小学数学教学渗透模型思想的实践策略

任学红

[摘  要] 《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。”小学数学教学中模型思想的渗透就是要让学生经历从实际情境中抽象出数学问题、解决问题的过程，使学生初步形成模型思想，这是现代教育理念对数学教学的必然要求，也是培养学生数学结构性思维的重要方式。数学学习只有深入“模型”“建模”的意义，才是一种真正的数学学习。

[关键词] 小学数学;模型思想;教学策略;核心素养

史宁中教授说：“模型思想是2011版课标提出的十个核心概念之一，是一种数学的基本思想。”数学模型是用数学语言概括性地描述事物特征、空间形式及数量关系的一种数学结构。小学数学中的数学模型主要包含用字母、数字或其他数学符号表示的代数式、函数、方程及各种图形、图表等。数学的本质就是在不断抽象和概括的过程中丰富与发展起来的，构建数学模型，就是运用数学思想方法、知识与技能去解决问题。在建模的过程中，教师可以培养学生的数学应用意识，有效提升学生的数学素养，帮助学生在深刻理解知识的同时，让数学思维走向深刻。

一、建模的基础：精选问题，创设情境

数学建模的过程，就是通过建立模型的方法来解决实际问题的数学活动过程。而数学模型都是具有生活背景的，这也是数学建模的基础，因此，模型的建立应该基于具体的现实生活，通过创设问题情境的方式，唤起学生对知识的渴望与追求，让学生经历从生活原型问题逐步抽象到数学问题的过程，从而学会运用建模的方法来解决问题。

以教学“路程、时间与速度”为例，本节课教学的重点在于如何引导学生构建路程、时间与速度三个量之间的函数模型。为了能调动学生的学习兴趣，在导入环节中，笔者创设了如下问题情境：

情境1：第一场比赛

师：在一次体育课上，米小圈、铁头和姜小牙因为谁跑得快的问题争论不休，于是肌肉老师为他们举行了一场50米的比赛，比赛结果如表1所示。

师：从表1的数据中，你可以得到哪些信息？

生1：我发现他们三人的路程一样，但时间不一样。

生2：我发现铁头跑得最快，因为他只用了8秒。

师：那也就是说，在路程相等的情况下，比快慢只需要比时间多少就行了？

情境2：第二场比赛

师：肌肉老师和铁头又来了一场比赛，其比赛结果如表2所示。

生3：我觉得还是铁头跑得快，因为他和肌肉老师虽然都只用了8秒，但是铁头跑了50米，比肌肉老师的48米要多。

师：如果时间相等，比快慢只需要比路程多少就行了？

情境3：第三场比赛

师：如果铁头和肌肉老师的用时不同、路程也不同时，如何才能分出他们谁快谁慢呢？（如表3）

生4：我认为可以比速度。肌肉老师的速度为48÷8=6（米/秒），铁头的速度为50÷10=5（米/秒），所以肌肉老师更快。

在这一环节中，笔者结合学生生活中比较熟悉的“米小圈”这一人物形象和体育课中的比赛活动，创设了跑步比赛的问题情境，同时，将不同的数据巧妙地融入问题情境中，让学生由浅入深，逐步感受到跑得快或慢与时间和路程有关。当时间不同、路程也不同时，就需要运用求速度的数学模型“路程÷时间=速度”来判断，这样学生的建模意识也就慢慢形成了。

二、建模的关键：去伪存真，揭示本质

数学建模的过程，就是引导学生对问题进行抽丝剥茧，发现数学本质，并构建模型的过程，也是进行数学化和再创造的过程。在课堂教学中，教师应给予学生充分的时间，让他们自主地进行观察、实验、操作、比较、分析、概括，最终从具体的问题中抽象出数学模型，并用数学语言进行描述或刻画，这也是数学建模最为关键的一个环节。

以教学“乘法分配律”为例，为了让学生从千变万化的数学问题中抽象出其不变的数学本质，即“乘法分配律”，笔者在课堂中设计了以下教学环节：

环节1：数形结合，建立等式

PPT出示图1，并提问：小刘家准备装修，客厅和餐厅铺地砖，请问小刘一共需要购买多少块地砖？

生1：我是这样分步计算的，首先算出客厅需要的块数10×5=50（块），然后算出餐厅需要的块数3×5=15（块），最后计算总和50+15=65（块）。

生2：我是合起来计算的，10×5+3×5=65（块），直接得到地砖总数。

生3：我把客厅和餐厅的两个图拼接在一起，发现行数是5，列数是13，所以地砖的总数为（10+3）×5=65（塊）。

师：你们觉得这些方法有什么不同之处吗？

生4：一种是分开算，一种是合起来算，但计算结果都是一样的。

对于学生给出的结论，笔者并未急于评价，而是继续设计了第二个环节，帮助学生抽丝剥茧，理解乘法分配律的数学本质，并提炼出其数学模型。

环节2：抽丝剥茧，理解本质

图2为书房和卧室的平面图，请你帮小刘计算下书房和卧室的面积一共是多少？

生5：4×6+5×6=54（平方米）。

生6：（4+5）×6=54（平方米）。

师：生6，为什么可以这样计算呢？

生6：因为我发现书房和卧室都是长方形，而且他们的长都为6，所以我按照刚才生3的方法，将两个长方形拼接在一起，这样就只需要将它们的宽相加，再乘以6就可以算出总面积。

