探寻数学本质
——基于对“平移和旋转”的解读

黄珊珊

（江苏师范大学数学与统计学院 江苏 徐州 221116）

引言

张奠宙指出：“学好数学的核心就是要返璞归真、回归到数学的本质[1]。”“平移和旋转”属于“图形与几何”这一主题下的内容，小学四年级的学生已初步有一点空间的概念，并且在生活中经验下对平移和旋转有一定的感性认识，在此基础上让学生从感性到理性的角度通过学习过渡到理性阶段去认识平移和旋转，平移和旋转是后续学生学习三角形、平行四边形等知识的基础，抓住平移和旋转的本质有利于发展学生的数学眼光、空间观念和数学思想。但在现实教师学中，一些教师对如何抓住数学本质存在疑惑，那如何去抓住呢？从一个好的案例进行出发，为我们探寻数学本质指明了方向，吴正宪平移和旋转就是这样的一堂课。

1.平移和旋转的数学本质

马云鹏指出：“数学的本质就是数学是什么，数学是“数学是研究数量关系和空间形式的科学”，只有抓住其中最基本的“数量关系”和“空间形式，才能把握好数学及其教学[2]。”因此，要抓住数学的本质就要抓住数量关系和空间的形式。平移和旋转是图形运动的内容之一，吴正宪指出：“平移和旋转要凸显出其运动本质，在设计时让学生从运动变化中去欣赏图形，并在运动的图形中寻求知识、把握内容[3]。”也就是说我们要处理好平移和旋转这里的内容，我们要从两个方面抓住其本质。第一，平移和旋转是运动和变化的过程；第二，抓住平移和旋转本身特有的属性，从变化中寻求不变。

2.教学案例

通过对吴正宪老师的平移和旋转的教学进行分析，寻找如何凸显平移和旋转的本质。下面的课堂实录来自吴正宪老师的文献[4]。

[第一个教学片段]

吴正宪老师播放课件，邀请孩子们一起去游乐园玩耍，并请孩子们用自己的身体和声音模拟游乐园游玩项目，学生们扭动着身体，浸在这美妙的数学课堂中了。

师：同学们，刚刚游乐项目的运动方式一样吗？

生：做摩天轮是转，滑翔索道是直直的往前冲。

师：直直的往前冲，可以用一个词代替它吗？

生：平移。

师：摩天轮的转呢？

生：旋转。

吴老师的引入选择的素材不仅贴近学生的现实生活，而且每一位学生都在游戏体验的过程获得知识。平移和旋转的本质要突出运动的变化，游乐园项目都是具有运动的特点,通过自己的身体运动方式去感受“平移和旋转”的本质是运动，并在不同的运动中去充分的感知“平移和旋转”之间的区别。由外显的身体运动内化于心，在充分的模仿、运动中体验知识，为后续“平移和旋转”的学习提供了表象支撑。

[第二个教学片段]

师：请同学们先按图模仿运动方式，在进行分类。将不是平移和旋转方式的图拿在手里。

师：我们请了六位同学为其分类，只有“小兰”没有归类，请一位同学根据老师和同学们的口号为“小兰”做运动。

师：在刚刚体验中，尝试说一说什么是平移？

生：平移就是做直线的运动。

师：那“小兰”在平移的过程中，“小兰”她是怎么样的呢？

生：它可以直着、斜着平移，但“小兰”一直都是直直的。

师：说的真好啊，那方向上呢?

生：方向可以发生变化，但轨道是直直的，一条直线上移动。

师：真好，通俗的来讲平移过程中方向可以变化但是走的路线是直的。

吴正宪老师首先还是通过肢体模仿运动感受平移和旋转的区别的，其次，通过学生自己的理解从不同的方向让学生进行模拟平移、和旋转的运动，利于学生能够进一步区别平移和旋转，同时进一步感知平移是“方向可以发生变化，但是沿着直的路线移动”，从而突出平移的本质特征。

[第三个片段]

师：同学们你们是一名出租车司机调度员，工作任务就是按照顾客的要求将顾客送到指定的地点，在这个过程我们要思考小汽车的运动方式，大家把这些关键的要素记在小本子上。

师：两个人合作配合，一个人演示，另一位同学则指挥。

……

师：同学太棒了，我们已经超额完成了小司机的任务了，生活中还有哪些平移？

师：例子太多了，所以平移和旋转在哪呀？

生：生活中。

吴老师设计了这一款小司机的游戏，从活动中感受“平移和旋转”的运用。通过让学生从生活中体验“平移和旋转”，建构知识的生成，最终又将“平移和旋转”的知识运用到生活中去，从生活中来，回到生活中，真正的理解数学和生活不可分割。

