核心素养视角下“全等三角形”概念学习及课堂实录

董向东, 李瑞霞

(东营市实验中学，山东 东营 257091)

对核心素养的思考日渐细深，越来越聚焦于课堂的实现.概念教学尤其是核心概念的教学越来越受到重视.学习核心概念不但有助于对学科体系脉络的理解，而且有助于单元内知识、方法、思想的掌握.核心素养下探讨数学概念的教和学具有非常重要的意义，是对学生学科本质和素养的关注与培养.

1 情景创设与概念对象的产生

师：我们前面学习过三角形的知识，见过各种各样的三角形，比如根据三角形中最大角度数与90°的关系，有锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；从三边是否相等，有不等边三角形、只有两边相等和三边都相等的三角形等.请同学们找一张纸，先作一次对折，然后在上面画一个自己喜欢且大小适当的三角形.

评注让学生动手操作得到一对全等三角形，使概念对象直观化.不同的学生会裁出不同的三角形，体现了研究内容的普适性和一般性.这一环节体现了几何直观和模型意识，同时回顾了三角形的分类，渗透了获得全等三角形的简单方法.

数学概念的学习是一个循序渐进的过程，直观可操作的情景有利于降低概念学习起点的难度，使抽象的概念从具体着手，实现人人可学.这个阶段属于概念学习的情景创设和概念对象的提出阶段.

2 初步感知与个体特征的猜想

师：请同学们在纸张折叠状态下把你画的三角形裁下来，你会得到两个三角形，通过观察、分析和对比，你又有何新的发现？

观点1：这两个三角形面积相等.

观点2:这两个三角形都是同一类三角形.

观点3：这两个三角形能够重合.

观点4：这两个三角形是一样的.

评注两个三角形是由学生亲自裁出的，两个三角形的“全等性”不难理解，学生的直观感受应该是一致的，但表达的方式和侧重的角度却不一定相同，多维度的表达有助于促进每一位学生的理解.

以上的表达是学生基于直观观察的表象描述，属于概念的感知阶段.如果对概念的探索止步于此，将不便于学生对概念的“数学化编码”，不利于学生完成认知结构对新概念的同化和整合.这个初步感知阶段是重要的，是后续进一步探究的基础.正如教育心理学家奥苏泊尔所说:“假如让我把全部教育心理学仅仅归纳为一条原理的话,那么我将以一言蔽之——影响学习最重要的因素就是学生已经知道了什么,要探明这一点,并就此进行教学.”

3 深度思考与本质特征的归纳

师:大家认同这4位同学的观察吗？大家各自裁出的两个三角形可能并不相同，但经过观察，大家得出了一些共同的结论.对这些结论，请同学们再做进一步的思考，看看还有没有其他的数学表达方式(提示：可以运用类比拓展、抽象概括、具体化、不同语言转述等方式).

生1：对于观点1，我认为可以进行类比拓展，两个三角形的“周长也相等”.而且观点1和观点2都是观点4的具体化，说明这两个三角形是完全相同的.

生2：观点1其实是说明了这两个三角形的“大小”相同，观点2说明了这两个三角形的“形状”相同.也就是说，观点4所谓的两个三角形一样，是从“形状”和“大小”这两个维度来说明的.

生3：从具体化的角度来说，观点2说明这两个三角形无论是按角还是按边分类都是一致的.观点4其实是指能够重合的边和角也是一样的，也就是边和角都对应相等的.

生4:从这两个三角形产生的角度来说，它们是重合的，也正因为这个重合，这两个三角形才是一样的，无论是“大小”还是“形状”.如果我们是把纸张多次折叠，裁出多个三角形的话，那么他们也是一样的，也就是说我们用一个“母图”不断复制的话，这样得出的所有三角形也都是一样的.

评注先让学生的思维活跃起来，再启发学生用数学的视角，多层次、多角度来抽象概括，这样不但有助于对概念的“数学化”理解，而且也有助于积累后续学习的经验.这一环节有助于培养学生的数学抽象意识.

