一类Kirchhoff型双曲方程在任意初始能量下的有限时刻爆破

邵湘琨 唐国吉

(1.广西民族大学 数学与物理学院,广西南宁 530006;2.广西混杂计算与集成电路设计分析重点实验室,广西南宁 530006)

§1 引言

本文主要考虑如下带有分数次算子的Kirchhoff型双曲方程的初边值问题

其中Ω ⊂RN是一个具有Lipschitz边界的有界区域,0

这里Bε(x)表示以x ∈RN为中心,ε>0为半径的球,函数K:RN {0}→(0,+∞) 满足

(k1)wK ∈L1(RN),其中w(x)=min{1,|x|2};

(k2) 存在正常数K0,使得对任意x ∈RN {0},都有K(x)≥K0|x|−N−2s.

Kirchhoff函数M满足

(M0) 对任意的t ∈[0,+∞)和有M(t):=tθ−1,其中

此外,假设函数f:R→R满足

(S1)f ∈C1(R),f(0)=f′(0)=0,并且在原点附近有f/≡0;

(S2) 满足下面的(a)或(b);

(a)f(u)在R上是单调的,且在(0,+∞)上是凸函数,在(−∞,0)上是凹函数;

(b)f(u)在R上是凸函数;

近几十年来,分数次Kirchhoff型方程受到国内外专家学者的广泛研究(见[1-7]及其参考文献),它可以描绘大量的自然现象,能够作为大气流体力学,金融经济学等诸多实际问题中的模型,在解的性质方面也得到了许多很好的成果,比如方程解的存在性,渐进性和爆破性质(详见[8-11]及其参考文献)等.

特别地,当Kirchhoff函数M满足假设(M0)并且f满足假设(S1)-(S4)时,问题(1)已经在文献[12]中被研究,通过应用Galerkin方法以及势阱法(参见[13]),Pan-Pucci-Zhang讨论了问题解的真空隔离现象,得到了解在低初始能量和临界初始能量下的全局存在性以及低初始能量时的有限时刻爆破性质.一个自然的问题是:问题(1)的解是否在任意高初始能量下有限时刻爆破呢?这是本文研究的主要动机.

本文找到了一个与势阱深度无关的有限时刻爆破条件,进一步利用此爆破条件得到了问题(1)的解在任意高初始能量时的有限时刻爆破结果.此工作进一步扩展了文献[12]中得……