在数学建模中学会数学表达
——以苏科版“用一元一次方程解决问题(1)”为例*

孙 凯 (江苏省苏州市阳山实验初级中学校 215151)

陈 锋 (江苏省无锡市太湖格致中学 214125)

《义务教育数学课程标准(2022年版)》指出,数学课程要培养的学生核心素养主要表现为三个方面:会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界[1].从数学内部看,三句话分别对应数学抽象、逻辑推理、数学建模等方面,观察、思考和表达的对象都是现实世界.从现实世界看,“三会”包括将现实世界引入到数学内部,用数学语言抽象、推理、建模,从而解决问题的过程,从宏观上看,这本身就是一种数学建模和数学表达的过程.因此,数学建模是培养初中生数学表达能力的有效路径之一.

1 数学建模与数学表达的关系

数学表达是指用数学的语言表达数学思维的过程,以数学的方式表征和求解问题[2].吕传汉教授提倡通过“教思考、教体验、教表达”(简称“三教”)[3]培养学生的数学核心素养,其中“教表达”是指学生学会用数学的语言表达现实世界.学生用数学语言表达现实世界,实质上就是学生运用所学数学知识构建数学模型应用于外部世界,用数学模型刻画现实世界中研究对象的关系与规律[4],从而解决问题.事实上,数学语言的本质就是数学模型,在用数学语言表达现实世界的过程中必然经历将现实世界引入数学内部,即数学化的过程,而数学化的过程必然要用专业的数学符号系统表达和阐释现实事物的本质、关系和规律[5].从这个角度看,数学建模与数学表达有着互相交融、彼此促进的关系.

数学建模是指将现实世界中的实际问题转化为数学问题并用数学的知识解决问题[6].数学建模能力是指利用形式化的数学模型去表达现实问题中的关系结构,通过对数学模型的求解和检验,解决现实问题的能力.数学表达可以看作用数学语言表达现实世界的简称,是指运用数学语言表示思考对象和解决问题的过程,阐明自己的观点和意见[7].数学表达能力是指使用数学语言的能力,包括口头表达能力或书面表达的能力[8].2017年版高中数学课程标准指出,数学建模活动是一种过程,分为现实问题的数学抽象、数学表达、建构模型求解问题三个阶段[9].基于以上含义的理解,我们可以看出,数学表达始终伴随着数学建模活动.从现实世界到数学内部的数学化表达,建立数学模型求解获得数学结果,再到将数学结果反数学化来阐释现实世界,本质上都属于数学表达范畴.因此,可以说数学建模能力是数学表达能力的重要组成部分,在数学建模活动中培养初中生数学表达能力是切实可行的.

2 数学建模教学设计

2.1 选题说明

苏科版初中数学教材注重选择与学生的生活现实紧密联系的学习素材,设置了大量的现实生活背景.“一元一次方程”章节是初中阶段第一个相对独立完整的代数型模型,包括从现实情境中获得一元一次方程模型,探索模型求解的方法,以及用一元一次方程模型解决实际问题,使学生体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型.学生完整经历引入模型、建立模型、求解模型、验证模型的数学建模过程,体会数学模型的应用价值.

基于以上分析,苏科版数学七年级上册“4.3用一元一次方程解决问题(1)”为初中生首次提供了相对完整的数学建模活动.学生经历的数学表达和数学建模活动过程,对后续实际问题类的分析和求解影响深远.因此,笔者从数学建模和数学表达的视角谈谈“用一元一次方程解决问题(1)”的教学设计与思考.

2.2 教学分析

2.2.1内容简析

教材提供了四部分内容:数学实验室(月历情境);问题1(桌子用料问题);方法总结(一般步骤);练习题(4道题).以月历为情境,设置一些问题,驱使学生探索月历中的数量关系,体会用字母表示未知的数的必要性和优越性,为用代数式表达数量关系、列出方程奠定基础.问题1取材于现实生活,重点在于引导学生建立一元一次方程模型.方法总结是对实际问题求解过程的梳理和归纳,使学生理解和掌握建立数学模型求解实际问题的一般步骤.

2.2.2教学目标

能通过建立一元一次方程模型解决简单的实际问题,包括列方程、解方程,并能根据实际问题的意义检验结果,提高分析和解决问题的能力;经历“实际问题—建立模型—求解模型—验证解释”的建模过程,培养数学表达能力.

