结构可靠性解析法的分析和研究

秦 麟

(烟台大学土木工程学院，山东 烟台 264005)

0 引言

在实际工程中存在着大量的随机因素，传统的结构分析时，为保证结构安全，则要保证结构具有足够的抵抗力来应对其使用年限内可能产生的最大荷载，于是往往采用的是确定性的模型，这与实际情况并不相符。首先结构所进行的抵抗力估算是有误差的，并且所选用的材料性质也不是固定不变的，相应的所受外界荷载更是具有明显的不确定性。于是在二十世纪五六十年代初步提出了可靠性理论，且在七八十年代快速的发展起来。

1 结构可靠性的概念

提出两个假设来描述结构可靠性问题。一是该结构中构件只有两个性能状态即安全和故障；二是分析中存在的不确定量可以建模为空间和时间不变的连续随机变量[1]。这使得我们可以使用解析的方法来描述结构可靠性问题。此外，在上述假设下作出的可靠性估计对于实际工程来说通常是足够准确的。结构是由构件组成的，所以考虑结构系统可靠性前需要确定构件可靠性。当满足上述假设时，构件的性能可以用一个连续可微的极限状态函数来定义。对于包含n个随机变量x=[x1,x2,…xn]T的可靠性问题，极限状态函数g(x)=0为由x所定义空间的安全域与失效域的边界，称为极限状态面。其中g(x)≤0定义了故障域，g(x)≥0定义了安全域。因此，构件的失效概率由下面所示的n维积分给出，其中fx(x)是基本随机变量的联合概率密度函数[2-3]。

(1)

β=-φ-1(Pf)

(2)

从式(2)的一对一转换中可以找到广义可靠性指标，其中,φ-1(Pf)为标准正态分布函数的反函数。广义可靠性指标提供了替代失效概率的方法，失效概率通常在[10-7,10-1]的范围内，而广义可靠性指标通常在[1,5]。从式(1)和式(2)可以看出，结构可靠性领域的大部分研究都将集中在以下3个问题上：1)可用于问题的统计信息很少完整，即联合概率密度函数的定义不明确。2)由于用于表示真实结构物理行为的模型中存在缺陷，用于定积分的极限状态函数g(x)本身可能不确定。3)即使当联合概率密度函数和极限状态函数确定时，如果随机变量的数量n很大(大致n≥5)，则多重积分的计算也可能十分艰巨。结构可靠性发展至今有三类方法：解析法、模拟法以及混合法。解析法又分为精确解析法和近似解析法，精确解析法的限制条件较为苛刻，所以实际工程中很少使用。有效的近似解法例如：一次二阶矩法、一次可靠度法和二次可靠度法等。本文着重介绍实际工程中广为应用的一次二阶矩法、一次可靠度法和系统可靠性分析。

2 一次二阶矩法

在结构可靠性研究中发现在计算结构可靠性时必须要解决统计信息不全的问题，学者们发现仅利用随机变量的均值向量和标准差向量就能求解出结构可靠性信息，这便是一次二阶矩法。

2.1 cornell可靠性指标

基本构件的极限状态函数定义为Z=R-S，由于R和S均是随机变量，所以Z也是随机变量，这时失效区域为Z≤0，因此得出该构件失效的概率为Pf=FZ(0)。从式(1)看出积分复杂，所以往往将随机变量Z转换为服从均值0和标准差1标准正态分布的随机变量U[4]。其中,U=(Z-μz)/σz，σz为标准差;μz为均值。可以看出，Z≤0时对应于U≤μz/σz。如果定义β=μz/σz，则Pf可以表示为Pf=FU(-β)。β也被称为cornell可靠性指标。

2.2 均值一次二阶矩可靠性指标

(3)

g(x)≈g(M)+gT(M)(x-M)

(4)

而对于g(x)为非线性函数时,如式(4)所示,可使用x和g(x)之间非线性关系的泰勒级数展开来近似求得其均值和标准差信息。

2.3 均值一次二阶矩可靠性指标的几何解释

假设随机变量x的均值向量M和协方差矩阵∑是可用的。这样给定的协方差矩阵就可以写成∑=DRD的形式。其中D=diag[σi]是基本随机变量标准差的n×n对角矩阵,R=[ρij]是n×n的相关系数矩阵。基本随机变量X可以通过以下所示的线性变换转换为一组不相关的标准变量U,式中L是通过R的cholesky分解[5]获得的下三角矩阵。

R=LLT

(5)

U=L-1D-1(X-M)

(6)

(7)

