聚焦深度学习 助力素养发展

李佳

［摘  要］ 数学核心素养的本质是用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界. 生长型专题微课能帮助学生完善知识网络，能促进学生理解知识，能提升学生运用知识的能力，所以生长型专题微课是学生实现深度学习的有效载体，对学生核心素养的形成与发展起着至关重要的作用.

［关键词］ 深度学习；经验迁移；培育素养

初中数学深度学习，是指在教师的引领下，学生围绕具有挑战性的数学学习主题，全身心地参与、体验成功、获得发展的有意义的数学学习过程. 自2018年9月起，杭州市便开展了学生自主制作微课活动，旨在借微课制作之道，落深度学习之实. 教师指导学生制作专题微课，深化和落实了“学为中心”“以生为本”的教学理念. 自主学习、合作学习、深度学习的学习模式丰富了学生的学习方式；技术赋能，能帮助学生查漏补缺，能帮助教师精准助学，能优化教师的教学方式；培养学生高学习力、高理解力、高表达力、高创造力等核心素养，则让学生的内隐知识外显化，从而实现了思维的进阶. 基于深度学习的生长型专题复习，以发展学生的核心素养为导向，以聚焦核心知识为起点，以探究核心问题为载体，能达到提升学生思维层级的目的.

理解学生掌握学情，把握学习    广度

折叠是日常生活中常见的现象，是数学中的常见素材，其呈现背景可以是三角形、四边形、圆等多种几何图形，折叠的本质是图形变换中的轴对称. 学生解决图形的折叠问题时，常常出现如下情况：①审题时，无法顺利地画出图形；②解题时，没有清晰的解题思路；③识图时，无法构造出基本图形. 改变这种现状的关键在于要多进行实践操作，积累数学活动经验，并迁移应用活动经验，以达到“学一法、会一类、通一片”的效果，最终将抽象的数学思想方法内化.

理解数学精准教学，凸显学习    深度

针对以上学情，教师可围绕下面几个问题进行“矩形的折叠”教学：①折叠后折痕两侧的图形之间有怎样的关系？有哪些重要的结论？②能否运用这些结论，将问题转化成基本模型？③能否利用模型，通过方程、相似、锐角三角函数等知识解决问题？

基于上述对教学内容和教学目标的理解，教师教学时可确定如下教学环节.

1. 环节一：呈现基本问题，提炼核心思想

（PPT呈现）一张矩形纸片ABCD如图1所示，已知AB=3，BC=2，E为线段AB上的一个动点，把△BCE沿直线CE折叠后得到△B′CE.

问题：以图1为背景，请同学们联想一下，随着点E的运动，点B′会落到哪些特殊的位置. 请同学们先按下暂停键，画出相应的图形.

学生独立思考完后按下了播放键，PPT陆续呈现了图2、图3、图4，其中图2中的点B′落在了DC边上，图3中的点B′落在了对角线BD上，图4中的点B′落在了对角线AC上.

追问1：当点B′落在DC边上时，如图2所示，在画图的过程中，如何确定点E和点B′的位置？并求出此时AE的长.

给出“追问1”后，学生按下暂停键，思考完成后学生再按播放键. 此时PPT呈现了如下四种画图方法：①利用折叠时对应角相等、折痕为角平分线来确定点E和点B′的位置. 可以先画∠BCD的平分线来确定点E的位置，即∠BCD的平分线与AB的交点即为点E，接着画EB′⊥DC交DC于点B′，从而确定点B′的位置. ②利用折叠时对应边相等、对应角相等来确定点E和点B′的位置. 可以先画∠BCD的平分线来确定点E的位置，即∠BCD的平分线与AB的交点即为点E. 又因为CB=CB′，于是在DC边上截取CB′=CB来确定点B′的位置. ③利用折叠时对应边相等和对应角相等可证得四边形BCB′E是正方形，于是可在DC边上截取CB′=CB来确定点B′的位置，在AB上截取BE=BC来确定点E的位置. ④利用折叠时对应边相等、折痕垂直平分两对称点的连线段来确定点E和点B′的位置. 先在DC边上截取CB′=CB来确定点B′的位置，接着作线段BB′的中垂线交AB于点E，以确定点E的位置.

（容易求得图2中的AE=3-2=1）

评析？摇 教师设计折叠后让点B′落到特殊位置上这一问题，是为了让学生感受点E在运动过程中的一些特殊位置，感悟从一般到特殊的思想. 在“追问1”之下，学生给出了4種画图的方法，这能让学生体会到精准画图的过程中需要用到折叠的性质，而折叠的本质是轴对称，对称轴为对应点连线段的中垂线或对应线段所夹角的平分线所在的直线. 上述过程能培养学生的分析能力、操作能力，能为后续问题的解决做铺垫.

追问2：同学们会用尺规作图法画出图3、图4吗？并求出相应图形中AE的长.

