围绕主题渐次生长：数学习题课的教学追求

姜国生

二次函数是九年级的重点内容，新授课之后往往要安排必要的习题课进行巩固训练，如果教师选择的习题比较零散，则不利于学生掌握同一类问题。因此，笔者围绕二次项系数为1的二次函数问题研发了一节习题课，在教研组内执教公开课后，取得较好的课堂效果，也获得组内同行的好评。下面，笔者整理本节课教学设计，并给出教学立意的阐释，供同行们研讨。

一、教学设计

1.基础热身

例1 如图1，已知抛物线y=x2。

（1）在图1中，求抛物线y=x2与直线y=1的两个公共点坐标；

（2）在图1中，求抛物线y=x2与直线y=4的两个公共点之间的距离；

（3）在图2中，求抛物线y=（x-1）2与直线y=4的两个公共点之间的距离；

（4）在图3中，求抛物线y=-（x+2）2+2与直线y=-2的两个公共点之间的距离。

［设计意图］通过上述4个题目，学生对二次项系数为1的二次函数图像的形状特征更加熟悉，为后续的变式应用奠定基础。

变式1 在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+mx+n的对称轴为直线x=2，且经过点A（0，3）。将这个二次函数的图像沿y轴向下平移，请问：当向下平移几个单位时，所得到的新的函数图像与x轴的两个交点之间的距离为4。

［设计意图］有些学生先写出二次函数表达式y=x2-4x+3。教师要引导学生写成顶点式y=（x-2）2-1，让学生结合例1积累的图像特征，得到新的函数图像与x轴的两个公共点之间的距离。

2.拾级而上

例2 如图4，已知正方形OBCD的三个顶点坐标分别为B（1，0）、C（1，1）、D（0，1）。试分析抛物线y=（x-h）2（h为常数）与正方形OBCD的边的公共点个数，并指出相应的h的取值范围。

［设计意图］教师通过追问的方式，引导学生自主梳理不同的临界情形对应的公共点个数，让学生明白本题的本质就是抛物线y=（x-h）2（h为常数）的顶点在x轴上平移。……