混凝土圆环形截面非均匀配筋计算的解析法

李彬，周东华

(昆明理工大学 建筑工程学院，昆明 650500)

工程中的圆环形截面构件有的有明确单一的弯曲方向，例如：边坡抗滑桩为单向弯曲，高桥墩沿跨度方向为主弯曲，通常，这类构件截面尺寸大、长度长。采用均匀配筋的最大缺点是不能充分利用中性轴附近的钢筋强度，而能充分发挥钢筋强度且经济性好的配筋方式是非均匀配筋，即将受力钢筋设置在离中性轴较远的外围区域。

环形截面配筋的计算具有双重非线性(材料非线性和截面宽度变化非线性)，因此，计算较为困难。《混凝土结构设计规范》(GB 50010—2010)[1](以下简称《规范》)中虽然给出了相关的计算公式，但仅仅是针对均匀配筋，没有非均匀配筋的计算方法或公式。另外，《规范》给出的公式是超越方程组，须迭代求解，无法手算。针对这一问题，笔者做了两方面的工作，一是提供环形截面非均匀配筋的计算方法，二是解决双重非线性不能手算的问题。无需迭代计算的思路是：由截面应变计算应力，进而计算内力[2-3]。要实现这一点的关键是确定截面应变，根据《规范》给出的混凝土和钢筋的本构关系确定截面应变的极限范围，将其范围分成了5个区域[4-8]，使每个区域均有一侧含有极限应变，便可将截面应变变为已知量。

1 截面抗力

1.1 本构关系

《规范》中给出了完整的混凝土和钢筋的本构关系数学表达式

(1a)

(1b)

式中：εc和εs分别为混凝土和钢筋的应变(式中应变值取千分位)。

1.2 截面应变区域

采用的计算方法和思路是由截面应变通过本构关系确定应力，再由应力求内力和判断受力状态(轴拉、小偏拉、大偏拉、纯弯、小偏压、大偏压、轴压)。如图1所示，根据本构关系构造可能的截面应变范围[9-10]，并把可能的截面应变范围分成5个应变区域，各受力状态对应的截面应变能够完全在图1中表示出来，图中：r为外圆半径；r1为内圆半径；h0为截面有效高度；as为钢筋合力至截面下边缘的距离。截面上边缘应变范围从10‰～-3.3‰；截面下边缘应变范围从10‰～-2.0‰。

图1 混凝土和钢筋的应变变化区域Fig.1 Strain variation area of concrete and

在截面应变范围划分的5个区域中，每个区域至少有一侧的应变是极限应变[11]并在这一区域内保持不变(极限应变是常量)，以确保截面处于极限状态，即区域①、②截面下侧应变为钢筋的极限应变εs=10‰；区域③、④截面上侧应变为混凝土受压区上边缘的极限应变εc=-3.3‰；由区域⑤中截面上下边缘应变的数值和几何关系可得区域⑤的旋转点位置为距离截面下边缘20d/33处εc=-2‰(轴压时的极限应变)，这样就可以使平衡方程中未知量的个数等于方程个数，方便求解截面内力[12-14]。5个区域的截面应变规律和受力情况如表1所示。

表1 截面应变与实际受力状态Table 1 Section strain and actual stress state

上述5个应变分布区域可适用于各种截面形状的钢筋混凝土，推导圆环形截面的配筋计算都基于这些应变区域[15]，这5个应变区域的分布不仅能满足《规范》中对混凝土和钢筋极限应变的规定，即图1中区域，而且还能够完善混凝土等效矩形应力换算引起的区域②、⑤的应变缺失。

1.3 截面参数

根据区域中混凝土和钢筋应变规律，可由图2计算出混凝土受压区高度，即

(2)

图2 截面参数及应变Fig.2 Section parameters and strain

根据图2的几何关系h0=t+z，其中：t为混凝土合力位置与混凝土受压区边缘间的距离；z为混凝土受压区合力至钢筋重心的距离，令kz=z/h0,即kz为内力臂系数；x为混凝土受压区高度，令kx=x/h0，即kx为受压区高度系数。

通过已知的受压区高度，截面范围内任意高度u处的应变均可求出

(3)

