抓住函数式的特点，探寻求含参函数最值的思路

王朋飞

含参函数最值问题一般较为复杂，常见的命题形式有：（1）由函数的最值求参数的值或取值范围；（2）求函数的最值.解答此类问题的方法多种多样，常见的有导数法、换元法、基本不等式法、数形结合法等.下面结合实例，重点介绍两种解答含参函数最值问题的思路：利用导数法和换元.

一、利用导数法

对于含有高次幂、指数式、对数式、分式的函数式，通常可采用导数法来求最值.首先对函数求导；然后用导数的零点将函数的定义域划分为几个区间，并根据导函数与函数的单调性之间的关系，判断出函数在各个区间上的单调性；再根据极值的定义确定函数的极值；最后将极值与区间端点处的函数值相比较，就能得到函数的最值.

则当[x∈1，+∞]时，[fx<0]，

故[fx]在[1，+∞]上单调递减.

二、换元

对于较为复杂的函数式，如复合函数，含有根式、绝对值的函数式，通常可采用换元法来求函数的最值.先引入一个新变量，并用其代替函数式中的某些变量或某个式子，从而将函数式简化；再根据简单函数式的单调性求最值.在换元后，要确保新变量的取值范围与旧变量的取值范围是等价的.

例2.设[a>0]且[a≠1]，函数[y=a2x+2ax-1]在区间[-1，1]上的最大值是14，求实数[a]的值.

解：令[t=ax]，[a>0]且[a≠1]，

则[y=t2+2t-1=t+12-2].

因为[a>0]，所以[t=ax>0]，

故函数[y=t+12-2]是增函数.

当[0

该函数式为复合函数，令[t=ax]，便将函数拆分为二次函数[y=t2+2t-1]和指数函数[t=ax].先分[a>0]和[0

总之，解答含参函数最值问题，不仅要灵活运用函数的单调性，还需熟练掌握一些基本初等函数的性质、导数知识.值得注意的是，含参函数最值问题涉及了参数，因而需灵活运用分类讨论思想来辅助解题，才能有效地提升解题的效率.