独立性检验创设，概率与统计交汇

江苏省兴化市第一中学 刘林

概率与统计专题相关的知识点错综复杂,又环环相扣,相关考题通常不是孤立地考查一个知识点,而是对多个知识点的综合考查。而基于独立性检验的创新情境问题,是新高考数学试卷中一个比较常见的题型,由此实现概率与统计的合理交汇与融合,使得各个独立的知识点加以合理联系,综合考查同学们的“四基”。

一、与统计的交汇

例12022年是共青团建团100周年,某校组织“学团史,知团情,感团恩”知识测试,现从该校随机抽取了100名学生,并将他们的测试成绩按[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],分为5组,得到如图1所示的频率分布直方图。

图1

(1)求图中m的值,并估计这100 名学生测试成绩的平均数;(同一组数据用该组数据所在区间的中点值作代表)

(2)规定测试成绩不低于80分为“优秀”,请将表1所示的2×2列联表(单位:人)补充完整,求出x,y,z,并判断是否有95%的把握认为“测试成绩是否优秀与性别有关”。

表1

表2

解析：(1)由题意得10×(m+0.04+0.03+0.02+m)=1,解得m=0.005。

估计这100名学生测试成绩的平均数=(55×0.005+65×0.04+75×0.03+85×0.02+95×0.005)×10=73。

(2)在抽取的100名学生中,成绩优秀的学生人数为100×0.25=25,由此可得完整的2×2列联表,如表3所示:

表3

点评:以实际应用为创新情境,设置独立性检验为问题背景,结合统计中的频率分布直方图、样本估计等知识,综合考查概率与统计中的相关应用问题。

二、与概率的交汇

例2经常有人说“数学学不好,物理也很难学好”,这话听着好像很有道理的样子,那么真实情况的确是这样吗? 为此,某校数学兴趣小组收集了500名同学的数学成绩和物理成绩,记单科成绩在平均分之上为优秀,整理数据形成如图2所示的统计扇形图。

(1)根据图2 完成表4所示的2×2列联表,并判断能否有95%的把握认为数学成绩与物理成绩有关;

图2

表4

(2)视频率为概率,从全校数学成绩优秀的学生中随机抽取3人,记抽取到的3 人中物理成绩优秀的人数为随机变量X,求X的分布列与期望。

表5

解析：(1)由题意,2×2列联表如表6:

表6

所以X的分布列为表7:

表7

所以E(X)=0×0.064+1×0.288+2×0.432+3×0.216=1.8。

点评:以实际应用为创新情境,设置独立性检验为问题背景,结合概率中的重复独立试验、随机变量的分布列与期望等知识,综合考查概率与统计中的相关应用问题。

三、与其他知识的交汇

例32022年5 月以来,世界多个国家报告了猴痘病例,非洲地区猴痘地方性流行国家较多。我国目前为止尚无猴痘病例报告。我国作为为人民健康负责任的国家,对可能出现的猴痘病毒防控提前做出部署。同时国家卫生健康委员会同国家中医药管理局制定了《猴痘诊疗指南(2022年版)》。此《指南》中指出:①猴痘病人潜伏期5～21 天;②以往接种过天花疫苗者对猴痘病毒存在一定程度的交叉保护力。据此,援非中国医疗队针对援助的某非洲国家制定了猴痘病毒防控措施之一是要求与猴痘病毒确诊患者的密切接触者集中医学观察21 天。在医学观察期结束后发现密切接触者中未接种过天花疫苗者感染病毒的比例较大。对该国家200个接种与未接种天花疫苗的密切接触者样本医学观察结束后,统计了感染病毒情况,得到表8所示的列联表:

表8

(1)是否有99%的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关。

(2)以样本中结束医学观察的密切接触者感染猴痘病毒的频率估计概率。现从该国所有结束医学观察的密切接触者中随机抽取4人进行感染猴痘病毒人数统计,求其中至多有2人感染猴痘病毒的概率。

(3)该国现有一个中风险村庄,当地政府决定对村庄内所有住户进行排查。在排查期间,发现一户3 口之家与确诊患者有过密切接触,这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一进行猴痘病毒检测。每名成员进行检测后即告知结果,若检测结果呈阳性,则该家庭被确定为“感染高危家庭”。假设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p(0＜p＜1)且相互独立。记该家庭至少检测了2名成员才能确定为“感染高危家庭”的概率为f(p)。试问:当p为何值时,f(p)最大?

表9

解析：(1)依题意知,K2=所以没有99%的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关。

(3)设事件B=检测了2 名成员确定为“感染高危家庭”,事件C=检测了3 名成员确定为“感染高危家庭”,则P(B)=(1-p)p,P(C)=(1-p)2p,所以f(p)=(1-p)p+(1-p)2p=p(1-p)(2-p),设x=1-p,则p=1-x,所以y=(1-x)x(1+x)=x-x3,求导得y′=1-3x2,令y′=0,得,此时取得最大值。

点评:以实际应用为创新情境,设置独立性检验为问题背景,结合概率中的重复独立试验,函数与导数的应用等知识,综合考查概率与统计中的相关应用问题。

基于独立性检验创设的概率与统计专题,由于独立性检验的介入,使得问题的起点相对来说比较低,同时又可以多层面设计,起伏比较大,为问题的设置与能力的考查创设很好的基础,备受各方关注,成为新高考数学试卷中概率与统计专题部分的一个特色与亮点。