Hermite矩阵与矩阵方程的解

李小明, 朱心怡, 魏俊潮

(扬州大学数学科学学院, 江苏 扬州 225002)

1 预备知识

Cn×n表示复数域C上的全矩阵环．设A∈Cn×n, 若A=AH, 则称A是Hermite矩阵, 简称H矩阵[9-10]． 矩阵A的Moore-Penrose逆矩阵, 即MP逆矩阵是指存在唯一的矩阵A+, 满足A=AA+A,A+=A+AA+, (AA+)H=AA+, (A+A)H=A+A．众所周知,Cn×n上每个矩阵都存在Moore-Penrose逆矩阵．矩阵A称为群可逆矩阵, 是指存在唯一的矩阵, 记为A#(称为A的群逆矩阵), 满足A=AA#A,A#=A#AA#,AA#=A#A．设A是群可逆矩阵, 若A#=A+, 则称A为EP矩阵． 有关EP矩阵的研究, 可参考文献[11-13]．

引理1[1]若A∈Cn×n是H矩阵,则A是EP矩阵．

引理2[9]若A∈Cn×n, 则A是H矩阵当且仅当A+是H矩阵．

引理3[9]若A∈Cn×n, 则A是H矩阵当且仅当AAH=A2．

引理4[7]若A∈Cn×n是群可逆矩阵, 则:

i)A#=A#A+A=AA+A#;

ii)A+=A+(AA#)H=(AA#)HA+;

iii) 下列条件等价: 1)A是EP矩阵; 2)A=A2A+; 3)A=A+A2; 4)A+=A+A+A; 5)A+=AA+A+; 6)AH=AHA+A; 7)AH=AA+AH; 8)AA#=AA+; 9)A#A=A+A; 10) (AA#)H=AA+AH; 11)A+=A#AA+; 12)AH=AHA#A; 13)A#=A#AA+．

引理5[10]设A∈Cn×n是群可逆矩阵, 则: i)AAH是EP矩阵且(AAH)+=(A+)HA+; ii)A2是群可逆矩阵且(A2)#=A#A+A#A=(A#)2; iii) (A2)+=A+A#AA+．

2 主要结果

定理6设A∈Cn×n是群可逆矩阵, 则

i)A是H矩阵当且仅当(A+)HA+=A+A#AA+;

ii)A是H矩阵当且仅当(A+)HA+=(A#)2;

iii)A是H矩阵当且仅当(A+)HA+=A+A#;

iv)A是H矩阵当且仅当(A+)HA#=A+A#AA+．

证明 i) 必要性．假设A是H矩阵, 由引理1知,A是EP矩阵, 故A#=A+．由引理2知,A+是H矩阵, 故(A+)H=A+,A+A#AA+=A+A#AA#=A+A#=(A+)2=(A+)HA+．

充分性．由引理5知, (A+)HA+=(AAH)A+,A+A#AA+=(A2)+, 故(AAH)+=(A2)+．由MP逆的唯一性知,AAH=A2, 故由引理3知,A是H矩阵．

ii) 必要性．设A是H矩阵, 由引理2知(A+)H=A+．由引理1知A#=A+, 故(A+)HA+=(A+)2=(A#)2．

充分性．由引理5知(A+)HA+=(AAH)+=(AAH)#, (A#)2=(A2)#, 故(AAH)#=(A2)#．由群逆元的唯一性, 得AAH=A2, 故由引理3知A是H矩阵．

iii) 必要性．由于A是H矩阵, 则由(ii)的证明知,(A+)HA+=(A+)2=A+A#．

充分性．由引理5知, (AAH)+=(A+)HA+=(A+)HA+AA+=A+A#AA+=(A2)+, 于是AAH=A2, 由引理3知A是H矩阵．

iv) 必要性．因为A是H矩阵, 所以由(ii)的证明知A+A#AA+=(A+)HA#AA#=(A+)HA#．

充分性．由引理5及引理4知, (A2)+=A+A#AA+=A+A#AA+AA+=(A+)HA#AA+=(A+)HA+=(AAH)+,A2=AAH, 由引理3知A是H矩阵．

