近拟常曲率空间中某类紧致超曲面

钟家伟， 宋卫东，2

(1.安徽信息工程学院 通识教育与外国语学院，安徽 芜湖 241000；2.安徽师范大学 数学与统计学院，安徽 芜湖 241000)

引言

以(Nn+1,g)表示其黎曼曲率张量,取如下形式：

KABCD=a(gACgBD-gADgBC)+b(gACfBD+gBDfAC-gADfBC-gBCfAD)，∑gACgBDfABfCD=1。

(1)

的n+p维单连通完备的黎曼流形,称为近拟常曲率空间[1],其中:g是Nn+p的黎曼度量；a,b是Nn+p上C∞-函数；{fAB}是Nn+p上一个单位向量函数,称为Nn+1的生成元。

显然,当a=1,b=0时,Nn+1是单位球面Sn+1(1),文[1]给出了非常曲率空间的近拟常曲率空间的例子。对于球面Sn+1(1)上具有常数量曲率的紧致超曲面Mn，文献[2]得到了如下的刚性定理。

定理A[2]假设Mn是Sn+1(1)的紧致超曲面,其标准数量曲率R为常数，且R-1≥0，

本文引入方框算子□[3],考虑近拟常曲率空间中某类紧超曲面,得到了：

定理B设Mn是近拟常曲率空间Nn+1中的紧致超曲面,若Nn+1生成元向量{fAB}沿Mn的法方向分量{fn+1A}消失,且|▽h|2≥n|▽H|2,则有如下积分不等式：

其中S表示Mn第一基本形式h模长的平方,H表示Mn的平均曲率,*1表示体积元素。

注：当Nn+1为Sn+1(1),即a=1,b=0时,若Mn的标准数量曲率R为常数,且R>1,那么|▽h|2≥n|▽H|2当然成立[2],由定理B得到刚性定理A。

1 基本公式

约定各类指标的取值范围如下：

1≤A,B,C,…,≤n+1; 1≤i,j,k,…,≤n。

在Nn+1上选取局部标准正交标架场{eA},使得限制到Mn上时,{ei}与Mn相切。以{ωA}表示{eA}的对偶标架场,{ωAB}是Nn+1的联络1-形式。限制在Mn,有[4]

(2)

(3)

(4)

Rijkl=Kijkl+hikhjl-hilhjk,

(5)

其中Kijkl,Rijkl分别是Nn+1及Mn的黎曼曲率张量,h表示Mn的第二基本形式。又Mn的第二基本形式模长的平方S及Mn的平均曲率H分别是

(6)

设Nn+1是近拟常曲率空间,在上述标架下,Nn+1的黎曼曲率张量可表示为：

KABCD=a(δACδBD-δADδBC)+b(δACfBD+δBDfAC-δADfBC-δBCfAD)。

(7)

假设{fn+1A}沿Mn的法向量消失,即

fn+1A=0,∀A

结合(7)式,不难得到

Kn+1ijk=0, ∀i,j,k。

(8)

以hijk及hijkl表示hij的一阶、二阶共变导数,则[4]

hijk-hikj=-Kn+1ijk,

(9)

(10)

(11)

现在选取Mn的标准正交标架场{ei},使得hij=λiδij，于是

由(5)、(8)—(11)式得

(12)

2 定理的证明

首先定义Mn上的对称张量场

(13)

引入与φ相关的算子[4]□；∀f∈C2(Mn),

(14)

在(14)式中,取f=nH,则

于是由(12)式得:

(15)

定理的证明,还需要下面引理。

引理1由公式(15)定义的算子□是一个自伴算子,即

证明由(13)式,有

(16)

由(7)式,结合hij=λiδij,经较复杂计算,得：

(17)

其中|Z|2=S-nH2。

由Cauchy不等式

从而当b≥0时,由式(17)得

(18)

当b<0时,

(19)

(18),(19)可统一表示为

(20)

又hij=λiδij,记

于是

引理2[5]记号如上,对于n≥3,有下列不等式

等号成立当且仅当n-1个ki相等。

因此

(21)

作正交变换

(22)

结合(21)式得：

(23)

于是由(15)、(17)、(20)、(22)及|▽h|2≥n|▽H|2,有

(24)

由Mn的紧性,根据Stokes定理,对(24)式两边积分,经整理,即完成了定理B的证明。