函数背景中的面积问题考查探究

周儿

【摘要】函数背景中的面积问题形式多样，其考查重点涉及面积模型构建、割补方法、等量转化、方程思想等.本文结合具体试题深入探究面积问题的构建形式，考查方式，总结突破策略十分必要.

【关键词】函数;面积;拆分法

函数背景中的图形面积问题十分常见，问题设定即考查方式较为多样.除了直接求图形面积，还常见求面积关联条件等.可从面积关系、面积最值等视角进行考查，下面结合实例具体探究.

考查方式一 直接求图形面积

直接求图形面积，即基于函数交点构建几何图形，设问求图形的面积，突破的核心是构建面積模型，结合面积公式求解，解题时要善于运用割补拆分法.

例1 如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=ax+ba≠0的图象与反比例函数y=kxk≠0的图象交于P、Q两点.点P-4，3，点Q的纵坐标为-2.

（1）求反比例函数与一次函数的表达式;

（2）求△POQ的面积.

解析 本题目以反比例函数与一次函数相交为背景，第（2）问求三角形的面积，合理拆解图形构建面积模型即可.

（1）简答，反比例函数的表达式为y=-12x;一次函数的表达式为y=-12x+1.

（2）设一次函数的图象与y轴的交点为M，如图2， OM可将△POQ拆分为△POM和△QOM两部分，则S△POQ=S△POM+S△QOM.点M为一次函数与y轴的交点，可求得M（0，1），则底边OM=1.点P（-4，3），Q（6，-2），则点P和Q分别到底边OM的距离为4和6，所以S△POQ=S△POM+S△QOM=12×1×4+12×1×6=5，即△POQ的面积为5.

考查方式二 设定面积求关联条件

设定面积求关联条件，即问题中给定图形面积，求与其相关的条件，如点坐标、参数值，函数方程系数等.该类问题是基于面积的逆向设问，解题核心是基于方程思想，围绕图形面积构建关于参数的方程.

例2 如图3，一次函数y=kx+2k≠0的图象与反比例函数y=mx m≠0，x>0的图象交于点A2，n，与y轴交于点B，与x轴交于点C-4，0.

（1）求k与m的值;

（2）Pa，0为x轴上的一动点，当△APB的面积为72时，求a的值.

解析 本题目同样以反比例函数与一次函数相交为背景，第（2）问中设定三角形面积求a的值，而a为三角形顶点P的横坐标值，故实则为已知图形面积求顶点坐标问题.

（1）简答，k=12，m=6.

（2）直接构建△APB的面积模型较为困难，可采用割补法拆分转化，建立与点P相关的面积关系，则S△CAP=S△ABP+S△CBP.

点B位于y轴上，可得B（0，2），点P为x轴上的一个动点，则PC=a+4，由面积公式可知S△CBP=12PC·OB=12×a+4×2=a+4，S△CAP=12PC·yA=12×a+4×3=32a+4.

由S△CAP=S△ABP+S△CBP，

可得32a+4=72+a+4，

可解得a=3或a=-11.

考查方式三 设定面积关系求关联条件

设定面积关系求关联条件，即问题中给出两图形的面积关系，求与之相关的条件.其中的面积关系，可为等面积关系，面积之积关系，面积和差关系等，解析时需关注两图形的关联特征，将其转化为线段条件，进而推导求解.

例3 如图4，二次函数y1=x2+mx+1的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y2=kx（x>0）的图象相交于点B（3，1）.

（1）求这两个函数的表达式;

（2）当y1随x的增大而增大且y1

（3）平行于x轴的直线l与函数y1的图象相交于点C、D（点C在点D的左边），与函数y2的图象相交于点E.若△ACE与△BDE的面积相等，求点E的坐标.

解析 本题目以反比例函数与抛物线相交为背景，第（3）问设定△ACE与△BDE的面积相等，求顶点E的坐标，解析的关键是转化面积关系条件，推导顶点坐标.

（1）简答，二次函数的解析式为y1=x2-3x+1，反比例函数的解析式为y2=3xx>0.

（2）根据图象直接分析，可得当y1随x的增大而增大且y1

（3）根据题意作图，直线l平行于x轴，与二次函数的交点分别为C和D，与反比例函数的交点为E，连接AE和BE，如图5.

可推得点A（0，1），而点B（3，1），则点A和B的纵坐标值相等，即点A和B到直线l的距离相等，所以△ACE的CE边上的高与△BDE的DE边上的高相等.

已知△ACE与△BDE的面积相等，可推得CE=DE，即点E为二次函数对称轴与反比例函数的交点，当x=32时，y2=2，所以点E的坐标为E32，2.

总之，上述充分呈现了函数背景中的面积问题的构建方式，涉及直接求面积、推导关联条件、转化面积关系等，其中的面积模型、割补方法、方程思想、转化思想是探究学习的重点.学习时应立足图形特征，结合面积公式探究总结，生成类型问题的解析策略.