引理7设A∈Cn×n是群可逆矩阵, 则

i) ((A+)HA#)+=A+A2AH;

ii) ((A+)HA#)#=AAHAA#;

iii)A+A#AA+是群可逆矩阵且(A+A#AA+)#=(AA#)HA2(AA#)H．

证明 i) 直接验证可得((A+)HA#)(A+A2AH)=(A+)HA#AAH=(A+)HAH=AA+,(A+A2AH)·((A+)HA#)=A+A2(A+A)HA#=A+A2A+AA#=A+A2A+A#A=A+AA#A=A+A, ((A+)HA#)·(A+A2AH)((A+)HA#)=AA+(A+)HA#=(A+)HA#, (A+A2AH)((A+)HA#)(A+A2AH)=A+AA+A2AH=A+A2AH, (((A+)HA#)(A+A2AH))H=(AA+)H=AA+=((A+)HA#)(A+A2AH), ((A+A2AH)((A+)HA#))H=(A+A)H=A+A=(A+A2AH)((A+)HA#), 故((A+)HA#)+=A+A2AH．

ii) 注意到((A+)HA#)(AAHAA#)=(A+)HAHAA#=(AA+)HAA#=AA+AA#=AA#, (AAHAA#)((A+)HA#)=AAH(A+)HA#=A(AA+)HA#=AA+AA#=AA#,((A+)HA#)(AAHAA#)·((A+)HA#)=AA#(A+)HA#=(A+)HA#, (AAHAA#)((A+)HA#)(AAHAA#)=AA#AAHAA#=AAHAA#, ((A+)HA#)(AAHAA#)=AA#=AAHAA#(A+)HA#, 故((A+)HA#)#=AAHAA#．

iii) (A+A#AA+)((AA#)HA2(AA#)H)=A+A#AA+A2(AA#)H=A+A#A2(AA#)H=A+A(AA#)H=(AA#)H, ((AA#)HA2(AA#)H)(A+A#AA+)=(AA#)HA2(A+A)HA#A+=(AA#)HA2A+AA#A+=(AA#)HAA+=(AA#)H, (A+A#AA+)((AA#)HA2(AA#)H)(A+A#AA+)=(AA#)HA+A#AA+=(A+A)HA#A+=A+A#AA+,((AA#)HA2(AA#)H)(A+A#AA+)((AA#)HA2·(AA#)H)=(AA#)H(AA#)HA2(AA#)H=(AA#AA#)HA2(AA#)H=(AA#)HA2(AA#)H, 故(A+A#AA+)#=(AA#)HA2(AA#)H．

定理8设A∈Cn×n是群可逆矩阵,则

i)A是H矩阵当且仅当A2=A+A2AH;

ii)A是H矩阵当且仅当AAHAA#=(AA#)HA2(AA#)H．

证明 i) 必要性．若A是H矩阵, 由引理1知,A是EP矩阵, 则A#=A+, 进而A2=AA#AA=A#AAAH=A+A2AH．

充分性．由引理4以及引理7, 得(A+)HA#=(((A+)HA#)+)+=(A+A2AH)+=(A2)+=A+A#AA+．由定理6的(iv)知,A是H矩阵．

ii) 必要性．假设A是H矩阵, 则A=AH．由引理1知,A是EP矩阵,A#=A+, 故(AA#)HA2·(AA#)H=(AA+)HA2(AA+)H=AA+A2AA+=A3A+=AAHAA#．

充分性．根据引理7, 有(A+A#AA+)#=(AA#)HA2(AA#)H=AAHAA#=((A+)HA#)#．由群逆元的唯一性知,A+A#AA+=(A+)HA#, 故由定理6的(iv)知,A是H矩阵．

定理9设A∈Cn×n是群可逆矩阵, 则A是H矩阵当且仅当AHAA#=A+A2(AA#)H．

证明 必要性．对定理8的(ii)中等式左乘A+, 得AHAA#=A+A2(AA#)H．

充分性．设AHAA#=A+A2(AA#)H, 用A(AA#)H左乘, 得AAHAA#=A2(AA#)H．用A+A右乘, 得A2(AA#)H=A2, 故A(AA#)H=A, 从而AH=AA#AH．由引理4知A是EP矩阵, 则AAHAA#=A2(AA#)H=AA#AH=(AA+)HA2(AA+)H=(AA#)HA2(AA#)H, 故由定理8知A是H矩阵．

