混料格点设计的性质及应用

李光辉,李俊鹏,张崇岐

(1.凯里学院 理学院,贵州凯里 556011;2.广州大学经济与统计学院,广东广州 510006)

§1 引言

由格子点集所构造的设计在生产实践中经常被使用,而关于它们的诸多性质却少有文献进行讨论及证明.鉴于此,本文在此基础上,对已有的混料格子点集的部分性质进行了证明,并补充了相关性质.首先,§2给出了混料试验的基本概念与记号,§3讨论了混料格子点集的基本性质;§4列举了格子点集的两个应用,分别是非参数回归模型的建模与格点剖分下的均匀性检验;§5总结并提出了进一步可研究的问题.

§2 基本记号

q分量混料试验域可以表示为

它是q −1维空间中的一个单纯形.若试验还受到其他约束条件的限制,将试验域记作

其中φj(x)是关于x ∈Sq−1的已知函数,aj,bj(j=1,2,···,k)为已知常数.

定义1设i1,i2,···,iq是1,2,···,q的一个置换排列,∀x=(x1,x2,···,xq)T∈Sq−1,由x生成的置换点集为H(x)={x,x1,x2,···,xp},其中xi=(xi1,xi2,···,xiq)T,i=1,2,···,p,它表示经下标置换后得到的所有互不相同的试验点构成的集合.令H(x)=[x,x1,x2,···,xp]T表示将H(x)中的各试验点按行排列而成的矩阵,称之为置换点矩阵.

例如令x1=(1,0,···,0)T,, 则由这两个点生成的置换点集为

其中eq(j)表示第j个元素为1,其余元素为0 的q维列向量.

性质2.1当1

其中Iq为q阶单位阵,为元素全部为1的q维列向量.

定义2记

为q分量m阶格子点集.

若L{q,m}={x1,x2,···,xN},其中xi=(xi1,xi2,···,xiq)T,i=1,2,···,N.将该点集中的试验点按行排列而成的矩阵记为L(q,m)=[x1,x2,···,xN]T.

§3 格点设计的性质

以下讨论关于L{q,m}以及对应规范多项式的一些性质.

性质3.1对于任意的m ∈Z+,格子点集总可以表示为由若干试验点生成的置换点集之并,即有

在混料试验设……