在上述探究中，思维的方向进一步“本质化”，思维的工具进一步“数学化”，思维的内容进一步整合和聚焦，思维的结果使当下概念嵌入到上位体系中，使新概念与原有认知结构实现了深度链接.这个阶段属于概念的理解阶段.相信学生、依靠学生是重要的.正如苏霍姆林斯基所说:“在人的心灵深处,都有一种根深蒂固的需要,这就是希望感到自己是一个发现者、研究者、探索者.”

4 定义对象与概念特征的界定

师：我们利用重叠裁剪的方法，得到了两个三角形，同学们也做了很有见地的分析.我们把这两个能够重合的三角形，叫做全等三角形.当然，同学们在讨论中也发现，不一定是两个三角形，也可以是多个，甚至无数个，只要是能够重合的三角形，都是全等三角形.对于全等三角形，结合上面的分析，我们可以进一步作哪些概括和归纳呢？如果把我们所学的作推广的话，你能给出怎样的拓展与猜想？

生5：全等三角形的面积、周长相等.

生6：全等三角形重合的边相等、角相等.

生7：全等三角形其实是“形状”“大小”相同的三角形.分开的全等三角形，相当于一个三角形处在不同的“位置”.

生8：不但三角形如此，四边形、多边形也存在全等，都具有同样的性质.

评注对前面零散的讨论作出界定，去伪存真，从特殊到一般，从表象到本质，理解了本质，也就明白了这一研究方向是否具有延展性.这一环节对学生的符号意识与抽象能力有所锻炼.

这个阶段属于概念的规范阶段.在前面探究的基础上给出准确的定义，并对概念探究的结果进行梳理、确认，明确其内涵和外延，清晰我们应该掌握的范围和程度.

5 思维训练与认知结构的重建

师：为表达两个三角形重合，我们引入了“对应元素”(对应顶点、对应角、对应边)的概念.既然全等的两个三角形可以看作是一个三角形处在不同的位置，那么，我们用裁出的两个三角形来拼摆一下不同的位置关系(提示：让两个三角形重合状态作为起始位置，一个保持在原位置不动，运动另一个三角形到另一个位置).先做几个简单的拼摆：1)让另一个三角形沿原三角形某一边所在直线方向平移；2)让另一个三角形沿原三角形某一边所在直线翻折；3)让另一个三角形绕原三角形某一顶点旋转一定度数.拼摆出来后，让同桌猜一猜你的操作路径和两个三角形各元素之间的对应关系.

师：我们再让操作复杂一点，你用“平移”“翻折”和“旋转”的2～3种变换，运动出两个三角形的一种相对位置图案，然后再与同桌互猜“操作”，并让对方试着用变换的方式还原重合的状况，你来评判一下，他的操作是否“理解了你的心意”.

师：我们再让操作复杂一点，看看你能不能变换出一种相对位置，让人不容易直接看出其对应关系，在小组内交流，看看是否有人无法“破解你的操作密码”.对于有争议的，可以通过还原的方式来验证，可能你们会有不一样的解读，可能存在更简捷的恢复路径.

评注识别全等三角形、识别全等三角形的对应角和对应边，是本单元重要的任务，这既是解决问题的关键，也是对图形理解的一种训练.从简单到复杂，从正向变换到反向复原，这样的训练不但有助于对应关系的确认，也有助于以后研究更复杂的图形.这一环节对学生的空间观念、抽象能力、创新能力、逆向思维、模型思维有很好的训练作用.

进一步动手操作，对概念理解和应用的重点部分进行不同层级地强化，为概念的应用做好准备，突出了数学思想、方法和经验的解读和抽象强化.本阶段属于从概念的理解到概念应用的过渡阶段.

6 问题解决与自我学习的反思

师：识别两个全等三角形之间元素的对应关系是重要的，通过以下各组全等三角形的识别训练(图形略)，你有哪些确认对应关系的方法？

生9：利用两个全等三角形“变换复原”的方法，可以判定各元素之间的对应关系.

生10：由于全等三角形的书写规则要求“≌”符号两边的三角形顶点是对应的，这样就可以根据顶点的对应来说出边和角的对应.

生11：根据全等三角形的性质，相等(公共)的边应为对应边，相等(公共)的角为对应角.

生12：从直观上看，大小相同的元素应该是对应元素，比如两个三角形中最大的角、最小的角、中等大小的角，应该是对应的，边也是类似的.

