);ε2)≥0,

T(f(x(λ2,μ2,ε2),x2,μ2);ε2)≥0.

由条件(H2),(H3)及T的Lipschitz性质, 并结合式(18), 有

故

因此式(17)成立. 再结合式(15)～(17), 得

因此式(12)成立.

由引理1～引理3可建立问题(PWGKFI)解映射Lipschitz连续的充分性定理.

定理1假设条件(H1)～(H6)成立, 则存在有界子集D⊆+, 使得对任意点(λ1,μ1),(λ2,μ2)∈U(λ0)×V(μ0), 有

SW(λ1,μ1)⊆SW(λ2,μ2)+lλ‖λ1-λ2‖+lμ‖μ1-μ2‖,

(19)

证明： 对任意点(λ1,μ1),(λ2,μ2)∈U(λ0)×V(μ0), 只需证对任意点x1∈SW(λ1,μ1), 存在点x2∈SW(λ2,μ2), 使得

‖x1-x2‖≤lλ‖λ1-λ2‖+lμ‖μ1-μ2‖.

(20)

x1=x(λ1,μ1,ε0)∈SW(λ1,μ1,ε0).

再结合引理3知, 存在点x(λ2,μ2,ε0)∈SW(λ2,μ2,ε0), 使得

‖x(λ1,μ1,ε0)-x(λ2,μ2,ε0)‖≤lλ‖λ1-λ2‖+lμ‖μ1-μ2‖.

(21)

在式(21)中取点x2=x(λ2,μ2,ε0), 可得式(20)成立, 因此式(19)成立.

下面给出实例检验定理1.

例1设X=Λ=Ω=,对每个λ∈Λ,E(λ)=[-3,-2], 令取‖·‖=‖·‖2, 下面验证条件(H1)～(H6)成立.

1) 显然E(·)在Λ上为1-Lipschitz连续的, 故条件(H1)成立.

2) 由于f的值或者在intC中, 或者在-intC中, 故只需证条件(H2)中对每个ε∈(0,1]成立即可. 根据命题3, 对每个ε∈(0,1]及(x,y)∈E(U(λ0))×E(U(λ0)),x≠y, 均有

对μ∈[0,1], 分3种情形讨论|x-y+μ|+|y-x+μ|的范围.

情形① 若x-y+μ<0, 则由μ>0知,y-x+μ>0, 故

|x-y+μ|+|y-x+μ|=2|x-y|;

情形② 若x-y+μ=0, 则μ=y-x, 故

|x-y+μ|+|y-x+μ|=2|x-y|;

情形③ 若x-y+μ>0, 则

根据x-y+μ>0, 并注意到μ∈[0,1]知, 2μ>2|x-y|. 综合上述3种情形知,

|x-y+μ|+|y-x+μ|≥2|x-y|.

因此

即

表明对任意的ε∈+,f(·,·,μ)关于T(·,·;ε)在E(U(λ0))×E(U(λ0))上为连续强单调的.

3) 检验条件(H3)成立. 事实上, 对任意点μ∈V(μ0)及x∈E(U(λ0)), 有

4) 根据已知条件知, (H4)和(H5)显然成立.

5) 易知对任意的(λ,μ)∈U(λ0)×V(μ0),f(·,·,μ)在E(λ)×E(λ)上为紧值的, 此外, 注意到f的值或者在intC中, 或者在-intC中, 因此存在δ>0, 使得

B(0,δ)∩f(E(λ),E(λ),μ)≠Ø.

于是对任意点y∈(B(0,δ)∩f(E(λ),E(λ),μ))(-int(C)), 取ε0=1∈[0,1], 有

T(y;ε0)=ε0Δ-int(C)(y)-‖y‖=ε0‖y‖-‖y‖=(ε0-1)‖y‖=0,

故

Δ-int(C)(y)=‖y‖.

从而条件(H6)成立.