问题情境创设，开放创新应用
——概率或统计中的开放创新性问题

江苏省滨海中学 鲁明星

概率或统计中的开放创新性问题,是借助数学思维来科学决策现实生活中的问题的一类创新问题。此类开放创新性问题,从现实生活中加以抽象与概括,规划问题情境,形成数据信息,结合大数据应用,借助数据所对应的图表或数据所确定的数学要素,从数学角度进行科学创新与判断,为合理判断与决策提供理论支持。

一、与概率相关的开放创新性问题

例1最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功,且试验成功的概率为p(0＜p＜1)。现对该产品进行独立重复试验,若试验成功,则试验结束;若试验不成功,则继续试验,且最多试验10 次。记X为试验结束时所进行的试验次数,且每次试验的成本为a(a＞0)元。

(1)写出X的分布列。

(3)某公司有意向投资该产品,若p=0.25,且试验成功,则获利5a元,试问:该公司应如何决策投资? 并说明理由。

解析：(1)由题意可得,X=1,2,3,…,10,故P(X=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,…,9,P(X=10)=(1-p)9。

故X的分布列如表1所示:

表1

(2)由于E(X)=p(1-p)0+2p(1-p)1+3p(1-p)2+…+9p(1-p)8+10(1-p)9,记S=(1-p)0+2(1-p)1+3(1-p)2+…+9(1-p)8,则(1-p)S=(1-p)1+2(1-p)2+3(1-p)3+…+9(1-p)9,以上两式作差,可得pS=(1-p)0+(1-p)1+(1-p)2+…+(1-p)8-9(1-p)9=

故E(X)=pS+10(1-p)9=,即结论得证。

点评:借助概率相关知识来科学决策现实生活中的开放创新性问题,往往借助对应事件的概率、随机变量的方差或数学期望等数据信息与处理,与对应数据的现实意义加以对比与分析,结合现实问题情境对概率数据的需求差异与变化情况,合理判断,科学决策。

二、与统计相关的开放创新性问题

例2在实施“乡村振兴”的进程中,某地政府引领广大农户发展特色农业,种植优良品种柑橘。现在实验基地中种植了相同数量的A、B两种柑橘,为了比较A、B两种柑橘品种的优劣,在柑橘成熟后随机选取A、B两种柑橘各100株,并根据株产量X(单位:kg)绘制了如图1和图2所示的频率分布直方图(数据分组为:[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95])。

(1)求a,b的值。

(2)将频率当作概率,在所有柑橘中随机抽取一株,求其株产量不低于80 kg的概率。

图1

图2

(3)求两种柑橘株产量平均数的估计值(同一组数据中的平均数用该组区间的中点值作代表),并从产量角度分析,哪个品种的柑橘更好? 说明理由。

解析：(1)由频率分布直方图可得(0.01×2+0.03+0.05+0.06+a)×5=1,解得a=0.04,(0.01×2+0.03+b+0.05+0.06)×5=1,解得b=0.04。

(2)A品种柑橘株产量不低于80 kg的频率为(0.04+0.05+0.06)×5=0.75,B品种柑橘株产量不低于80 kg的频率为(0.03+0.01+0.01)×5=0.25,故200株柑橘中产量不低于 80kg 的频率为,所以在所有柑橘中随机抽取一株,其株产量不低于80 kg的概率为0.5。

(3)设A品种柑橘株产量平均数的估计值为MA,可得MA=(0.01×67.5+0.01×72.5+0.03×77.5+0.04×82.5+0.05×92.5+0.06×87.5)×5=84.5。

设B品种柑橘株产量平均数的估计值为MB,可得MB=(0.01×92.5+0.01×87.5+0.03×82.5+0.04×77.5+0.05×67.5+0.06×72.5)×5=75.5。

所以A品种的柑橘更好。

理由如下:方法一:A的平均产量大于B的平均产量。

方法二:由频率分布直方图可知,A品种柑橘株产量在80 kg及以上的占比为75%,B品种柑橘株产量在80 kg及以上的占比为25%,故A品种的柑橘更好。

点评:借助统计相关知识来科学决策现实生活中的开放创新性问题,重点是正确识别题设条件中的图表信息或数据信息等,结合统计中的图表进行直观分析,对数据样本进行数学运算等处理,并结合不同的问题情境所对应的实际问题,合理对比与分析,进而得以正确判断与科学决策。

三、与线性回归模型相关的开放创新性问题

例3人们用大数据来描述和定义信息时代产生的海量数据,并利用这些数据处理事务和做出决策。某公司通过大数据收集到该公司销售的某电子产品1月至5月的销售量,如表2所示:

表2

该公司为了预测未来几个月的销售量,建立了y关于x的回归模型

(1)根据所给数据与回归模型,求y关于x的回归方程(的值精确到0.1)。

(2)已知该公司的月利润z(单位:万元)与x,y的关系为,根据(1)的结果,试问:该公司哪一个月的月利润预报值最大?

参考公式:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为

点评:借助数据信息与数据统计,利用最小二乘法和线性回归方程的公式,合理构建线性回归模型,利用对应的回归模型所对应的函数,借助函数的图像与性质、不等式的应用或导数的应用等来合理判断与科学决策,从而对一些相关的预算或决策加以合理识别与判断,巧妙破解此类开放创新性问题。

概率或统计中的开放创新性问题,要借助数据分析与数据处理来表述,同时吻合概率或统计的实质内涵,结合相关的概率或统计知识来解决日常生活、社会活动和经济活动等问题情境下的开放创新性应用问题,增强创新意识与创新应用,从而学以致用,学会利用数据说话,进行科学决策,体现创新应用精神,提升数学能力,培养数学核心素养。