但圆形截面内任意高度处的应变还不能通过u求出来，需要引入一个参数弦高fi=r(1-cosφ)，弦高最小时在圆的顶部，弦高最大时在圆的底部，可得圆内任意高度u的表达式u=x-fi=x-r(1-cosφ)，其中x和fi为两个相互独立的变量，当截面应变已知，也就是x固定时，弦高就只随着圆心角的变化而变化，这样就可以找出任意纤维处的应变与圆心角的函数关系，即

(4)

将式(4)代入式(1a)可求得任意高度处的应力计算式

(K1+K2cosφ+K3cos2φ)fc

(5)

根据材料的本构关系，当混凝土应变εc≥-2‰时，对应的应力分布为抛物线；当混凝土应变-3.3‰≤εc<-2‰时，对应的应力分布为矩形+抛物线。

1.3.1 抛物线阶段(εc≥-2‰) 混凝土受压区边缘应变εc≥-2‰的应力分布如图3所示。

图3 εc≥-2‰时的应力分布Fig.3 The stress distribution of

(6)

(7)

以上计算的轴力和弯矩(按混凝土受压区每一层纤维对中性轴的距离计算的弯矩)都与截面尺寸和混凝土强度相关,为了消除这种相关性，将轴力和弯矩分别除以πr2fc和πr3fc，其中，弦长与对应圆心角的关系b(φ)=2rsinφ、积分上下限φ0=0、φ1=arccos(r-x)/r，这样就能计算出抛物线阶段的无量纲轴力和弯矩，见式(8)和式(9)。

(8)

(9)

1.3.2 矩形+抛物线阶段(-3.3‰≤εc<-2‰) 混凝土受压区边缘应变-3.3‰≤εc<-2‰的应力分布如图4所示。

图4 -3.3‰≤εc<-2‰时的应力分布Fig.4 The stress distribution of

(10)

(11)

同样，将轴力和弯矩分别除以πr2fc和πr3fc，其中积分上下限φ0=0、φ1=arccos[(r-x+a)/r]、φ2=arccos[(r-x)/r]，计算出矩形+抛物线阶段的无量纲轴力和弯矩，见式(12)和式(13)。

(12)

(13)

如图5所示，圆形截面与圆环形截面的区别仅在于圆环形截面比圆形截面少了一部分混凝土弓形受压区面积，圆形截面减去混凝土弓形受压区的应力，即可得到圆环形混凝土受压区的内力。

图5 环形截面受压区Fig.5 Compression zone of annulus

2 配筋计算的诺谟图

无量纲化后的弯矩设计值为m,受压区混凝土无量纲合力对受拉钢筋合力点取矩得m=nz=nkzh0,可知，无量纲弯矩仅与无量纲轴力n、内力臂系数kz和截面有效高度h0相关，其中无量轴力又与受压区高度系数kx相关，截面有效高度仅与受拉钢筋的配筋圆心角α相关。

钢筋在其配置区域内离散均匀分布，为了便于解析计算，对钢筋做连续分布处理，也就是把钢筋面积均匀分布于配筋圆心角对应的弧长上，即弧长l=As/(α·rs)，其中：α为配筋圆心角；rs为每根钢筋的重心所在圆弧的半径，取rs=r-35 mm。配筋圆心角对应弧长的重心与混凝土合力间的距离即为内力臂长度。受拉区配筋圆心角越大，受拉钢筋重心位置就越高。经计算，配筋圆心角α=90°的截面有效高度h0=1.787r；α=120°的截面有效高度h0=1.717r；α=150°的截面有效高度h0=1.625r。绘制了内圆和外圆两种比例的环形截面配筋计算诺谟图，即r1/r=0.5和r1/r=0.7，按照不同情况查找对应的诺谟图，该图为无量纲图表，适用于C50及以下混凝土强度及任意半径的环形截面。

在图6中绘出了内力臂系数kz、受压区高度系数kx、配筋圆心角α、混凝土应变εc和钢筋应变εs与无量纲弯矩m的关系曲线。从诺谟图中可以看出，随着弯矩的增大，混凝土边缘应变εc的绝对值和混凝土受压区高度系数kx也逐渐增大，而受拉钢筋的应变εs和内力臂系数kz逐渐减小。同时，图1中的5个应变区域在图6中也有对应的位置，这样，在《规范》中没有包含的区域②和⑤也可以用图6来计算配筋，避免了《规范》中应变变化不连续的弊端，更符合混凝土圆环形截面的实际受力状态。

