透析数学本质,彰显思维活力

包高宏

[摘  要] 数学教学要突出本质，弱化细节，才能让学生在学习活动中彰显思维活力. 教学中教师要依据教学目标创新教学模式，围绕学科核心素养开展学习活动，在探究学习中渗透数学思想和数学方法，不断提升思维活力，真正体现数学学习价值.

[关键词] 数学本质;思维活力;核心素养

数学是一门磨炼思维，提高学生逻辑推理能力的学科，数学教学的目标是提高学生的核心素养，提升学生的思维品质. 思维能力的提高要在体验活动中实现，因此开展教学活动是教学过程中的必要環节，教学活动不仅是教师的事情，还需要学生积极参与. 那么，课堂热热闹闹，学生积极发言，是否就能说明这是一次成功的教学活动呢？笔者认为不然，热闹的气氛体现的只是一节课的外在形式，一节课的目标是否实现归根结底要看学生的思维是否得到了发展，学生在课堂上是否有了深入思考，在课堂上是否迸发了思维碰撞的火花，只有教学过程充满学生的思维活动，才能彰显课堂的生命力[1]. 数学教学归根结底是数学思维的教学，一节课表面看起来非常安静，但只要学生在课堂上能够积极思考，就是一节有活力的课堂. 数学课的活力指的是课堂上师生、生生之间的思维碰撞.

问题背景

新课程改革进行得如火如荼，深入人心，广大数学教师对于教学中强调数学本质的认识，课堂教学返璞归真，实现思维活动的深入，努力揭示数学概念、定义、结论后的本质特征都有了统一认知，但是在实际教学过程中却存在着各种偏差，部分教师没有真正理解新理念的本质，只是停留在课堂表面“新的形式化”，新理念只有形式，没有落实本质，所以课堂教学只留下了表面上的热闹，实则学生并没有真正理解数学本质.

数学教学的形式化体现在诸多方面，如学生对数学知识的学习停留在表面的记忆和技能操作上，没有理解数学本质. 在数学教学中，教学主体是数学内容（本质），形式是服务于内容的，但有些教学活动，形式却大于内容. 在这样的教学活动中，教师过分注重形式化的东西，满足了表面的形式化创新，却弱化了数学最核心的内容.

过分注重“细节”，带来的只是课堂表面上的热闹，这反而造成了学生对于数学本质理解的偏差，导致学生过分关注与实际问题关系不大的表面现象，或者是形式上的数学表达方法. 学生在这些细节上分散了过多的精力，导致其容易忽视数学本质，舍本逐末，主次颠倒. 为改变这种现象，教学时教师要对外在形式上的内容做淡化处理，不要过分强调，而应该着重关注数学本质，突出数学思维的培养，彰显数学课堂活力.

突出数学本质，彰显课堂活力

1. 淡化非核心概念，注重数学本质

概念、定理是数学学习中的重要内容，教学中教师要处理好核心概念与非核心概念之间的关系. 非核心概念是指一些描述性或过渡性的概念，它们对于学生理解核心概念具有重要价值，但是在教学中它们起到的只是辅助功能，不能喧宾夺主. 数学核心概念或定理与许多要素有着千丝万缕的联系，如果处理不好，主次颠倒，就会削弱学生对数学本质的把握，难以深刻理解数学本质[2].

案例1 “函数零点存在”的教学

函数零点存在定理：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且满足f（a）f（b）<0，那么函数y=f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）=0的根.

笔者曾听过一次公开课，有位年轻的教师讲授函数零点概念与方程根之间的关系时非常顺畅，但是解释函数零点存在定理时进行了过度延伸. 他认为这一定理还不够严谨和完善，特别对定理中描述的“一条连续不断的曲线”有异议，于是用了大量的时间给学生进行详细阐述.

师：函数零点存在定理中要求函数图象是一条连续不断的曲线，其中的“连续不断”满足什么特征，你们知道吗？

生1：我觉得有两层含义，一是连续，二是不断.