2.3 教学过程

2.3.1关联情境,感受数学表达的延续性

代数式模型是方程模型的认知基础,代数式的学习经验和学习水平直接关系到方程学习的质量.教学引入环节设计得好不好,其中一个关键要素是是否体现学生知道什么、还可以知道什么,即是否符合学生的最近发展区,为新知识的生成、生长做好铺垫.

问题1小明和小丽在玩火柴棒搭“小鱼”的游戏,要求用火柴棒按以下方式(图1)搭“小鱼”.

图1 搭“小鱼”游戏

(1)搭n条“小鱼”需要多少根火柴棒?

(2)用602根火柴棒能搭多少条“小鱼”?

教学分析在本课前,“搭‘小鱼’”问题情境已经在教材上出现过两次,每一次出现都肩负着不同的使命.在代数式章节的“章头图”中使学生感受字母表示数的优越性,在“3.3代数式的值”处,使学生获得函数的感性认识,感悟模型思想.在本课教学引入环节,再现“搭‘小鱼’”问题情境,有利于激发学生的学习兴趣,唤醒建立代数式模型的经验,通过建立代数式模型,进一步建立一元一次方程模型.两个问题的设置遵循了知识的生长规律,由浅入深、从无到有,体现了代数式到方程模型的生长过程,有利于学生体会代数式与方程的内在联系.

2.3.2解决问题,感悟数学表达的完整性

“用一元一次方程解决问题”中的“解决问题”是指解决现实世界的实际问题.将实际问题转入数学内部,用数学的知识、思想和方法建立模型并解决的过程就是数学建模.在此过程中既要关注数学建模活动过程的完整性,也要关注每个活动环节学生数学表达的简洁性、条理性、规范性等.

问题2一张桌子有一张桌面和四条桌腿,做一张桌面需用木料0.03 m3,做一条桌腿需用木料0.002 m3.用3.8 m3木材可做多少张这样的桌子?(不计木材加工时的损耗)

教学分析在该问题的教学中,教师应从两个维度考量教学过程:一是数学建模维度,引导学生经历“实际问题—数学问题—数学模型—数学模型的解—实际问题解答”的建模活动过程,使学生初步了解数学建模的一般流程;二是数学表达维度,引导学生经历“审题、设未知数(数学化表达)—找等量关系、列方程(列方程表达)—解方程(求解)—检验(验证)—作答(解释)”的数学表达过程.图2呈现了数学建模循环模型背景下的数学表达流程.

图2 数学建模背景下数学表达流程

2.3.3归纳过程,重视数学表达的规范性

数学表达包括口头表达和书面表达.在数学表达活动中,应引导学生用恰当的数学语言阐释数学理解,从而发展学生关于数学表达的专业性语言体系[10].这就要求教师关注学生口头表达和书面表达的简洁性、规范性,帮助学生说得准确、清晰、有条理,写得简洁、规范、有逻辑.

问题3(1)“桌子加工”问题中有哪些数量关系?请用合适的数学语言表达出来.

(2)根据相等的数量关系,建立恰当的数学模型求解问题.

教学分析通过问题(1)驱动学生审题、理解题意,简化问题情境,梳理并表达出以下数量关系:一条桌腿用料×4=一张桌子的桌腿用料;一张桌面用料+一张桌腿用料=一张桌子用料;所有桌面用料+所有桌腿用料=总用料,为3.8 m3;一张桌子的用料×桌子张数=总用料,为3.8 m3.然后用字母表示适当的未知数,并用含有字母的代数式表达其他相关的量,根据数量之间的相等关系建立一元一次方程模型,然后求解方程模型,检验并写出问题的答案.在表达数量关系时,应关注学生的表达方式,适时引导学生体悟文字语言、符号语言、图形语言三种表达方式的特征.

问题(2)充分预设了学生建立数学模型的多样性,比如有学生会建立算术模型直接求解,也有学生选用不同的等量关系建立不同的方程模型等,但最终教师应引导学生认识到方程模型的优越性.