评注通过练习和交流，师生共同总结识别对应元素的方法，形成各自的经验，并在分享中丰富自己的经验.这一环节有助于对学生符号意识和应用能力的培养.

概念理解的侧面是多维的，深度是多层的，但不同背景下的迁移应用是对理解最好的考查.本环节聚焦全等前提下对应元素的确定方法，进行尝试和交流，既是概念理解和应用所需，也是后续全等判定的基础.本环节属于概念的应用阶段.

7 经验总结与概念地图的推演

师：回顾我们对全等三角形概念的学习，你认为我们经历了怎样的过程，有怎样的经验和体会？

生13：通过两个具体的全等三角形，我们研究了“等”的元素以及“等”的对应.特别是借助3种基本变换及其逆向还原学习了不同位置的对应关系.

生14：我认为动手操作对理解概念很重要，同学之间的互相启发也可以弥补自己思维的局限.形状、大小、位置是研究几何图形和关系的3个重要维度，平移、翻折、旋转是图形的3种重要变换方式，数量、位置等相互关系是两个具体的考查角度.

师：根据以往学习的经验，你对“全等三角形”还有怎样的疑问，你认为接下来我们应该探究什么？

生15：我认为需要知道全等三角形的作用，以及如何判定两个三角形全等.

评注概念不是孤立的，它是知识发展中的一个结点.及时对探究路径、过程和视角进行总结，把研究对象“拉远”，放入更大的学科“地图”里，从更宏观的视角来看待所做的探究，有助于学生学科知识结构和个人认知结构的建构.这一过程有助于学生活动经验、思维经验和探究经验的积累.

本环节是在强化了重点和进行了多层次训练基础上的总结概括，属于概念的建构阶段，有利于概念的进一步抽象.回顾概念学习的过程，有利于学生形成概念学习的经验.在基本掌握概念后，把概念进一步纳入学科结构和单元体系中，对学生掌握概念、理解单元脉络是重要的，这样的训练将更有利于学生理解概念的结点地位，以及由此展开的单元探究脉络.

8 教学反馈与概念应用的评价

师：解答下面的问题，并对你在本节课中收获的思维成果和从同学处学习的经验方法做一下梳理，你对自己在本节课的学习有怎样的反思？

问题1如图1，△ABC≌△DEB，其中AB=DE,∠E=∠ABC,则∠C的对应角是______；BD的对应边是______；AC与BE的位置关系是______.

图1 图2 图3

问题2如图2，△BAD≌△ADE，其中△ADE和△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°,AD=AE，AB=AC.请指出图2中的对应关系.

问题3如图3，将△AOB绕点O顺时针旋转52°得到△A′OB′，其中∠B=30°，∠B′OB=52°，你能得到哪些角的度数？是如何得到的？

评注教师对问题1～3的实际解答情况进行客观统计，既有利于从客观的角度了解学生总体的学习状况和个体的实际状况，也有利于我们对课堂教学的实际进行反思.如果有必要，那么可以在后续课堂中加以补救，或者进行个别指导.这一环节有利于学生推理能力和应用能力的培养.

该阶段属于概念的强化和评价阶段，是新知学习的重要阶段.评价内容要精心选择，不宜过多，要有一定的层次性，要紧密围绕课堂探究的内容，可以落脚在探究的最近发展区上.在采集评估信息的同时促进概念学习的进一步深化，将有助于促进学生元认知的发展.

数学概念是数学的逻辑起点,是学生学习数学知识的基石,也是学生进行数学思维的核心[1].它是数学思想与方法的载体，数学概念教学是培养数学核心素养的重要途径.正确理解概念是学生建构数学大厦的基石，学生只有正确地掌握概念，才能更好地掌握各种法则、公式和定理，才能有效地解决实际问题.章建跃博士认为:“数学是用概念思维的，在概念学习中养成的思维方式方法迁移能力最强.数学概念教学的意义不仅在于使学生掌握‘书本知识’,更重要的是让他们从中体验数学家概括数学概念的心路历程,领悟数学家用数学的观点看待和认识世界的思想真谛,学会用概念思维,进而发展智力和培养能力.”[2]数学概念虽然各不相同，但教学却有一定的规律，主动地、创造性地践行这些规律，对培养学生核心素养、提高数学教学质量是至关重要的.