师：很好，除了这两层含义，还有其他意思吗？

生2：“连续”表示图象连接在一起，而“不断”则是不分开的意思.

师：你的解释是正确的. 大家讨论交流一下，我们能否用数学思维和表达将“连续不断”的含义再深入解释一下.

……

接下来，该教师对“不断”的含义就三类间断点配上图形进行了细致的分类解释，最后还对函数图象在闭区间[a，b]的两个端点处连续做了补充解释. 此时课堂越来越安静，大部分学生已经游离于课堂之外.

教学目标要依据教学内容和学情确定，事实上在这一时期提出函数零点存在定理，其目标是让学生理解定理的本质，即当函数y=f（x）的图象在闭区间[a，b]内连续不断的情况下，只要f（a）f（b）<0，就存在零点. 因此在学生对函数知识认识有限的情况下，对于函数零点存在的前提，只需要学生了解是什么就可以了，不需要进行精确的描述. 该教师在教学中出现的问题，不是自己对知识的研究不够深入，而是没有依据学生的认知规律和认知特点，合理地设定教学目标，导致拓展过度，超出了学生的认知能力，反而适得其反[3].

在函数零点存在定理中，前提是函数图象是一条“连续不断”的曲线，作为高一的学生只需要了解这个前提即可. 这一前提对于理解定理的本质来说只是一个“细节”，不属于核心概念，因此不需要教师对这个非核心概念进行过多解释，只需要学生能根据常识认识曲线连续不断就可以了，这样反而有利于学生将注意力放在数学本质上. 本节课中，该教师在解释定理上虽然追求严谨，但是超出了学生的认知能力，超出了学生的最近发展区，因此学生难以参与课堂活动，教学目标自然难以落实.

2. 淡化“严谨”证明，注重本质思路

公式的推导和证明是高中数学教学最重要的一部分. 在推导与证明的过程中，教师要先带领学生厘清主要推导思路，再逐步完善证明过程，如果过分关注过程的完整性，要求推导过程一步到位，容易使学生只关注规范的证明过程，而忽视数学思想方法的本质.

案例2 推导两角差的余弦公式

关于两角差的余弦公式的推导可以利用单位圆中的三角函数线进行，也可以利用向量知识进行. 但利用向量知识推导两角差的余弦公式更容易让学生理解，教学中教师一般会采用这种方法. 下面展示一位教师讲解这一内容的教学实录.

师：如果现在我们不限制角的取值范围，那么可以扩大到什么范围呢？

生（齐）：可以是任意角.

师：在公式cos（α-β）中的α和β是任意角，那么α和β的差有哪些可能呢？

生（齐）：α和β的差有多种可能，但它仍然是一个任意角.

师：对此，我们能不能进行分类讨论，以更加明确几种不同的情况呢？

学生先思考，再相互交流，接着发表各种看法，教师最后总结. 根据任意角的诱导公式确定分为两类，一类是α-β∈[0，π]，另一类是α-β∉[0，π]，但教师没有说明不以0

，或[0，2π]为分类标准的原因. 接下来，师生一起在这两类情况下探究如何使用向量知识推导两角差的余弦公式，推导完成后便开始应用该公式.

可以说课堂教学气氛热烈，学生发言积极，教学活动参与度非常高，然而课堂教学结束后在学生的问卷反馈中，对“推导cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ这个公式采用了什么方法”这一问题，表明只对角的分类有较深的印象. 这个答案让大家大吃一惊，学生似乎对向量知识推导两角差的余弦公式没有印象，只记得分类讨论角的不同类型，很显然教学目标出现了偏离. 这一教学片段中，学生之所以没有掌握两角差余弦公式的推导方法，究其原因是教师在教学中突出了内容细节，而忽略了内容本质，使推导思路和推导过程本末倒置.

