关于轨迹圆问题的举例探究

薛德军

【摘要】轨迹圆问题的题设多样，问题中常以不同形式的几何运动来呈现，如点动、线动、图形运动等，结合条件确定动点的轨迹圆是解题的关键所在.解析时需合理利用瓜豆原理，把握动点间的关联，推导核心点的运动轨迹，生成轨迹圆.本文将结合实例讲解破题过程，总结方法思路.

【关键词】轨迹问题;点动;瓜豆原理

轨迹圆问题是初中几何的重难点问题，即动点的运动轨迹为圆.设问形式常见于求线段最值、轨迹长、距离长等，解析时一般分两步进行：第一步，根据联动关系，确定动点轨迹，绘制轨迹圆;第二步，结合点或线段关系构建模型，求线段或轨迹长.

1 点旋轉中的轨迹圆

例1 如，已知点P为线段AB上的一点，AB长为3，AP长为2，过点B作任意一条直线l，点P关于直线l的对称点为Q，将点P绕着点Q旋转90°可得到点R，分别连接PQ，RQ，AR和BR，则线段AR长度的最大值为.

分析与解  本题目中点P进行了旋转，而点R为联动点.

根据对称性可知BP=BQ，则点Q在以点B为圆心，BP长为半径的圆上运动.

将线段PQ绕着点P逆时针旋转45°，并放大2倍则可得到PR，根据“瓜豆原理”可知，点R的轨迹为以⊙B绕着点P逆时针旋转45°，并放大2倍所得的⊙O，如图2.

连接PO，将△PBQ绕点P逆时针旋转45°，并放大2倍可得△POR，则点F在⊙O上，因AP=2，则OB=PB=1，∠OBP=90°，PO=RO=2.在Rt△AOB中，由勾股定理可得AO=10，分析可知当点A、O和R三点共线时，AR取得最大值，此时ARmax=AO+RO=10+2.

点评  上述问题中点R为点Q的联动点，而点Q的轨迹为圆，故建立两点之间的轨迹关系是关键.

解析时通过联动放大，推导出点R的轨迹，然后构建共线模型确定AR线段最值.

处理点旋转中的轨迹圆问题，可结合“瓜豆原理”，把握动点之间的关系.

2 点线联动中的轨迹圆

例2 （2022年宿迁市中考卷第18题）如图3，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点M、N分别是边AD、BC的中点，某一时刻，动点E从点M出发，沿MA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动;同时，动点F从点N出发，沿NC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接EF，过点B作EF的垂线，垂足为H.在这一运动过程中，点H所经过的路径长是.

分析与解 本题目中点E和F沿直线运动，而点H为EF上的一个垂足点，求点H在运动过程中的路径长，显然需要先确定其轨迹，再求路径.

点M和N分别为AD和BC的中点，连接MN，则四边形ABNM为矩形，可推得MN=AB=6，AM=BN=12AD=4.

根据题意可知EF在运动过程中始终与MN交于点Q，如图4.

分析可知AD∥BC，可证△AQM∽△FQN，由相似特性可得NFEM=NQMQ=12，则NQ=13MN=2.

当点E与点A相重合时，有NF=12AM=2，

可推得BF=BN+NF=4+2=6，

所以AB=BF=6，则△ABF为等腰直角三角形，∠AFB=45°，进而可推得∠PBF=45°.

由题意可知，点H在以BQ为直径的PN上运动，其运动的路径长为PN，取BQ的中点为O，连接PO和NO，如图4所示.

分析可知∠PON=90°，又有∠BNQ=90°，

由勾股定理可得BQ=BN2+NQ2=25，

所以ON=OP=OQ=12BQ=5，

则PN=90π×5180=52π，

即H所经过的路径长为52π.

点评 上述问题中点H为动直线EF上的垂足点，确定其运动路径长为PN是解题的关键.

点H轨迹推导链为：动直线EF始终与MN交于点Q→动直线EF可视为是绕点Q的旋转→点H轨迹为圆弧，因此点H可视为是动直线的旋转的联动点.

3 结语

本文具体探究了不同形式几何运动中的轨迹圆，其中确定动点轨迹是关键，是求解线段、路径的前提.结合瓜豆原理进行联动点轨迹推导是最基本的策略，解析时要关注图形的运动规律，提取线段恒定关系，推导动点关联，确定动点轨迹.

参考文献：

[1]宋璨.剖析瓜豆原理，探究动点轨迹[J].数学教学通讯，2021（14）：79-80.

[2]朱锦程，李玲玲.由从到主 按图索“迹” 点带线动 巧妙转化[J].中学数学杂志，2021（06）：38-41.

[3]蒲厚金.一类最值问题的模型溯源与建构[J].中学数学教学参考，2021（26）：32-34.