在这个环节,教师要示范用一元一次方程解决问题的规范性解答,引导学生学会清晰、有条理、规范地表达问题求解的过程及结论.这里的教学重点是引导学生将实际问题进行数学化表达,分析和理解问题中的数量关系,并用代数式或方程表达,从而建立方程模型.在问题解决后,教师引导学生总结归纳用方程解决问题的一般步骤:审题、设未知、找等量、列方程、解方程、检验、作答.

2.3.4深度思考,理解数学表达的结构性

一般而言,数学模型本身是一种稳定的数学结构.从整体上看,整个章节提供的72个实际问题情境都指向一元一次方程模型的建构.从局部上看,每个问题情境中的数量关系的结构类型却不尽相同,但进一步梳理可以发现两种基本的结构模型．引导学生抽象出实际问题中数量关系的结构模型,是一种高阶思维参与的探究活动,有利于实现深度学习.

问题4“搭‘小鱼’”和“桌子加工”两个问题中的数量关系有什么共同的特征?

教学分析“搭‘小鱼’”和“桌子加工”问题中的数量关系分别为:“鱼尾”根数(2根)+“鱼身”根数=总根数;桌面用料+桌腿用料=总用料.两种数量关系可以概括为“a+b=c”型结构模型.其中一个“鱼身”根数ד小鱼”条数=“鱼身”总根数、一张桌面用料×桌子数量=桌面总用料、一张桌腿用料×桌子数量=桌腿总用料.这些数量关系可以概括为“ab=c”型结构模型.教学中应引导学生讨论交流,提炼并表达出以上结构模型,从而实现深度探究、深度学习.正是基于结构模型的教学需要,本节课教学舍弃了教材提供的“月历”问题情境.

3 培养数学表达能力的思考

3.1 注重示范规范化表达

规范化表达是指用数学语言清晰、有条理、规范地表达对问题的数学思考、求解过程以及结果的合理解释.在数学教学中,我们经常遇到学生表达不规范的现象,这种现象在解题作答时表现得尤为突出,广大一线教师对此颇为烦恼.事实上,这种现象表明学生数学表达的规范性有待加强.这就要求教师在数学课堂教学中,应帮助学生认识到规范表达的重要性,有意识引导学生规范化表达,让他们逐步养成规范表达的习惯.比如,在列一元一次方程求解问题时,教师先给出规范的表达过程,做好示范,随后在练习中关注学生表达的规范性,发现问题及时提醒并纠正,反复训练,提高学生规范化表达的能力.

3.2 重视引导多元化表达

多元化表达是指使用不同的数学语言进行有效表达.数学表达的关键是对数学语言的掌握与使用能力.数学语言的形式是多样的,数学的语言一般可以概括为文字语言、符号语言和图形语言三类.提高学生数学语言的使用能力,一定程度上可以看成是提高学生三类语言互译的能力.比如,在分析与表达“桌子加工”问题中的数量关系时,可以引导学生使用文字语言、符号语言、图表语言进行表达(图3),以此提高学生多元化表达能力.

图3 多元化表达的板书

3.3 经历数学化表达过程

数学化表达多用于数学建模活动过程,是数学建模的关键环节.从数学建模过程看,数学化表达分为两个阶段:横向数学化表达和纵向数学化表达.从实际问题中抽象和建立数学模型属于横向数学化表达,在数学内部探究数学模型的认识和求解属于纵向数学化表达.在本节课中,运用数学语言从实际问题中建立一元一次方程属于横向数学化表达,求解一元一次方程获得数学结果属于纵向数学化表达.在此活动过程中要注重对学生数学化表达能力的培养,事实上,这也是培养学生数学建模能力的关键.

3.4 关注结构化表达进阶

结构化表达是指将实际问题中数量关系的结构进行模型化表达,从而深刻理解问题的结构化特征.在对问题解决的反思中,进一步提炼问题中蕴涵数量关系的结构,有利于培养学生的结构化表达能力.研究发现,教材很多题目中的数量关系都包括“a+b=c”“ab=c”这两个最基本的结构,稍复杂的数量关系可以看作是这两个基本结构的复合结构[11].指向实际问题解决的建模教学应关注结构化模型的进阶,从大单元视角对不同实际问题中的数量关系进行结构化统整,从而形成简约、统一、优美的结构模型,以此提高学生的结构化表达能力.