在解析几何中,从任何n维空间的原点到由b0+bTu=0定义的超平面的最短距离Δ=b0/‖b‖，如图1所示。因此对于线性极限状态函数,βMVFOSM在数值上等于标准变量空间中从原点到极限状态函数所定义超平面的最短距离。如果使用这种几何解释,那么我们就可以为βMVFOSM公式化提供一个替代表达式。令点u*表示为超平面上的原点投影点,即极限状态函数在超平面上最靠近原点的那个点。同时令α表示指向故障区域平面上的单位法向,α等于归一化负梯度矢量,即:α=-G(u*)/‖G(u*)‖。因此βMVFOSM可以表示为式(8)。

βMVFOSM=αT·u*

(8)

2.4 Hasofer-Lind可靠性指标

对于非线性极限状态函数,根据几何解释可以看出可靠性指标可以定义为从标准变量空间的原点到极限状态表面G(u)=0距离最近点u*的距离。于是,在此定义下意味着极限状态函数的线性化发生在u*点处。这样,与之前βMVFOSM之间的唯一区别就在于线性化的点。通过HLRF(Hasofer-Lind-Rackwitz-Fiessler)算法[6],我们可以找到需要的验算点u*和与之对应的x*,这样就可以在原始空间或标准空间中在设计点处进行一阶泰勒展开方式计算Hasofer-Lind可靠性指标βFOSM。在原始空间中表示为式(9),在标准空间我们表示为式(10)。

(9)

(10)

但是,βFOSM指标的不足是缺乏有序性,从图2中可以看出,三种情况下的βFOSM值是相等的,但是失效概率是c>a>b。从图2中分析可以看出,这是由于在极限状态面在点u*线性化过程中失效区域形状缺失所致。

3 一次可靠度法(FORM)

大多数实际应用中,我们可以利用二阶矩以外的信息来改进可靠性计算,利用标准正态空间完全转动对称和在径向和切向上指数衰减两个特殊性质,通过全分布可靠性法[7-8]将基本随机变量转换为标准正态随机变量(当量正态化),即u=u(x)。使得我们能够获得Pf的准确估计。在极限状态曲面G(u)上最接近原点的点u*在失效区域所有点中具有最高的概率密度,我们将此点称为最可能的故障点。此外,由于概率密度的指数衰减,当失效概率较小时,对失效概率的大部分贡献都来自于u*附近的区域。在该点进行泰勒级数展开得到线性函数,再通过式(8)即可求得良好的可靠性指标近似值。FORM和Hasofer-Lind可靠性指标一样,需要确定验算点u*,所以同样可以使用HLRF算法进行求解。

值得关注的是,尽管u*是标准正态空间中最可能的故障点,但如果通过u*=u(x*),则x*不一定是原始空间中最可能的故障点,基本随机变量是非正态的,因此最可能的故障不是唯一的,它取决于定义故障点的空间。但是,经过大量研究发现,即使随机变量是非正态的,x*也是非常接近原始空间中最可能的故障点。FORM中估计的误差取决于标准正态空间中极限状态表面的不平整度,这种非平坦性可能是由于原始空间极限状态函数的非线性或非正态到标准正态空间转换导致的。但是,根据以往结构工程问题的经验来看,FORM的近似值都在可接受的范围。

4 系统可靠性

系统是构件的组合,每个组件都具有与之关联的极限状态函数,该函数定义了构件的性能状态。对于构件的可靠性问题,我们仅考虑安全和故障两个性能状态。我们将考虑的系统也只有这两个状态。系统可靠性分析中的一个重要且通常复杂的步骤是识别构成系统构件的所有组合。系统通常可以分为串联系统、并联系统和一般系统。如果任何构件发生故障而发生故障的系统称为串联系统,一条链的强度与其最薄弱环节的强度相当;仅当所有构件均发生故障时发生故障的系统称为并联系统;如果无法将力从系统一端传递到另一端,就发生故障称为一般系统[9]。为了便于分析一般系统,我们引入概率论中割集和径集的概念,将其看成最小割集的串联系统或最小径集的并联系统。通过计算或近似计算出每个构件的失效概率通过组合最终求解整个系统的可靠性信息。

5 结论

通过以上对结构可靠性解析法的分析和研究,总结出以下结论:

1)一次二阶矩法包括cornell可靠性指标、均值一次二阶矩可靠性指标和Hasofer-Lind可靠性指标。其中前两种方法计算便捷,不需要进行复杂计算,相应的误差也较大,而Hasofer-Lind可靠性指标通过引入验算点,提高了计算精度,相应的增加了计算难度。

2)一次可靠度法可以充分考虑一阶矩和二阶矩以外的概率分布信息,较一次二阶矩法能够进一步提高计算精度,但是对于当量正态化和数值积分有较大难度。

3)对建筑结构可靠性的计算可以将其分解为构件可靠性计算,然后应用系统可靠性的概念将其组合,最终计算出整个建筑结构系统的失效概率等可靠性信息,复杂构件性能由多个因素影响时同样可以应用该思路进行求解。