解答多元变量最值问题的两种措施

王红霞

多元变量最值问题的命题形式多样，其解法各不相同.由于问题中涉及了多个变量，所以有的同学常常不知如何下手，导致解题失败.下面介绍两种解答多元变量最值问题的措施：消元、数形结合.

一、消元

对于多元变量最值问题，其解题的基本思路自然是消元.由于问题中的几个变量之间相互联系，相互依存，所以可根据变量之间的关系，或通过换元来消去变量的个数，以达到消元、减元的目的.通过消元，即可将多元变量最值问题转换为熟悉的一元或者二元最值问题，就能直接利用基本不等式、导数法、函数的性质来求最值.

先用a表示b，再根据化简后的目标式进行换元，令[a+1=t]，即可将目标式化为关于t的一元函数式，再利用基本不等式进行求解，即可求得最值.

二、数形结合

有时我们仔细研究代数式，可挖掘出其背后的几何意义，此时便可画出或者构造出相应的几何图形，通过研究图形中点、直线、曲线之间的位置关系，求得点之间、直线与点之间的距离，即可快速求得最值.

例3.设[ΔABC]的面积为2，若[∠A，∠B，∠C]所对应的边分别为[a，b，c]，求[a2+2b2+3c2]的最小值.

解：以[AB]所在的直线为[x]軸，中垂线为[y]轴，建立直角坐标系，如图所示，

则[a2+2b2+3c2=BC2+2AC2+3AB2]

我们构造出直角坐标系后，求得各个点的坐标，即可根据两点间的距离公式将目标式化为关于c的一元代数式.对于多元变量最值问题，有时我们从几何角度去寻找解题的思路，能寻找到更为便捷的解题方案.而运用数形结合法解题，则需构造出合适的几何模型.这就要求同学们要学会运用发散思想，展开联想.

可见，解答多元变量最值问题，只要学会根据已知关系式进行消元、构造出合适的几何模型，寻找到合适的方法，便能快速破解难题，提升解题的效率.