数学与艺术的跨学科融合
——以综合与实践课“美妙的镶嵌”为例

肖 丹 杜兰歌 朱 哲 (浙江师范大学教育学院 321004)

1 引言

菲尔兹奖首位华人得主丘成桐在《开讲啦》里说,在数学的发展中,绘画艺术是最接近数学之美的,绘画艺术是对数学影响最大的[1].镶嵌世界蕴含了无与伦比的艺术价值,其简洁、对称、和谐、奇异的特性能使学生充分感受到数学的美、数与形的和谐以及几何学的优雅与神秘.在现行的各版本初中数学教材中,都安排了“镶嵌”这一课,如:人教版出现在八年级上册第十一章“三角形”的数学活动中;沪科版出现在八年级下册“四边形”的“综合与实践——多边形的镶嵌”中;浙教版出现在九年级上册第三章“圆的基本性质”的阅读材料中.《义务教育数学课程标准(2022年版)》指出,初中阶段综合与实践领域,以问题解决为导向,引导学生综合运用数学学科和跨学科的知识与方法解决问题[2].本文基于浙教版的编排顺序,以综合与实践课“美妙的镶嵌”为例进行教学设计,希望能在学生欣赏、探究艺术大师埃舍尔的镶嵌艺术过程中,让隐性知识通过教学过程问题化、教学活动思维化等方式得以“显化”,并与显性知识相互融合,有效地引导学生经历知识形成的过程,让学生在观察、抽象、概括的过程中,看到知识背后蕴涵的思想[3],体会数学与绘画艺术的跨学科融合.

本课的教学目标是能在欣赏画家埃舍尔的艺术过程中,通过观察与探究发现图形镶嵌的定义、正多边形镶嵌原理,以及任意三角形或四边形都可以镶嵌的数学特征,并抽象出图形镶嵌的数学原理,从中体会数形结合的思想方法,提升数学抽象素养,发展合情推理能力,培养创造性思维,领略数学与艺术的魅力.教学重点是理解正三角形、正四边形和正六边形可以镶嵌成平面.教学难点是理解任意一个三角形、四边形可以镶嵌成平面.

2 教学过程

2.1 创设情境,提出问题

图1是荷兰著名艺术大师埃舍尔(Escher,1898—1972)的一副作品——《骑马人》.这幅作品曾被著名物理学家杨振宁博士选作他获得诺贝尔奖的《基本粒子发现简史》一书的封面[4].骑马人分别由黑、白色标示,各自朝相反方向行走,形成黑、白交替的水平状带纹,黑色马的胸脯和双前腿分别与白色骑马人的脸部和胸、手相接,黑色马的后腿及后身与白色骑马人的背部相接[5].这幅作品由许多全等的“骑士”既不留空隙又不相重叠地镶嵌而成,妙不可言.

图1 画作《骑马人》

问题1什么是既不留空隙,又不相重叠?

师生活动 学生结合生活经验,解释说明什么是有空隙和有重叠,教师进而引导学生得到镶嵌的定义:它是指一些基本图形既不留空隙,又不相重叠地拼接成一个平面的过程.

设计意图通过对埃舍尔《骑马人》的简单介绍,引导学生初步关注数学与艺术的融合,激发学生探索镶嵌的好奇心和求知欲.学生根据日常生活和学习的经验得出镶嵌的定义,从而感受到数学来源于生活,在日常生活中数学无处不在.

2.2 探索发现,引入新知

问题2请继续欣赏埃舍尔《蜥蜴II》这幅镶嵌画(图2),它和数学有什么关系?它是一个什么图形经过怎样的图形变换(平移、旋转或对称)得到的?

图2 画作《蜥蜴II》

师生活动 教师借助GeoGebra软件边讲解边操作,屏幕中显示:选定1只绿色(黄色)的蜥蜴,绕其头顶(尾尖)连续3次旋转90°可得3只绿色(黄色)的蜥蜴.这样,由2只蜥蜴通过旋转变换形成了6只相同的蜥蜴,并且镶嵌成了一个平面.学生也用自己的平板电脑操作蜥蜴的变换,发现通过对两只不同颜色的蜥蜴各旋转180°也能实现镶嵌.

设计意图借助埃舍尔镶嵌作品的艺术 熏陶,引导学生进行初步观察和探索,使学生从数学的角度观察与分析、思考与表达艺术品中的镶嵌,感受数学与艺术学科领域的融合.同时借助GeoGebra的可视化呈现,直观展示蜥蜴图形的变换过程,激发学生的求知欲.因此,此环节的设置既有利于学生理解“美妙的镶嵌”这一课题,也有助于学生初步了解数学与艺术是相互关联的.