图6 环形截面的计算诺谟图Fig.6 The calculation nomograph of circular

该计算方法不仅限于纯弯截面，还适用于截面有轴力的情况，具体方法是先将轴力平移到钢筋合力的重心位置，如图7所示，由式Ms=M+P(r-as)计算所需受拉钢筋的面积，Ms为截面计算弯矩，M、P分别为截面弯矩和轴力的设计值。其中，轴力P受拉为正，受压为负。

图7 截面上的弯矩和轴力Fig.7 Axial forces and bending moments on the

由平衡关系即可得出配筋计算公式

(14)

(15)

(16)

(17)

考虑到偶然荷载的不确定性，为使荷载作用端与构件的抵抗端相匹配，根据构件工况和偶然荷载可能的作用方向，可继续使用文中的诺谟图进行偶然荷载作用下的配筋计算。

3 算例

3.1 算例1

某圆环形截面混凝土构件外圆半径r=60 cm，内圆半径r1=30 cm，弯矩设计值2 400 kN·m，轴力设计值P=-700 kN(压力)，采用混凝土等级C30，钢筋HRB400级,根据要求计算截面所需钢筋面积。

1)规范解法

根据《规范》附录E中的超越方程组E.0.3-1和E.0.3-2，通过雅克比迭代法求解，最后计算得到受压区混凝土面积与全环截面比值为0.177 3；全部纵向普通钢筋截面面积As=14 224 mm2。

2)本文解法

设配筋圆心角α=120°，得as=0.28r，h0=1.72r，截面内外半径比r1/r=0.5，fc=14.3 N/mm2，fy=360 N/mm2。

Ms=M+P(r-as)=2 097.6 kN·m

查图6(a)可得

kz=0.92 (εs=10‰,εc=-1.9‰)

按该方法计算所需(单侧)受力钢筋与规范结果之比为5 077/14 224=0.357。

3.2 算例2

某圆环形截面混凝土构件，外圆半径r=50 cm，内圆半径r1=35 cm，构件截面荷载如图8所示，弯矩设计值M1=1 000 kN·m，考虑偶然荷载作用的弯矩设计值M2=-900 kN·m，采用混凝土等级C35，钢筋HRB400级,根据要求计算截面配筋。

图8 某截面的荷载示意图Fig.8 Diagram of load on a

1)规范解法

根据《规范》附录E中的超越方程组E.0.3-1和E.0.3-2，通过雅克比迭代法求解，最后计算得受压区混凝土面积与全环截面比值为0.157 7；全部纵向普通钢筋截面面积As=7 117 mm2。

2)本文解法

根据M1对截面下侧进行配筋计算，设配筋圆心角α1=120°，得as=0.28r，h0=1.72r，截面内外半径比r1/r=0.7，fc=16.7 N/mm2，fy=360 N/mm2。

查图6(b)可得

kz1=0.94 (εs=10‰,εc=-1.5‰)

=3 443 mm2

根据M2对截面上侧进行配筋计算，设配筋圆心角α2=150°，得as=0.375r，h0=1.625r。

查图6(b)可得

kz2=0.95 (εs=10‰,εc=-1.5‰)

截面双侧配筋面积As=As1+As2=6 682 mm2

按该方法计算所需(双侧)受力钢筋与规范结果之比为6 682/7 117=0.94。

4 结论

1)通过混凝土和钢筋的本构关系，绘制了环形截面非对称配筋计算的诺谟图，与中国现行《规范》中只给出圆环形截面的均匀配筋计算方法相比，该方法不用解超越方程组，计算简便,截面非受拉区可按构造要求配筋，适各种截面半径(r)的环形截面。

2)在工程实际中，如深基坑围护结构使用的悬臂灌注桩(主要承受一个方向的水平力)，或者高大的桥墩(截面上既有轴力，又有弯矩)，这种荷载方向明确的环形截面构件，若采用非对称配筋，可充分利用材料强度，提高经济效益。

3)对于需要考虑偶然荷载作用的结构构件，可根据偶然的作用大小再次使用该诺谟图，给偶然荷载作用的方向配筋，以保证荷载作用与结构抗力相匹配。