定理10设A∈Cn×n是群可逆矩阵, 则: i)A是H矩阵当且仅当AA#=(A+)HA(AA#)H; ii)A是H矩阵当且仅当AA#=(A#)HA(AA#)H．

证明 i) 必要性．由于A是H矩阵, 故定理9中等式成立．用(A+)H左乘此等式得AA#=(A+)HA(AA#)H．

充分性．设AA#=(A+)HA(AA#)H, 右乘AA+, 得AA+=AA#, 故A是EP矩阵．于是AA#=(A+)HA(AA#)H=(A+)HA(AA+)H=(A+)HA2A+=(A+)HA, 有A#=A(A#)2=(A+)HAA#=(A+)H=(A#)H, 故A是H矩阵．

ii) 必要性．设A是H矩阵, 由引理1知A是EP矩阵, 有A#=A+, 故(A#)HA(AA#)H=A#A(AA+)H=A#A2A#=AA#．

充分性．设AA#=(A#)HA(AA#)H, 右乘AA+得AA#=AA+, 故A是EP矩阵, 有AA#=(A#)HA(AA+)H=(A#)HA2A+=(A#)HA2A#=(A+)HA．由(i)的证明知,A是H矩阵．

根据定理10可构造矩阵方程

(A#)HX(AA#)H=AA#．

(1)

定理11设A∈Cn×n是群可逆矩阵, 则A是H矩阵当且仅当矩阵方程(1)有解, 且一般解为

X=A+U-AA+UA+A,U∈Cn×n．

(2)

证明 必要性．若A是H矩阵, 由定理10(ii)知,A为方程(1)的解, 且(A#)H(A+U-AA+UA+A)(AA#)H=(A#)HA(AA#)H+(A#)HU(AA#)H-(A#)HAA+UA+A(AA#)H=AA#+(A#)HU(AA#)H-(A#)HU(AA#)H=AA#, 所以式(2)总是矩阵方程(1)的解．设X0为方程(1)的解, 则(A#)HX0(AA#)H=AA#．由AA+X0A+A=(AA+)HX0(A+A)H=(AA#)HX0(AA#)H=AHAA#=A, 得X0=A+X0-AA+X0A+A, 故式(2)为矩阵方程(1)的一般解．

充分性．已知方程(1)的一般解由式(2)给出, 令U=O, 有(A#)HA(AA#)H=AA#, 由定理10(ii)知A是H矩阵．

定理12设A∈Cn×n是群可逆矩阵, 则A是EP矩阵当且仅当矩阵方程(1)有解, 且解的一般形式为

X=AH+U-AA+UA+A,U∈Cn×n．

(3)

证明 必要性．若A是EP矩阵, 则A=A#, 有(A#)HAH(AA#)H=(A+)HAH(AA+)H=(AA+AA+)H=(AA+)H=AA+=AA#, 故AH是方程(1)的解, 于是(A#)H(AH+U-AA+UA+A)·(AA#)H=(A#)HAH(AA#)H+(A#)HU(AA#)H-(A#)HAA+UA+A(AA#)H=AA#, 即式(3)总是方程(1)的解．设X0为方程(1)的解, 则(A#)HX0(AA#)H=AA#,AA+X0A+A=(AA+)HX0(A+A)H=(AA#)HX0(A#A)H=AH(A#)HX0(AA#)H=AHAA#=AHAA+=AH, 于是X0=AH+X0-AA+X0A+A, 故方程(1)的解总有式(3)的形式．

充分性．已知方程(1)的一般解由式(3)给出, 则(A#)H(AH+U-AA+UA+A)(AA#)H=AA#, 即有(AA#)H=AA#．由引理4得,A是EP矩阵．

构造矩阵方程

A(A#)HXA+AA#=AA#．

(4)

定理13设A∈Cn×n是群可逆矩阵, 则矩阵方程(4)的一般解由式(3)给出．

证明 直接计算可得A(A#)H(AH+U-AA+UA+A)A+AA#=A(A#)HAHA+AA#+A(A#)HUA+AA#-A(A#)HAA+UA+AA+AA#=AA+AA#+A(A#)HUA+AA#-A(AA+A#)HUA+·AA#=AA#, 故式(3)总是方程(4)的解． 设X0为方程(4)的解, 则A(A#)HX0A+AA#=AA#．右乘A得A(A#)HX0A+A=A, 左乘AA+AHA+得AA+X0A+A=AA+AHA+A, 故AA+(X0-AH)A+A=O．所以,X0=AH+(X0-AH)-AA+(X0-AH)A+A=O, 即方程(4)的解总是形如式(3)．

推论14设A∈Cn×n是群可逆矩阵,A是EP矩阵当且仅当矩阵方程(1)与矩阵方程(4)同解．

构造矩阵方程

XA#=(A#)HX(AA#)H．

(5)