问题3这是不规则的蜥蜴进行图形变换所得到的镶嵌图,为了更好地研究这幅神奇的作品,我们先从熟悉的规则和特殊的图形入手来探究镶嵌的奥秘.请同学们拿出课前用卡纸制作的若干个正三角形、正四边形、正六边形、正七边形、正八边形(不同正多边形的边长相等),如果用其中一种正多边形镶嵌,哪几种能镶嵌成一个平面?哪几种不能镶嵌成一个平面?

师生活动 学生动手探究得到结论,继而教师用GeoGebra软件向学生展示不同正多边形镶嵌或者不镶嵌的直观过程.

追问1 这些单一正多边形镶嵌成平面有什么共同特点?如何把几何问题转化为代数问题?请用数量的方式加以说明.

师生活动 学生充分思考探究结果,通过计算可镶嵌的正多边形内角度数,归纳出:正多边形的内角可以被360整除.当正多边形的一个内角度数的整数倍是360°时,这种正多边形就能镶嵌.

追问2 其实,历史上人们对镶嵌的认识很早,我们今天得到的结论早在两千多年前就已经被古希腊毕达哥拉斯学派所证明和使用.我们能否像古希腊毕达哥拉斯学派一样去严格地证明这个结论?

设计意图单一正多边形的镶嵌是最基础的平面镶嵌,学生在日常生活中会经常遇到正三角形、正四边形和正六边形的平面镶嵌.学生通过动手实验,更加深刻地理解单一正多边形镶嵌的原理.同时,通过在教学中融入古希腊镶嵌史,可以帮助学生产生学习兴趣,同时还能向学生强调数学严谨证明的必要性,发展学生的合情推理能力.

问题4我们继续欣赏埃舍尔的《飞鸟与鱼》(图3),在这个平面中(框出一个小平面),它是由几个图形镶嵌的?

图3 画作《飞鸟与鱼》

追问3 类似地,如果用两种正多边形镶嵌,哪两种正多边形能镶嵌成一个平面?

师生活动 学生任意挑选两种正多边形进行拼接,在尝试中得到丰富多彩的镶嵌图(图4),教师辅以GeoGebra予以肯定(图5).

图5 GeoGebra演示

追问4 镶嵌成平面的这几个几何图形有什么共同特点?

师生活动 学生通过观察自己所拼成的镶嵌图并类比单一正多边形的镶嵌原理,可得到,当两种正多边形拼接在同一个点的各个角的和恰好等于360°时,这两种正多边形就能镶嵌.

设计意图借助埃舍尔的复合镶嵌作品,通过类比单一正多边形镶嵌的探究过程抽象出数学图形,从中发现两种正多边形的镶嵌原理,再辅以GeoGebra验证,使学生再次感受到埃舍尔带来的奇妙的数学之美,进一步理解数学与艺术是密不可分、息息相关的.

问题56个正三角形能镶嵌成一个平面,那6个形状、大小均相同的任意三角形能镶嵌成一个平面图案吗?

师生活动 学生由三角形内角和为180°的性质,得到将3个三角形各个角拼接可形成一个180°的平角,那么,6个形状、大小均相同的任意三角形就能拼成一个360°的圆周角.教师再次借助GeoGebra软件,通过任意改变三角形的形状都能形成镶嵌的平面图形来验证学生的结论.

追问5 用形状、大小均相同的任意四边形能镶嵌成一个平面图案吗?

设计意图学生在教师的引导下从探究特殊的正多边形到思考一般的三角形、四边形的镶嵌原理,教师多次利用GeoGebra软件进行可视化研究,让静态教学“活”起来,让学生从特殊到一般中深入理解镶嵌原理.

课后思考:任意一个三角形或四边形可以镶嵌成平面,那其他任意多边形是否可以镶嵌?多个不同的多边形是否可以镶嵌?总结其规律.

2.3 揭秘创作,成果展示

艺术大师埃舍尔用他独具匠心的数学思维与艺术禀赋,创作出广受欢迎的作品.我们再来欣赏一下埃舍尔与镶嵌有关的作品 (图6、图7、图8).

图6 画作《小矮人》

图7 画作《圆的极限 IV》 图8 画作《马塞克II》

问题6埃舍尔的镶嵌作品到底是如何创作的?

