例谈波利亚“怎样解题表”在初中数学解题教学中的运用

邰桂琴

【摘要】解题是初中数学的重要部分，其在数学教育中占据着重要地位.波利亚“怎样解题表”作为在解题中有着较强实用的模型，既呈现给学生相应的解题步骤，又呈现给教师相应的教学思路.本文主要以一道二次函数题为例，对波利亚“怎样解题表”在数学解题教学中的运用进行探究.

【关键词】初中数学;波利亚;怎样解题表

1 引言

波利亚对于解题通常有着独特的理论以及见解，并将其理论与见解以“怎样解题表”的形式展示给学习者，具体来说，其将数学试题解答的全过程划分为四个阶段：弄清题目、确定方案、实施方案、回顾反思.将其运用于具体解题中，不仅能促使中学生更完整、系统地解题，而且还能使中学生在数学解题时，形成相应的思维习惯，从而使学生自身的解题能力得到切实提高.

2 波利亚“怎样解题表”在初中数学解题中的运用策略

例1 如图1，平面直角坐标系当中，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（-1，0），B（3，0），C（6，4）三个点.

（1）求二次函数的解析式及其顶点D的坐标;

（2）E是抛物线对称轴上的点，经过点E作出FG∥Ox，与抛物线相交于F、G两个点，如果DEFG=157，求E点的坐标.

依据波利亚的“怎样解题表”开展解题分析：

第（1）题，依据题意中的三个点可的到二次函数的解析式为：y=421x2-821x-47，其顶点的坐标为D（1，-1621）.

第（2）题的解题思路为：

第一步：理解题意，明确问题.其条件是经过抛物线的对称轴上的点E，作出FG∥Ox，且DEFG=157;问题则是求坐标E.

第二步：确定解题方案.引导学生回忆其先前是否见过相似的问题，并通过设坐标的形式进行求解思考给出的条件DEFG=157如何运用，分别将DE与FG都呈现出来，由于E点位于抛物线的对称轴上，由于第（1）题中已经求解出坐标D（1，-1621），因此，假设坐标E为（1，t），与平面直角坐标系进行关联，可知DE=t+1621.除此之外，FG为水平线段，其长度为横坐标相减，而右边横坐标则与左边相减，此时，考虑F、G和点E（1，t）位于相同水平线，因此，F、G纵坐标是t.由此可知，t=421（x+1）（x-3），经过化简与整合可知，4x2-8x-12-21t=0，这种参数方程通常能解答出两个根，即x1、x2，然后，依据FG=x1-x2则能够求解出长度表达式.通过相关思考后可知，求取x1、x2并非是本题要求的答案，主要是解答过程需求取出其差，以求解出具体长度，通过联想系数和根之间的关系，可采取设而不求的方式进行解答，即x1+x2=2，x1×x2=-12-21t4，此时，可知x1-x2=16+21t，以此列出方程，就能求解出答案.

第三步：实施解题方案.

解 设E（1，t），可知，DE=t+1621.

设t=421（x+1）（x-3），整理后可知：4x2-8x-12-21t=0.

那么，x1-x2=（x1+x2）2-4x1x2=16+21t，

即FG=x1-x2=16+21t，

则t+1621=15716+21t，解得：t=173，

因此，E点的坐标为E（1，173）.

第四步：回顾反思.

假设点E位于抛物线的对称轴上，且对称轴为直线，此时，点E是否会位于点D下面？DE的长度能否通過DE=-1621-t进行表示？通过审题可知，不会出现该状况，由于题目要求FG∥Ox，且交于F、G，如果点E位于D的下面，就不会出现交点F、G.

例2 某商场销售的某种商品，其进价降低了10%，利润率则提高25%，求取原先利润率为多少？

第一步：理解题意，明确问题.已知条件有进价降低10%，利润率提高25%，问题是求解出商品原有的利润率.

第二步：确定解题方案.将题目中包含的知识点进行联系，写在草稿纸上进行整理，总结出大概的思路.原先的利润率=原来的售价-原来的进价原来的进价×100%，题目中并没有直接说明，可将原先的进价设成x，将原先的售价设成y，求取x与y，就能解决问题.根据已知的条件，对x与y的等量关系实施分析，从“当前的进价比原先的降低了10%”可以得出“当前的进价为x（1-10%）”，再从“当前利润率比原先利润率提高25%”可以得出“当前利润率=原来利润率×（1+25%）”，因为售价是不变的，即当前利润率=y-x（1-10%）x（1-10%）=y-xx（1+25%），最后是求取出原有利润率，其等于y-xx×100%，两个式子进行变形，可得出yx-1×100%，虽然不可以直接求取x与y具体值，只要求出yx的值或者是x与y的关系，就能实现问题有效解决.

第三步：实施解题方案.

解 设商品原先的进价是x，其售价是y，依据题意可得：进价是x（1-10%），根据等量关系组建方程关系：

y-x（1-10%）x（1-10%）=y-xx（1+25%），化简得：y0.9x-1=1.25yx-1.25，-536×yx=-14，yx=95，因此，原先利润率是y-xx×100%=yx-1×100%=80%.

第四步：回顾反思.

思考还有其他方法进行解题吗？能否找出其他等量关系列方程？

本题能通过“原先售价=现在售价”将原先的利润率设成x，原先进价是a，进行列方程求解;还能依据商品“原先的进价：原来的进价x（1-10%）”列方程进行求解，这些解题法根本上就是有相同的等量关系，能否看出来？即利润率=（售价-成本）/成本×100%.另外，需注意的是，对多个未知数的方程题目进行求解时，虽然无法求解出具体数值，但能够通过求取其关系量，实现问题的解决.

3 结语

综上所述，波利亚“怎样解题表”属于启发解题思路的一种提问，并非是固有的解题方式，并不是要涉及全部的问题，还需依据实际状况灵活应用，对“怎样解题表”开展创造性的应用，通过问题的逐渐转变，直到其成为学生所熟悉的知识，以便于学生更好的理解问题，实现数学问题的高效解答.

参考文献：

[1]刘红杏，刘君.例谈波利亚"怎样解题表"在初中数学解题教学中的应用[J].数学学习与研究， 2017（1）：1.

[2]欧桥.波利亚解题理论在初中解题教学中的应用[J].数学学习与研究，2021（7）：2.

[3]杨运标.“怎样解题表”在解题教学中的运用[J].中国数学教育：初中版，2019（4）：5.