四旋翼飞行器双环条件积分滑模控制

丁 力， 阮文睿， 巢 渊， 李佳琪， 刘小峰

(1.江苏理工学院机械工程学院，江苏 常州 213000； 2.河海大学物联网学院，江苏 常州 213000)

0 引言

飞行控制器设计一直是实现四旋翼飞行器(简称四旋翼)自主飞行的关键技术之一，其控制性能的优劣常被作为评价四旋翼性能的重要指标[1]。然而，四旋翼是一个非线性、强耦合、易受外界干扰影响的单刚体系统，这给控制器的设计增加了难度。设计合适的飞行控制器一般会参考稳定性、鲁棒性、准确性及工程易实现性这4个指标[2]。例如，ANSARI等[3]利用动态逆理论设计了四旋翼的位姿双环控制器，在仿真环境中显示出比PID控制优越的性能，但当四旋翼模型不精确或受到外界扰动时，上述控制器的能力会下降；KOKSAL等[4]利用自适应策略来解决上述问题，并结合反步法控制律实现了四旋翼的轨迹跟踪控制，但基于自适应策略的控制实时性较差，还会增加控制器计算的复杂度，不易于工程实践。

滑模控制(Sliding Mode Control，SMC)是一种常见的非线性控制方法，其对外界干扰和参数不确定性有着较好的鲁棒性。但SMC中的切换项易引起系统抖振，抖振会引起控制输入端产生高频低振幅信号，从而导致控制系统崩溃。为抑制四旋翼控制系统中的抖振，学者们提出了不少方法，例如利用饱和函数或双曲正切函数替代SMC中的符号函数[5]、采用扰动观测器[6]、结合模糊理论[7]等。当存在阵风干扰时，四旋翼状态的测量结果会有缓慢的漂移，SMC虽可获得较满意的稳态误差，但无法抑制由空气阻力带来的静态误差。为消除静态误差，文献[8]提出了积分滑模控制器(Integral SMC，ISMC)，仿真结果显示四旋翼轨迹跟踪性能显著提高，然而，引入积分项也会造成系统瞬态响应下降。

根据前人研究成果，本文提出了一种条件积分滑模控制器(Conditional ISMC，CISMC)，用来设计四旋翼飞行器的位姿双环控制器。CISMC的设计思想是当系统位于边界层之外时，控制器变成了SMC，可以加快收敛速度；当系统位于边界层之内时，控制器变成了ISMC，可以消除静态误差。CISMC不需要调节增益，使用了Anti-windup积分项可有效避免系统瞬态响应退化。进而，根据时间尺度原理将四旋翼的动力学模型分为位置环和姿态环，分别设计双环CISMC控制器来实现状态量的收敛。最后，通过3个仿真算例对CISMC的有效性进行了验证。

1 预备知识

对于一个常见的二阶系统[9]

(1)

式中:x为系统状态量;u和y分别为系统的输入和输出;b为控制增益；f为系统函数。

设计一个滑模面

(2)

(3)

当|s(t)|≥μ时，积分环节式(3)可看作是具有外部输入±μ的指数稳定系统；当|s(t)|<μ时，积分环节式(3)可转换成误差积分形式

(4)

基于条件积分器，可以设计一个滑模控制器

v=-ktanh(s/μ)

(5)

式中，k为大于0的控制器增益，其值大小决定着闭环系统的稳定性。

下面对条件积分滑模控制律的稳定性予以证明。

对式(2)求导，并将式(1)和式(3)代入式(4)，可得

(6)

选择一个Lyapunov函数

V=0.5s2

(7)

对式(7)求导，并将式(6)代入，可得

(8)

(9)

其边界满足V=0.5c2。

当选择合适的控制器增益k，使其满足

k≥ρ+max(|Δ|)

(10)

2 双环控制器设计

2.1 四旋翼动力学模型

四旋翼的动力学模型可用牛顿-欧拉法推导出来，包括位置和姿态两个子动力学[10]，其形式为

(11)

式中:P=[xyz]T，为位置向量;η=[φθψ]T，为姿态向量(φ为横滚角，θ为俯仰角，ψ为偏航角);v=[v1v2v3]T，为线速度向量;ω=[ω1ω2ω3]T，为角速度向量;I=diag(Ix，Iy，Iz)，为绕三轴的转动惯量;G=[00mg]T，为重力矩阵;F=[00U1]T，为四旋翼产生的总升力;τ=[U2U3U4]T，为控制力矩;R和T为惯性坐标系与机身坐标系间的转换矩阵；Md为干扰力矩。将式(11)展开可得四旋翼动力学模型的显式形式

(12)

另外，四旋翼的总升力、控制力矩与桨叶转速ωi(i=1,2,3,4)之间的关系为

(13)

式中:kt和km分别为桨叶升力系数和反扭矩系数;l为桨叶中心到四旋翼质心的距离，即机臂长度。

进而，利用小扰动原理将四旋翼的非线性模型式(12)在悬停或低速飞行条件下线性化，即

(14)

2.2 位置环控制器设计

位置环的控制目标是镇定x,y和z3个通道的状态量或者使三轴跟踪误差趋近0。设位置环的跟踪误差为

(15)

根据式(2)和式(3)构造位置环的条件积分滑模面

(16)

