数学建模方法在高中物理化学学科解题中的应用

王 坤

(北京市第八十中学)

《普通高中数学课程标准(2017 年版2020 年修订)》提出中学生在数学学习中应培养好数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析六大核心素养.其中,数学建模是指对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题,用数学方法构建模型解决问题的素养.数学建模强调应用,数学教学更加看重其实用价值.

数学建模是将某些现实问题或其他学科中的问题归结为相应的数学问题,并在此基础上利用数学的概念、方法和理论进行深入的分析和研究,从而从定性或定量的角度来刻画原有问题,并为解决问题提供精确的数据或可靠的指导.数学建模的一般流程如图1所示.

图1

高中物理和化学学科中的很多问题,都具有很强的实际背景,这些问题的解决,都可以通过数学建模来完成.解决相应的物理和化学问题,可以帮助学生对数学建模的流程有一个清晰的认识,同时使学生对数学的应用价值有更加深刻的感悟.

面对一个具体的物理或者化学问题,该如何通过数学建模的方法来解决呢? 下面通过几个具体问题进行说明.

问题1一个带有滑轮的梯形木块A置于光滑水平面上,斜面的倾角为θ,木块A上的物体B用绕过滑轮的轻绳与物体C相连,用一水平向左的拉力F作用在物体B上,恰使A、B、C保持相对静止.如图2所示,已知物体A、B、C的质量均为m,重力加速度为g,不计一切摩擦,试求拉力F,并讨论θ为何值时F有最大值,最大值为多少.

图2

数学建模过程如下:

步骤1:观察情境.3 个物体构成的系统的运动状态.

步骤2:发现和提出问题.因为系统中的物体保持相对静止,可以对系统进行受力分析.

步骤3:收集数据.3个物体的质量均为m,重力加速度为g,拉力为F,斜面的倾角为θ.

步骤4:选择模型.设定自变量θ,因变量F,构建函数模型F＝f(θ).

设3个物体构成的系统的加速度大小为a,方向水平向左,B、C间绳的拉力大小为FT,斜面对物体的支持力为FN.

对系统:F＝3ma,对物体B:F－FT＝ma.对物体C:FTcosθ－FNsinθ＝ma,FTsinθ＋FNcosθ＝mg.将上述方程整理可得,此即为函数F＝f(θ).

步骤5:求解模型.选择相应的数学方法,求函数F＝f(θ)的最大值.简便起见,考虑3mg为正常数,先计算的最大值.

方法1(几何法)在平面直角坐标系中,表示点(2,0)与点(cosθ,－sinθ)连线的斜率,结合图形,容易知道其最大值为,此时θ＝60°.

方法2(判别式法)易知g(θ)＞0,对其平方,并应用同角关系式可得,变形为(g2＋1)cos2θ－4g2cosθ＋4g2－1＝0,为使cosθ有解,首先需使Δ＝(4g2)2－4(g2＋1)(4g2－1)≥0,解得可知θ＝60°时,g(θ)取最大值

通过上述方法,均可得到当θ＝60°时,F＝f(θ)取得最大值

步骤6:检验.θ＝60°满足原有问题的条件,此时其为最优解条件,所以模型有效.

问题2如图3所示,某同学将离地1.25m 的网球以13m·s－1的速度斜向上击出,击球点到竖直墙壁的距离为4.8m.当网球竖直分速度为零时,击中墙壁上离地高度为8.45m 的P点.网球与墙壁碰撞后,垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍.平行墙面的速度分量不变.重力加速度g取10m·s－2,网球碰墙后的速度大小v和着地点到墙壁的距离d分别为( ).

图3

数学建模过程如下:

步骤1:观察情境.在立体空间中的网球运动.

步骤2:发现和提出问题.在空间中,从3 个方向对速度分别进行分析.

步骤3:收集数据.击球点高度1.25m,墙壁落点高度8.45m,击球点距墙壁距离4.8 m,网球初速度13m·s－1,击中墙壁时,竖直分速度为零,反弹后垂直墙面分速度变为碰撞前的0.75倍,平行墙面分速度不变,重力加速度g取10m·s－2.

步骤4:选择模型.在空间直角坐标系中,建立空间向量模型来表示速度,以击球点为坐标原点,以垂直于墙面的方向为x轴,平行于墙面且平行于地面的方向为y轴,垂直于地面的方向为z轴,建立如图4所示的空间直角坐标系.

图4

步骤6:检验.所求解数值满足题目的条件,所以模型有效.

问题3(2022年全国甲卷,节选)萤石(CaF2)是自然界中常见的含氟矿物,其晶胞结构如图5所示,X代表的离子是_________;若该立方晶胞参数为apm,正负离子的核间距最小为_________pm.

图5

数学建模过程如下:

步骤1:观察情境.萤石的晶胞结构.

步骤2:发现和提出问题.对萤石中的Ca2＋和F－进行数量和结构分析.

步骤3:收集数据.萤石的化学式为CaF2,晶胞结构如图5所示.

步骤4:选择模型.结合萤石的晶胞结构,建立正方体模型,对正方体中特殊位置点之间的关系进行研究.

步骤5:求解模型.在正方体中,6个面(正方形)的中心称为面心,体对角线的交点(中点)称为体心.根据萤石晶胞结构,浅色X 离子分布在晶胞的顶点和面心上,每个顶点处的X 离子与晶体中的8个深色Y 离子通过离子键相连,其中有1 个Y 离子在同一个晶胞中,而位于面心处的X 离子共与晶体中的8个Y 离子通过离子键相连,其中有4 个Y 离子在同一个晶胞中,因此1个晶胞中浅色X 离子共有4个.深色Y 离子分布在晶胞内部,则1个晶胞中共有8个Y 离子.因此,该晶胞的化学式应为XY2,结合萤石的化学式可知,X 为Ca2＋.根据晶胞结构,将晶胞分成8个相等的小正方体,其中F－(即Y 离子)位于晶胞中小正方体的体心,而Ca2＋位于小正方体的顶点.因为小正方体的边长为,体对角线长为,Ca2＋与F－之间的距离等于小正方体体对角线长的一半,即

步骤6:检验.所求解数值满足题目的条件信息,所以模型有效.

通过建模解决以上几个物理、化学学科问题,我们可以深刻体会到数学知识的基础性作用及其应用价值,为多学科整合开辟新的思路.

(完)