以学科大概念为链的单元教学研究*
——以人教A版三角函数单元教学为例

程仕然 (江苏省黄埭中学 215143)

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》(下称《课标》)强调“重视以学科大概念为核心,使课程内容结构化,以主题为引领,使课程内容情境化,促进学科核心素养的落实”[1]4．那么,什么是学科大概念?如何在单元教学中体现学科大概念的核心作用?笔者查阅文献资料,发现相关结论众说纷纭,且大多偏重理论研究,鲜有数学学科大概念的实践研究．这说明学科大概念有待深入研究,尤其是数学学科大概念视角下的教学实践,更需要进行研究和开发．

1 数学学科大概念的界定

1.1 数学学科大概念的定义

“大概念”又可以称为大观念、核心观念、大概念等．它是“能反映学科的本质,居于学科的中心地位,具有较为广泛的适用性和解释力的原理、思想和方法”[2]．兰德尔·查尔斯将数学学科大概念定义为对数学学习至关重要的观念的陈述,是数学学习的核心[3]．我们这里所说的数学学科大概念是指能反映数学学科的本质,居于学科的中心地位,具有较为广泛的适用性和解释力的原理、思想和方法．

1.2 数学学科大概念的特征

林恩·埃里克森认为,学科大概念指向学科中的核心概念,是基于事实基础上抽象出来的深层次的、可迁移的概念[4]．所以,通过上面相关论述的分析,我们可以把数学学科大概念的特征归纳为如下三点:(1)能反映数学学科的主要观点和思维方式,是学科结构的骨架和主干部分;(2)能统领或包含大量的数学学科知识,具有普遍性和广泛的解释力;(3)能提供对于理解数学知识、研究和解决数学问题的思想方法或关键工具,具备持久的可迁移应用价值．

2 学科大概念视角下的单元教学实践

学科大概念视角下的单元教学,需要我们从单元整体内容着眼,根据课程标准要求和教学内容的特点,以学科大概念为链贯穿不同的主题,统领单元教学,以问题驱动研究,有组织地探索一系列相关问题,帮助学生自主搭建知识结构框架,发展学生的思维链,建立系统的单元知识体系．

2.1 单元学科大概念的提取

科学的单元学科大概念能够承载知识点之间的链接,驱动单元知识和概念的产生,能帮助学生了解单元知识的来龙去脉、理清逻辑关联和明确课程学习的目的．从现有的研究成果来看,我们可以通过分析课程标准和教材,以学科大概念的三大特征为标准,采用自上而下的办法提取学科大概念[5]．

案例1人教A版三角函数单元学科大概念的提取．

《课标》提出借助单位圆建立一般三角函数的概念,体会引入弧度制的必要性;用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的性质,探索和研究三角函数之间的恒等关系,体会利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型[1]21-22．

另外,通过对教材的梳理,我们发现:三角函数单元的学习内容中单位圆模型共出现了19处,说明单位圆模型在三角函数单元具有普遍性和广泛的解释力,能够反映三角函数单元的主要观点和思维方式,是骨架和主干部分;章节引言中提到自然界中各种周而复始的变化都可以抽象为点在圆上的圆周运动数学模型,利用单位圆这个数学模型建构了三角函数的概念,在单位圆模型上通过几何直观研究三角函数图象、诱导公式、恒等变形等性质,说明单位圆是研究和解决三角函数问题的关键工具;习题中拓展问题的探究也用到了单位圆模型,说明单位圆这个数学模型对于理解知识、探索新问题具有持久的可迁移价值．

可见,单位圆模型链接了本单元的学习内容,具有学科大概念的基本特征,是三角函数单元的学科大概念．

2.2 单元知识结构的搭建

布鲁纳指出:无论教师教授哪类学科,一定要使学生理解该学科的基本结构,有助于学生解决课堂内外所遇到的各类问题．掌握事物的基本结构,就是以允许许多别的东西与它有意义地联系起来的方式去理解它,学习这种基本结构就是学习事物之间是怎样相互关联起来的[6]．因此,开展学科大概念为统领的课堂教学需要我们理清单元学科大概念统领下的单元知识结构,帮助学生从整体上理解单元知识,形成单元知识结构,有利于学生将学习到的数学知识进行提取和迁移,即具有迁移价值．

案例2学科大概念统领下的三角函数单元知识结构．

通过案例1的研究,我们发现:由单位圆模型相关的具体事实去研究或者发现相应的概念,在核心活动中构建相应概念及相应概念与其他概念的联系,可以帮助学生形成由事实性实例支撑的概念性理解,进而形成思维链,达到课程内容结构化的目的．由此,依据林恩·埃里克森建立的“知识的结构”模型,我们给出大概念统领下的三角函数单元知识结构图(图1)．