师：不错。小刘准备去买地砖和墙砖了，如果地砖需要买40块，每块50元;墙砖需要买20块，每块60元。购买两种瓷砖一共需要多少元？

生7：我认为可以合起来算，（20+40）×（60+50）=6600（元）。

生8：我认为地砖和墙砖的价格不一样、块数不一样，不能这样计算，应该是分别算出地砖和墙砖的钱然后相加，20×60+40×50=3200（元）。

师：现在出现了不同的意见，那么究竟谁对谁错呢？首先我们来看看到底能不能合起来计算。如果用长方形的长表示瓷砖的价格，宽表示购买瓷砖的数量，那么，两个长方形的面积表示什么呢？

生9：第一个长方形的面积表示墙砖的总价，第二个长方形的面积表示地砖的总价。

师：那现在你们觉得能不能合在一起计算呢？

生10：不能，两个长方形的长和宽都不相同，不能合成一個大的长方形进行计算。

师：那如果想要合起来计算，可以怎么做呢？

生11：可以将价格改成一样的。

生12：也可以将购买的数量改成一样的。

相较于其他运算律，乘法分配律是学生最易混淆、犯错的地方，这是由于其结构更复杂、意义更隐蔽、表达更抽象造成的。为了帮助学生更好地突破这一难点，在本节课的教学中，笔者从学生熟悉的方格计算入手，将面积、价格、总块数等一些毫不相干的问题串联起来，让学生通过逐层抽丝剥茧，发现其数学计算的核心本质，建立起乘法分配律的数学模型，以此深化学生对乘法分配律的理解和认知，进而促使学生的思维水平发生质的飞跃。

三、建模的延伸：举一反三，迁移运用

数学教学中渗透模型的最终目的是让学生能够运用所构建的模型，解决生活中的实际问题，一方面让学生充分体会到数学模型在生活中的实际应用价值，另一方面培养学生举一反三、学以致用和解决问题的能力，并促使学生的低阶思维逐渐向高阶思维漫溯。

以教学“植树问题”为例，“人们在全长100米的小路边植树，每隔5米栽种一棵树，两端都要栽，一共需要栽种多少棵树？”在构建模型环节，笔者引导学生将问题中的100米改为10米、15米、20米……再结合线段图，在直观理解的基础上找到规律，从而得出“植树棵树=间隔数+1”的数学模型。为了能促进学生进一步理解这一数学模型，笔者继续设计了迁移运用环节，帮助学生巩固与内化知识。

师：如图4所示，假设现有10朵蘑菇，那么有多少朵花呢？

生1：根据植树问题的数学模型，我认为可以把花当作是树，这样就需要两端都栽树，所以花的朵数应该为间隔数+1，也就是蘑菇的朵数+1=11（朵）。

生2：我觉得也可以把蘑菇当作是树，那么花就变成了蘑菇之间的间隔数，由于两端不需要栽树，所以花的朵数应该为蘑菇朵数-1+2，同样是11朵。

师：生1和生2的做法都对，虽然思路不一样，但是殊途同归，结果是相同的。事实上，在我们的日常生活中还有很多问题可以利用植树问题的数学模型来解决，你们知道有哪些吗？

生3：我觉得锯木头的问题可以用植树模型来求解，比如，将一根木头锯成6段，需要锯几次？如果将锯的次数看作是树，那么两端都不需要种树。因此，需要锯的次数为锯的段数-1=6-1=5（次）。

生4：还有爬楼问题也可以用植树模型来解决。

……

通过迁移运用这一环节，教师加深了学生对植树问题数学模型的理解和运用，让他们学会举一反三、迁移运用，促进了学生模型思想的形成。

数学的核心问题，就是数学的建模与用模的问题。在解决数学问题的过程中，建模也是一种有效的方法，它可以帮助学生梳理条件、降低思考难度、提高思考效率。因此，教师应引导学生经历观察、思考、归类、抽象与总结的过程，逐步培养学生数学建模的思想、方法，使学生形成良好的思维习惯和用数学的能力，增强应用意识，提升数学能力和数学素养，为他们的终身学习、可持续发展奠定基础。