(17)

滑模面式(16)的一阶导数为

(18)

联立式(14)、式(15)和式(18)可得位置环等价的CISMC为

(19)

(20)

2.3 姿态环控制器设计

设姿态环的跟踪误差为

(21)

构造姿态环的条件积分滑模面为

(22)

(23)

滑模面式(22)的一阶导数为

(24)

联立式(14)、式(21)和式(24)可得姿态环等价的CISMC为

(25)

(26)

3 仿真算例

本章在Matlab R2020b Simulink环境下搭建了包含四旋翼飞行器、位置环控制器、姿态环控制器、桨叶电机混控器的数学模型，并通过3个仿真算例来测试所设计控制器的性能。四旋翼的物理参数来源于前期搭建的样机[11]，如表1所示。

表1 四旋翼飞行器的物理参数Table 1 Physical parameters of the quadrotor

表2给出了CISMC的控制器参数。

表2 CISMC的控制器参数Table 2 Control parameters of CISMC

四旋翼控制器中共有20个参数需要整定，若靠人工经验调参，费时耗力，故选择人工智能算法。这里需要说明的是该控制器参数是通过人工蜂群算法优化得来，具体的参数整定过程可参考文献[12]，本文不再赘述。另外，仿真中引入文献[13]提出的SMC和文献[14]提出的ISMC分别与CISMC进行比较，以便深入分析本文所提控制器的性能。

1) 位姿稳定控制(阶跃响应仿真)。设定四旋翼的初始点为(0 m,0 m,0 m)，目标悬停点为(1 m,2 m,6 m)，仿真时间为5 s，其余初始条件的值均为0。为了模拟航空电子设备的测量误差，在模型的输入端添加随机信号，悬停仿真结果如图1、图2所示。

图1 四旋翼位置响应三维图Fig.1 3D diagram of position response of the quadrotor

图2 三轴位置跟踪响应Fig.2 Tracking errors of the three axis

从图1，2中可以看出,在CISMC控制下的四旋翼阶跃响应的效果要明显优于ISMC控制器，并且三轴位置的稳态误差要小。这说明了CISMC比ISMC具有更高的控制精度。

2) 风扰仿真。为了模拟实际飞行中飞行器受到的阵风扰动，分别在x和y轴方向添加阵风扰动，风扰模型由Gauss-Markov公式[15]生成，即

(27)

式中:dw为垂直方向的风扰速度向量;qw为零均值噪声信号;B为干扰输入项;ρ*=0.5，为权重因子;τs=3.2，为与风速相关时间常数。阵风模型的响应如图3所示。

仿真中，用0.5sin(t+π/8),0.5cos(t+π/8)分别去激励四旋翼的x轴和y轴，并将上述风扰添加到信号采集端，仿真结果如图4所示。

图4 姿态角的响应Fig.4 Response of attitude

从图4中可以看出,与SMC和ISMC相比，CISMC的跟踪精度最高。然而，CISMC的上升时间较其他两种控制器长，可能是因为控制器为获得更高的跟踪精度而使得系统阻尼比(由风扰引起)增大，从而牺牲了上升时间这一性能指标。进而，引入标准差(Standard Error，SE)和均方根误差(Root Mean Square Error，RMSE)来评价3种控制器的抗干扰能力，如表3所示。以上各量均无单位。

表3 3种控制器误差指标比较Table 3 Error comparison of the three controllers

以φ为例，CISMC的SE分别比SMC和ISMC降低了71.43%和34.55%，RMSE分别比后两者降低了67.46%和25.45%。这说明CISMC的抗风扰能力是最好的，具有很强的抗干扰能力，并且可有效消除静态误差。

3) 轨迹跟踪仿真。进一步地，设定一条复杂的三维航迹来测试四旋翼飞行器在CISMC下的轨迹跟踪能力，仿真时间为50 s，其他初始条件的值为0，无外界扰动和内部噪声，仿真结果如图5、图6所示。

图5 三维飞行轨迹Fig.5 Three-dimensional flight trajectories

图6 4个电机的响应Fig.6 Response of four motors

从图5结果可以看出，仿真得到的四旋翼飞行轨迹基本上能跟踪上参考轨迹，除了轨迹转弯处的误差会增大，其他部分的轨迹跟踪误差均较小。这说明CISMC具有较强的鲁棒性。另外，图6结果显示4个电机转速在四旋翼飞行过程中均未达到饱和上限，并且响应较为平稳，这说明CISMC不会频繁地切换滑模面，可以有效抑制系统抖振，从而有助于保护执行器和传感器。

4 结论

为了解决四旋翼飞行器的轨迹跟踪问题，设计了一种条件积分滑模控制器算法，通过引入条件切换项，使得滑模边界层外与普通滑模性能一致，保持了响应速度快、鲁棒性强的优点，边界层外为Anti-windup积分滑模结构，有效消除了静态跟踪误差。与SMC和ISMC相比，本文所设计的CISMC对应的标准差与均方根误差都最小，并且具有较强的鲁棒性和较高的控制精度。另外，CISMC能有效克服外界阵风干扰与内部未建模特性，降低控制输出抖振，实现四旋翼飞行器对复杂轨迹的跟踪。