图1 大概念统领下的三角函数单元知识结构图

2.3 以学科大概念为链的课堂教学实施

单元教学连接着课程和课时教学．学科大概念统领下的单元教学是在对单元教学内容进行重新开发后,围绕教学目标达成,在学科大概念统领下开展课时小目标教学．课时小目标在学科大概念的链接下落实单元教学目标,由学科大概念相关的具体事实去研究或者发现相应的概念,在核心活动中构建相应概念,帮助学生形成由事实性实例支撑的概念性理解,进而形成思维链,达到课程内容结构化的目的．

案例3以学科大概念为链的三角函数单元教学实践(片段)．

由案例1和案例2的研究可知,单位圆模型是三角函数单元的学科大概念．单位圆是周而复始规律的数学模型,能够承载三角函数单元学习目标．我们可以通过对单位圆模型的研究架构起三角函数单元的学科知识．

链接1单位圆视角下的弧度制．

教师启发 当半径r=1时,角α就可以用弧长l表示,实现了用实数来度量角的大小．

设计意图让学生积累活动经验,在单位圆模型中体验用实数表示角这个几何图形的可行性,实现角与实数的一一对应,为三角函数的一般定义埋下伏笔,体现了引入弧度制的必要性．

链接2构建单位圆模型,建构任意角三角函数概念．

核心活动 自然界中各类周而复始的周期性变化抽象为单位圆上点的圆周运动模型,在单位圆模型上建立一般三角函数的概念．

上述活动与概念抽象过程如图2所示．

图2

设计意图从几何直观出发,把自然界中周而复始现象简化为圆周运动,构建单位圆模型,从代数运算角度理解动点的坐标与对应角的函数关系,建构高中的三角函数一般定义,方便学生研究得出三角函数定义域、值域和函数值的符号规律,反映了三角函数的本质,明确学习三角函数的意义,为研究三角函数性质做好铺垫．

链接3研究同角三角函数关系．

核心活动 聚焦三角函数定义,研究单位圆中同角三角函数的关系．

图3

教师启发 从定义出发,数形结合研究得出的同角三角函数平方和关系和商的关系极具数学美,相关变形应用广泛．

设计意图引导学生回归定义研究问题,以数形结合的方式分析问题和解决问题．发现数学美,让学生体验从几何直观到代数推演的乐趣,也为研究诱导公式做准备．

链接4利用单位圆模型研究诱导公式．

学生研究 观察,发现:

教师启发 上面这些单位圆上的对称关系是具有一般性的,由对称关系得到等量关系就是我们想要研究的诱导公式．

设计意图对称性是函数的重要性质,利用单位圆模型几何直观体验和感受三角函数的对称性,让学生在活动和探究中得出三角函数诱导公式,为后期用单位圆模型证明三角恒等关系提供方法借鉴．

链接5借助单位圆实物模型,画三角函数图象,研究三角函数性质．

核心活动 自制单位圆实物教具,利用单位圆实物模型精确画出正弦函数图象．

学生研究 (1)如何标注坐标轴上的单位?(2)如何标出正弦函数图象上任意点(x,sinx)?

教师启发 单位圆上角所对的弧长即为该角的弧度数．(1)让单位圆实物模型从原点出发,向右在坐标轴上滚半周即得到π长度,滚动一周即得到2π长度,由此即可得到横坐标轴上点(π,0),(2π,0)．(2)任意点(x,sinx)的横坐标可仿(1)滚动得到,纵坐标由滚动前点的纵坐标平移得到．(3)类比正弦函数图象的作图过程得到余弦函数、正切函数图象．

设计意图借助单位圆实物模型标注三角函数的图象坐标,重温单位圆视角下的弧度制,加深三角函数的一般定义,即:三角函数是以角为变量、实数集对应到实数集的函数．

链接6基于单位圆的一般三角函数定义应用一——证明两角差的余弦公式．

核心活动 证明两个角差的余弦公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(*)．

学生研究 图4(1)中角α,β的终边分别与单位圆交于点A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ)．当α≠β+2kπ,k∈Z时,有AB2=(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2=2-2(cosαcosβ+sinαsinβ)．在原图中绕原点旋转坐标轴,让x轴非负半轴与OB重合,如图4(2),则点A和点B的坐标分别变为(1,0),(cos(α-β),sin(α-β))．此时,AB2=[cos(α-β)-1]2+sin2(α-β)=2-2cos(α-β),所以有2-2cos(α-β)=2-2(cosαcosβ+sinαsinβ),从而得到等式(*)．