[第四个片段]

师：请学生们观察课件演示，并判断下面这些运动，并用手模拟出动作。（转动汽车方向盘、打开水龙头、打开推拉窗）

师：楼房会搬家吗？请同学们先看录像，再把真实的感受表达出来。（上海音乐厅移动60米）

师：同学们小明他们家的卫生间，需要设计家们给他要安一个门，马桶和门的距离只有30厘米，小明请求各位为他选择一款合适的门，你们会选择哪一款门呢？请大家用手势告诉老师。

通过设计了：1.楼房搬家小视频2.聪明的设计家3.巧算长度这些生活中的例子，对于小学生来说更容易理解，数学中学习生活，生活中学习数学，二者不可分割，同时对平移和旋转的本质进一步巩固。

3.平移与旋转本质的价值追问

3.1 发展空间观念

平移、旋转是《图形运动》主题内容的一部分，“学习图形的运动的主要目的是引导学生从运动变化的角度去认识和探索空间与图形，进而发展学生的空间观念[5]”。教学中要突出二者运动方式并感受其区别，从变化中感受不变，平移运动是方向可以变化，但是轨迹必须是直直的，旋转是绕一点或绕一个轴进行旋转，小学阶段学生的空间观念发展尤为重要，为后续初中和高中学生的空间观念感奠定了基础，从运动的方式去探知平移旋转，有利于发展学生的空间观念。

3.2 发展数学眼光

数学离不开生活，在数学的学习过程要促进学生用数学的眼光看问题，生活中有许许多多的平移和旋转的例子，吴老师通过从实际生活出发，又将“平移和旋转”回到生活实际中去，让学生感受生活中的平移和旋转，明白数学和生活是息息相关不可分离的。有利于发展学生的数学眼光，把握生活中的这些数学现象。

3.3 发展数学思想

类比思想是本节课的灵魂，吴老师将平移和旋转结合在一起进行讲解，学生能够清楚感知平移和旋转的区别，进而促进对数学本质的理解。无论课前导入、教学过程还是最后的巩固，类比思想都是体现的淋漓尽致，为学生的数学思想发展埋下了一颗种子。

4.数学教育如何突出数学本质

4.1 结合生活情境授本质

弗莱登塔尔说：“数学教学要源于现实、扎根于现实。”所以数学教学要学会创造生活情境丰富学生的感性经验，曹一鸣过：“如何去运用新教材、创造性的使用教材，让数学更加贴近学生的生活对于老师来说是一个关键，我们要正确理解“生活化”，绝不能简单的理解“生活化”，因此教师在教学过程中要准确的理解生活化，并且在教学设计时重点就是寻找充分体现数学的本质、思想、方法和精神上的生活素材上[6]。”

游乐园、模拟出租车司机、楼房会搬家吗等情境与学生的生活紧密联系的，整整一节课学生都是在生活情境去感受平移和旋转的本质的，几个练习回到实际生活，从生活中来，回到生活中去，激发了学生学习的兴趣、促进学生的数学眼光的发展。

4.2 参与概念建构探本质

数学概念是事物空间形式和数量关系的本质属性在人脑中的反映，是进行数学思维的基本元素。数学教材上的数学概念是抽象的、不容易理解的，教学的过程中教师不对概念进行深挖，照本宣科，学生无法体验和感受知识的生成，因此，概念教学要让学生体验知识的生成过程，在体验的过程中构建知识，领会数学的本质。

从一系列活动感受平移和旋转，吴老师一堂课不是照本宣科，其灵魂在于学生在活动中参与概念建构，领会平移和旋转的本质。

4.3 渗透数学思想悟本质

“数学思想是数学产生与发展所必须依赖的思想，是学习过数学和没学习数学的人的根本的 思维差异[7]。”“数学思想是数学产生与发展所必须依赖的思想，是学习过数学和没学习数学的人的根本的思维差异[8]。”数学思想是人们对数学内容更为抽象和概括的本质认识，人在数学教育的过程中，数学知识会随着时间的流逝会遗忘，但数学思想会潜移默化的影响着我们，将会伴随我们一生。因此，数学教学重视数学思想的渗透，重视数学思想对数学本质的揭示，让数学课堂因思想而厚重。

吴老师平移和旋转这节课中，二者相互依赖，相辅相成促进学生理解。在这个过程类比的数学思想体现的淋漓尽致，通过类比感知平移和旋转的区别，也正是因为类比，本节课有了灵魂，将知识联系，深刻感悟本节课知识的本质。