巧用“两招”，破解数列不等式问题

施冰洁

数列不等式问题具有较强的综合性，需综合运用数列、不等式、函数等知识求解.很多同学在解题时不知如何下手.下面结合例题，介绍两个解答数列不等式问题的“妙招”，以供参考.

一、放缩不等式

运用放缩法求解数列不等式问题主要有两种思路，一是将数列的通项公式进行放缩，以将其裂为两项之差，或将其变形为等差、等比数列的通项公式的积与和，再运用裂项相消法、错位相减法、分组求和法等求数列的和；二是先对数列进行求和，然后将所求的和进行放缩，从而证明不等式.

解得[a1=1]，即[S1=1]，

因为[S2n]为等差数列，所以[S2n=S21+n-1=n]，

（1）若[f（x）≤ax+1]在[[1，+∞）]上恒成立，求[a]的取值范围；

二、构造函数

数列是一个特殊的函数，其自变量为正整數.在解答数列不等式问题时，可仔细研究数列各项的变化规律，以判断出数列的单调性，从而根据数列的单调性证明不等式.还可以根据题意构造出合适的函数；然后研究函数的单调性；再利用函数的单调性、最值来证明数列不等式.

虽然数列不等式问题较为复杂，但是我们只要仔细研究数列不等式的结构特征，对其进行合理的变形，研究数列的单调性，灵活运用不等式的性质或重要不等式来对不等式进行合理的放缩，就能顺利证明不等式.