推导两角差的余弦公式选择的是向量数量积的定义，因为这一推导方法较为简洁. 通过向量数量积的定义知道两向量的夹角α-β的取值范围只能是[0，π]，因此在推导过程中需要分为α-β∈[0，π]与α-β∉[0，π]两类，这是自然联想的结果. 但这个教学片段中教师重点讨论的是如何将角进行分类，以凸显证明的严谨和科学，这样的证明过程使学生忽视了公式本身的推导过程，不符合学生的认知习惯和特点，因此学生对公式的推导方法没有深刻的印象，只是掌握了角的分类. 在推导两角差余弦公式的过程中，应该弱化角的分类讨论（这是推导过程中的细枝末节），弱化非核心的内容细节，突出向量知识推导公式的本质思路.

教学用书强调向量知识推导两角差的余弦公式中提出了几个需要关注的要点，其中一点就是在探索過程中不要着重一步到位，应该抓住问题核心探讨推导思路，然后再进行反思，完善推导过程，其中包括对角的分类讨论和诱导公式的完善. 因此对数学一般性问题的探索，都应依据具体的教学内容和学生的实际认知进行优化设计，引导学生理解数学本质，对“严谨”性进行适当的淡化，以做到详略得当，突出重点.

总之，课堂教学中如果没有抓住本质内容，只有表面上的热闹氛围，就无法实现学生思维发展的目标.

3. 淡化非必要“情节”，注重情境创设本质

数学源于生活，又应用于生活，因此创设情境是教学中的必要环节，然而在实际教学中，情境的创设有时是为了创设而创设，没有考虑这一情境对于教学目标的落实是否真正有作用. 毋庸置疑，好的情境能够增强课堂的趣味性，有利于吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，但能否让学生真正参与到课堂教学活动中去，还需要教师理解教学内容的特点，把握数学本质，并长时间保持学生的学习兴趣. 目前，数学教学中创设情境的情况越来越普遍，但也出现了随意捏造、只重趣味不重实质、脱离实际的情况. 下面展示某位教师教学“随机事件概率”时引入的部分情境.

案例3 “随机事件概率”的教学

在一次公开课中，笔者听取了执教教师在讲解随机事件概率时，创设的一个现实情境：第二次世界大战期间，在1943年以前，英美联军被德军的潜艇在大西洋重挫，已经没有反抗的力量. 为了解决困境，美国海军专门请教几位数学家应该怎么办，数学家通过运算概率的方法进行分析，舰艇的相遇是一个有规律性的随机事件，可以通过扩大海军舰队的规模，来穿过危险海域，结果英美舰队被袭击的概率大大下降了，保证了物资的及时供应. 这是为什么呢？

这一情境引起了学生极大的兴趣，从历史到数学，除了讨论第二次世界大战的事件，学生还学习了概率知识，体现了数学知识在实际情境中的广泛运用，同时又充满了趣味性. 但是当大家反思这节课时，出现了疑问：这一情境对于学生理解随机事件的概率有多大帮助呢？由于情境的内容较为丰富，导致学生的思维被很多非本质的情节所纠缠，远离了本课的内容主体. 情境的创设是必须的，但是要注意揭示数学本质，发展数学思维，体现数学味道.

数学教学中还存在着各种各样的活动形式，虽然有的课堂看起来非常热闹，但是其实质对学生的思维发展没有启发，也未体现数学本质. 教学中教师只有从学生的最近发展区出发，以富有思考性的问题引导学生，才能让课堂真正迸发出思维的火花，提升学生的数学素养.

参考文献：

[1] 陈峰，薛莺. 以问题引领，提升复习效能——对初三“圆的复习”课几个片段的感悟[J]. 中学数学，2013（10）：17-19.

[2] 杜育林. 让学引思，让数学思维自然生长——以“一元一次方程章复习课”为例[J]. 中学数学教学参考，2018（17）：20-23.

[3] 项志成. 初中数学德育实践研究[J].  数学教学通讯，2019（35）：41-42.