(播放微视频“《蜥蜴II》的创作方法”)

师生活动 学生易从视频中概括出埃舍尔以正六边形为基础,对其多次进行一部分切割后沿着平移方向补到另一个边上,然后通过旋转、对称得到了镶嵌的蜥蜴.教师总结其原理:因为正六边形是可以镶嵌的,所以将改变后的蜥蜴进行图形变换也可以形成镶嵌图形.因此,为了设计出美妙的镶嵌图形,我们可以根据所学习的正三角形、正四边形、正六边形,以及任意一个三角形或四边形都可以镶嵌成平面的数学原理进行创作.

问题7你能否借鉴埃舍尔的创作设计出属于你的“美妙的镶嵌”图形?

小组合作 完成“美妙的镶嵌”图形并进行成果展示(图9)并讲解创作理念.

图9 部分学生作品2

设计意图通过微视频揭示埃舍尔的创作原理,让学生体会到小小镶嵌图案背后竟又“镶嵌”着如此无与伦比的美,激发学生去创作美妙的镶嵌图形的积极性,让学生在亲身创作过程中感受数学与艺术的完美融合,充分发展学生跨学科的应用意识与实践意识.

拓展:其实,埃舍尔的作品中与数学有关的不仅仅只有镶嵌,还有无限、非欧几何等.多边形镶嵌平面的理论,不仅呈现于艺术中,在建筑结构、经济用料、废物利用等方面都已得到广泛应用.

2.4 课堂小结,情感提升

问题8(1)我们是怎么探索镶嵌的?运用了哪些数学思想方法?

(2)经过这一节课的学习,有什么收获?

(3)通过本课的学习,你能运用所学数学知识(不仅仅是镶嵌)创作出更多艺术作品吗?

总结埃舍尔的创作中数学与艺术一直是相辅相成的,他那神奇而又复杂的艺术镶嵌创作是基于对正三角形、正四边形以及正六边形的镶嵌原理的充分认知,然后通过平移、旋转、对称等变换将它们扩展成复杂的连锁图案,例如鸟类、鱼类和爬行动物等,再将其设计成一个镶嵌图形.埃舍尔的作品中所呈现的数学形式特征提高了更多人对数学与绘画艺术的认识,而镶嵌的数学原理也为艺术创作提供了参照模型.

3 教学反思

3.1 激发学生探索新知的兴趣

艺术欣赏能够快速抓住学生的注意力,激发其对新知探索的兴趣.本节课从对荷兰艺术大师埃舍尔作品的欣赏与探究,到以问题解决为导向,探索数学中单一正多边形、两种正多边形,以及任意一个三角形或四边形的镶嵌实验,再到揭秘作品背后的数学镶嵌原理,继而让学生创作自己的平面镶嵌图形,其本质是让学生在艺术欣赏中深刻理解其背后的数学原理,了解数学的价值,激发探究数学与艺术融合的兴趣.

3.2 培养学生解决问题的能力

在教学过程中,通过微视频直观揭示埃舍尔艺术背后的数学原理,让学生感受他创作背后数学与艺术完美融合的奇妙方法.学生从最初借助GeoGebra软件直观呈现变换,到可以独立从单一正多边形镶嵌类比两种正多边形及任意多边形的思考探究,再到能够通过小组合作创作出自己的镶嵌图形,说明学生在观察、抽象、概括的过程中,理解了平面图形镶嵌原理中思维的一致性,领悟了类比、从特殊到一般等重要的解决问题的方法,自然地提升了跨学科解决问题的能力.

3.3 引领学生走向深度的思考

叶澜曾说:“尽管我的数学成绩并不好,但由此生出了数学奇妙和对数学家的敬意.我想,这些可能就是数学“魂”的构成之一.”[6]本节课让学生在欣赏数学美、创造数学美的教学过程中,激发出对数学奇妙和“数学”艺术家埃舍尔的敬意,引发对数学文化的思考.此外,学生感受到的不仅仅是对绘画作品的纯粹欣赏,更多的是对整个数学本质的思考.学生通过数学的眼光,可以从艺术创作中发现图形镶嵌的原理;通过数学的思维,可以建立数学与艺术之间的逻辑联系;通过数学的语言,可以简约、精确地描述艺术创作.以此发展学生的应用意识与实践能力,促使学生在学习中深度思考数学与艺术的跨学科融合.