例谈证明数列不等式的三种方法

张丽洁

证明数列不等式問题经常出现在各类试题中，时常以压轴题的形式出现.这类题目往往具有较强的综合性，对同学们的分析、推理、运算能力有较高的要求.下面主要介绍三种证明数列不等式的方法，供大家参考.

一、构造函数法

数列实际上是自变量为正整数的一种特殊函数.在证明复杂的数列不等式时，可以根据不等式的结构特征，构造出合适的函数，并利用函数、导数知识判断出函数的单调性，求得函数的最值，即可证明不等式成立.

例1.已知数列[bn]的通项公式为[bn=3n-1]，数列[an]的前[n]项和为[Sn]，若[bn（2an-1）=1]，证明：[3Sn+1>log2（bn+3）].

证明：因为[bn（2an-1）=1]，[bn=3n-1]，

因为[（3n+3）3-（3n+5）（3n+2）2=9n+7>0]，

所以[f（n+1）>f（n）]，可得[f（n）]是单调递增的函数，

即[3Sn+1-log2（bn+3）=log2f（n）>0]，

所以[3Sn+1>log2（bn+3）].

构造出合适的函数后，便将复杂的数列不等式问题转化为简单的函数单调性问题、最值问题，通过研究函数的单调性和最值，即可快速解题.

二、放缩法

放缩法是证明不等式的重要工具.运用放缩法证明不等式，通常可先将通项公式进行适当的放缩，以便运用错位相减法、裂项相消法、分组求和法快速求得数列的和；也可以先求出数列的和，再通过添项、去项、扩大分子等方式放缩和式，从而证明不等式.

三、数学归纳法

数学归纳法适用于证明与自然数有关的不等式问题.运用数学归纳法证明数列不等式一般有两个步骤：第一步，证明当[n=1]时不等式成立；第二步，假设当[n=k]时不等式成立，并由此推出当[n=k+1]时不等式也成立.综合上述情况，即可证明数列不等式成立.

数列[cn]的通项公式中含有根式，采用常规方法求证较为困难，于是运用数学归纳法，分两步证明当[n=1]和[n=k+1]时不等式成立，即可证明结论成立.

上述三种方法都是证明数列不等式的重要手段，其中构造函数法和放缩法比较常用.而运用数学归纳法解题的运算量较大，一般在采用其他方法求解较困难时才运用该方法.