图4

当α=β+2kπ,k∈Z时,上式也成立．我们得到如下结论:α,β是任意角,则有等式(*)成立．

教师启发 绕圆心旋转坐标系,单位圆上两定点间距离不变,借助两点间距离证明公式．

设计意图基于单位圆的一般三角函数定义,可发现等式(*)右边各角在圆上相应点A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ)间的距离AB2=2-2(cosαcosβ+sinαsinβ),旋转坐标轴后,点A坐标(cos(α-β),sin(α-β))与角α-β建立了直接关系．旋转前后点A,B在单位圆上的相对位置未变,因而距离不变,从而达到证明等式的目的．单位圆模型为学生从几何直观观察顺利迁移到代数推理证明架起一座桥梁,在问题解决中提升了学生的学科关键能力,在知识的应用中形成高阶思维．

链接7基于单位圆的一般三角函数定义应用二——证明三角函数的恒等变换公式．

图5

设计意图此题为课本习题,类比链接6,借助单位圆的几何直观证明三角恒等式的思想方法,通过直观想象、逻辑推理、数学运算证明和差化积公式,既是深化单位圆大概念,又是对本单元所学内容以及学生素养收获的考查．

3 学科大概念统领下实施单元教学的建议

学科大概念统领下实施单元教学,需要我们关注数学本质,以课程标准为准则,以基本事实为导引,选择合适的路径提取承载单元教学任务的学科大概念,从促进教学和学生的理解、有利于实现数学核心素养等教学实践意义的角度去架构单元知识框架,以学科大概念为链,实行单元整体教学设计．

3.1 梳理出科学的单元学科大概念,形成单元主题

通过解读《课标》和梳理分析教材,以学科大概念的三个特征为标准确定单元大概念,规划出单元教学设计思路．立足大概念的基本特征,从学科的视角理解大概念,分析概念核心及其相关概念构成的网络体系,形成单元教学主题．

3.2 以单元学科大概念为链,构建单元结构

发挥单元学科大概念在单元学习中的统领作用,将课堂教学聚焦于知识的衔接、概念的来源与形成、数学文化的渗透、数学核心素养的培养等环节,将教学内容设计成单元知识问题链,以问题驱动研究,在核心活动中探索和构建单元知识网络,体验大概念的统领作用．加强单元内容的纵横联系,帮助学生建立结构功能优良、迁移能力强的数学认知结构,体会数学的思维方式,引领和辐射其他相关概念的学习,提高对数学的整体认识．

3.3 围绕单元学科大概念设置问题探究,推动单元核心活动

围绕单元学科大概念,立足学生的认知水平设置本单元中问题探究活动,重视知识生成的过程展示,环环相扣地安排链接问题,促进知识与技能的内化;步步深入地推动单元核心活动,提升学生分析和解决新问题的能力,促进交流与反思的深化;层层深入地理解和应用单元学科大概念,培养学生的思辨与综合应用能力,促进思维与表达的固化．

3.4 整体设计,分步实施单元教学,强化学科大概念

基于学科大概念进行整体单元教学设计,沿着大概念主线分步实施完成链接部分的课堂教学,在教学过程中不断强化学科大概念,让分散的单元知识在大概念的统领下形成一个有机的整体,为学生逐步搭建起以学科大概念为核心的结构化的课程内容．

4 学科大概念统领下实施单元教学的价值和意义

弗赖登塔尔认为:“‘再创造’是整个数学教育的原则．”[7]所以说,数学课堂教学就是在问题与核心活动中引导学生经历知识与技能的产生与发展,构建数学知识体系．如本文案例中以单位圆模型这个学科大概念为链统领三角函数单元教学,从章首语中“周而复始问题”简化抽象为单位圆模型开始,利用单位圆模型建立起一般三角函数的概念,利用单位圆几何直观研究三角函数图象、性质、诱导公式,探究三角恒等变换,链接了概念的建构、概念的解构、概念的巩固、概念的拓展、概念的应用和评价等教学内容,实现了单元结构化的目的,更大程度上体现了单位圆这个简单而美丽的数学模型把现实世界中的各类循环往复问题,转化抽象为“数”的一类函数来研究,这就是数学的智慧!

数学学科大概念是数学领域的顶层观念和思想,对明确数学概念核心、建构数学知识体系、解决数学问题、评价教学活动都具有重要的导向作用．它有利于帮助学生理解学科知识背后的更为本质的思想和方法,有利于学科知识结构化,帮助学生形成解决具体问题的思路方法,促进数学学科核心素养内化．

在教学实践中,以学科大概念为链的单元教学设计,用学科大概念链接单元知识,问题驱动核心任务研究,让学生的学习活动实践化、系统化、深度化,形成单元知识结构体系和概念的生长链,促进概念理解和知识迁移运用,发展了学生的思维链,培养了学生的科学精神,提升了学生的学科关键能力,落实了数学学科核心素养,达到从知识传授到能力培养再到价值塑造的“立德树人”目的．