证明 必要性．若A是H矩阵, 那么由定理10(ii)知方程(5)的解为X=A．

充分性．1) 若解为X=A, 由定理10(ii)知A是H矩阵; 2) 若解为X=A#, 有A#A#=(A#)HA#(AA#)H, 两边同时右乘AA+得A#A+=(A#)2, 同时左乘A2得AA+=AA#, 由引理4知A是EP矩阵, 故A#=A+, 于是A+A#=A#A#=(A#)HA#(AA#)H=(A+)HA+(AA#)H=(A+)HA+, 由定理6(iii)知A是H矩阵; 3) 若解为X=A+, 有A+A#=(A#)HA+(AA#)H, 即A+A#=(A#)HA+, 右乘AA+得A+A#=A+A#AA+, 左乘A2得AA#=AA+, 由引理4知A是EP矩阵, 有A#=A+, 故A是H矩阵; 4) 若解为X=AH, 有AHA#=(A#)HAH(AA#)H,即AHA#=(A#)HAH, 右乘AA+得AHA#=AHA#AA+, 左乘A+(A#)H得A+A#=A+A#AA+, 此时同 (3), 故A是EP矩阵, 有A#=A+, 则AHA#=(A#)HAH=(AA+)H=AA+, (A#)HA=(AHA#)H=(AA+)H=AA+, (A#)HA(AHA#)H=(A#)HAAA+=(A#)HA=AA+=AA#,由定理10(ii)知A是H矩阵; 5) 若解为X=(A#)H, 有(A#)HA#=(A#)H(A#)H(AA#)H, 左乘(AH)2得AHA#=(A#)HAH·(AA#)H, 由(4)知A是H矩阵; 6) 若解为X=(A+)H, 有(A+)HA#=(A#)H(A+)H(AA#)H, 右乘AA+得(A+)HA+=(A+)HA#, 左乘AAH得AA+=AA#, 由引理4知A是EP矩阵, 则此时同X=(A#)H, 故A是H矩阵．

考虑矩阵方程

XA#=(A#)HY(AA#)H．

(6)

定理16设A∈Cn×n是群可逆矩阵, 则矩阵方程(6)的一般解为

(7)

推论17设A∈Cn×n是群可逆矩阵, 则A是EP矩阵当且仅当矩阵方程(6)的一般解为

(8)

证明 必要性．注意到当A是EP矩阵时,PA+A+A=PA#A#A=PA#=PA+总成立, 故由定理16知, 矩阵方程(6)的一般解由式(8)给出．

充分性．若式(8)是矩阵方程(6)的一般解, 则((A#)HPA+A+U-UA+A+)A#=(A#)H(PA++V-AA+VA+A)(AA#)H, 化简得(A#)HPA+AA#=(A#)HPA+(AA#)H=(A#)HPA+,P∈Cn×n．特别地, 取P=A, 得(A#)HAA#=(A#)H, 右乘A+A得(A#)H=(A#)HA+A, 取共轭转置得A#=A+AA#, 由引理4知,A是EP矩阵．

定理18设A∈Cn×n是群可逆矩阵, 则A是H矩阵当且仅当矩阵方程(6)的一般解为

(9)

证明 必要性．当A是H矩阵时, (A#)H=A#且A是EP矩阵, 故由推论17知结论成立．

充分性．由式(9)是矩阵方程(6)的一般解知, 令U=V=O, 有A#PA+AA#=(A#)HPA+·(AA#)H, 取P=A, 化简得A#=(A#)H, 故A是H矩阵．

定理19设A∈Cn×n是群可逆矩阵, 考虑矩阵方程

XAA#=A#(AA#)HY(AA#)HA,

(10)

则其一般解为

(11)

定理20设A∈Cn×n是群可逆矩阵, 则A是H矩阵当且仅当矩阵方程(10)的一般解为式(8)．

证明 必要性．假设A是H矩阵, 由定理19知,矩阵方程(10)的一般解由式(11)给出．又A是H矩阵,有(A#)H=(A+)H=A+=A#, 则(A#)HPA+A=A#PA+A, 且式A+A+AP=A#A#AP=A#P=A+P总成立, 故矩阵方程(10)的一般解为式(8)．

充分性．由于式(8)是矩阵方程(10)的一般解, 令U=V=O, 得(A#)HPA+A=A#(AA#)HPA+·(AA#)HA．取P=A, 得(A#)HA=A#(AA#)HA, 右乘(A+)2得(A#)HA+=A#A+, 左乘A+A得A#A+=A+AA#A+, 右乘A2得A#A=A+A, 所以A是EP矩阵, 有(A+)HA+=(A#)HA+=A#A+=A+A#, 由定理6知,A是H矩阵．