求解数列最值问题的三种途径

朱燕

数列最值问题具有较强的综合性.这类问题侧重于考查对数列的定义、通项公式、性质、前n项和公式的应用.常见的数列最值问题有：（1）求数列的最大（小）项；（2）求数列的前n项和的最大（小）值.下面主要介绍三种求解数列最值问题的途径.

一、利用数列的单调性

数列是一种特殊的函数，其自变量为正整数，因此数列也具有单调性.通常可以将目标式看作关于n的函数式.在判断出函数的单调性后，即可利用函数的单调性来求解數列最值问题.也可以先根据数列的通项公式来判断出数列的单调性，再利用数列的单调性来求最值.

解：（1） an＝3n－2；（过程略）

所以Tn＋1>Tn，所以数列{Tn}是递增数列．

所以实数t的最大值是1.

一般地，若数列的前一项总比后一项小，则该数列为递增数列；若数列的前一项总比后一项大，则该数列为递减数列.由Tn＋1>Tn，可判断出数列的单调性，即可根据数列的单调性得出Tn≥T1，从而求得t的最大值.

例2.在等差数列[an]中，[a1<0]，[S9=S12]，则数列[an]的前几项和最小？

解：因为[S9=S12]，

解得[a1=-10d].

由于[a1<0]，所以[d>0]，

所以当[n=10]或[n=11]时，[Sn]的值最小，即数列[an]的前[10或11]项和最小.

二、运用放缩法

有些数列中的项有无限多个，我们很难快速求得数列的和，此时不妨运用放缩法，通过增减某些项、放大分母、缩小分子等方式，将数列的前n项和放大或缩小，即可顺利求得最值.

解答数列最值问题，往往需根据题目中所给的条件，仔细研究数列的特点、性质，将问题与数列、函数、不等式知识相关联，以快速找到解题的思路.