有了画图2的活动经验，学生经过独立思考，获得了如下结论：①通法，折叠后的对应边相等（CB′=CB），因此以点C为圆心、CB的长为半径画圆，与对角线的交点即为点B′. 又由对称轴垂直平分两个对称点的连线段（CE垂直平分BB′），可确定点E的位置，即作BB′的中垂线与边AB的交点即为点E. ②特法，鉴于图3特有的条件，可作过点C且垂直于BD的直线，所作直线与AB边的交点即为点E. 鉴于图4特有的条件，可作∠BCA的平分线，所作平分线与AB的交点即为点E. 图3和图4中点B′的画法同①.

评析？摇 当点B′恰好落在边CD上时，要求AE的长，首先要画出相应的图形. 画图时，先以点F为圆心、FB的长为半径画弧与边DC相交于点B′，接着作BB′的中垂线交边AB于点E，然后过点B′作B′E的垂线，与以点F为圆心、CF的长为半径的圆相交于点C′，最后顺次连接FC′，C′B′，B′E，EF，如图11所示. 求点E从点A运动到点B的过程中B′C′扫过的面积，本质是求B，C两点的对应点B′，C′在折叠过程中的运动路径. 由“追问3”的活动经验可知，两个点的运动轨迹都是弧，只要分别画出以直线AF，BF为对称轴的对称点即可，如图12所示.

从折叠三角形到折叠四边形，通过对问题的探究，学生感悟到了：不变的是，画图时，用对称抓住不动的点，即圆心的位置；变化的是，当点E运动时，“问题”是一个对应点的变化，而“变式4”出现了两个对应点的变化，因此图12出现了两条弧. 在图11的求解过程中，可结合矩形的性质和折叠的性质探究折叠后新生成的“双平等腰模型”，進一步建立模型观念.

3. 环节三：自主梳理归纳，构建思维模型

教师教学时可引导学生以图形折叠为载体，梳理解决问题的方法、策略、经验，并以思维导图的形式进行小结.

理解教学感悟反思，聚焦学习    亮度

1. 关注实践操作，积累活动经验

学习是经历各种各样的活动，掌握基础知识、基本技能，感悟思想的过程. 在专题复习课中，对于综合性较强的题目，教师应针对学生的疑点、难点进行有效剖析，设计有层次的关联问题来激发学生对相关知识的回顾，并让学生通过自身的实践操作来达到对知识的有效建构，从而积累活动经验. 本文通过设计开放型含有动点的矩形折叠问题，让学生参与到“探、画、解、思”的过程中，感知折叠问题画图、计算的依据均来源于对折叠本质（轴对称变换）的理解与应用.

2. 设置问题驱动，促进深度学习

著名教育家陶行知先生认为，“创造始于问题，有了问题才会思考，有了思考，才有解决问题的方法，才有找到独立思路的可能”. “环节一”设计了一个开放型问题，让学生在问题的引领下学会独立思考、主动探究，在探究中尝试寻求解决问题的具体策略，总结出折叠问题中画图和计算的通性通法与数学思想. “环节二”引出了基于“环节一”的4道变式题，教师让学生在经历了矩形背景下三角形的折叠及折叠中隐含的数学模型后，继续探究矩形背景下折叠后点落在矩形内部、两次折叠问题，以及四边形的折叠，再一次激发了学生的探究欲望，让学生在已有的经验指导下不断深入探究. 除了矩形背景下的折叠有“不变”的规律外，平行四边形的折叠和圆的折叠同样有这样的“不变”性.

如图13所示，四边形ABCD是平行四边形，E，F两点分别在边AB，CD上，将四边形BCFE沿EF折叠后得到四边形GHFE. 若点G恰好为△ADE的重心，则的值为________.

如图15所示，以半圆O的一条弦AB（非直径）为对称轴翻折后与直径BC交于点D. 我们不难发现，利用圆的性质和折叠的性质可以生成等腰三角形ACD. 若两次折叠，即在图15的基础上，再翻折交AB于点E，如图16所示，不难得到等腰三角形ACD，等腰三角形ADE，等腰三角形DEB，且AC=AD=DE=EB.

3. 善用一题多变，感悟本质思想

研究的对象在变，但研究的套路不变，思想方法不变，这就是数学基本思想、基本活动经验的力量. “环节一”设计了一题多问，“环节二”设计了一题多变，教师通过问题，引导学生在“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中发现“变”的规律. 如“环节一”通过设计特殊位置上的折叠情形，让学生在画图中感悟到“变”的是对应点的位置，“不变”的是画图的方法与依据；“环节二”则通过设计一题多变，让学生在解决问题的过程中总结出折叠问题“变”的规律，即“双平等腰模型”，通过经验感悟，帮助学生解决折叠综合问题.

4. 注重方法内化，培育核心素养

“常规课育树，复习课育林.”生长型专题复习是围绕某个核心知识点（重点、难点、疑点）或某个问题（基本问题、基本图形、基本思想、基本方法），运用变式、拓展、延伸等方法产生知识、方法、思维、经验生长链，形成核心知识间的结构关系，揭示解决问题的规律和方法，领悟数学思想方法，积累数学活动经验，从而提升数学思维品质.

本文开展“矩形折叠”生长型专题复习，找准了生长源，形成了生长链，不仅促进了学生“四基”的落实和发展，还培育了他们的核心素养. 学生在微课制作中体验制作过程并多渠道分享学习，属于个性化学习的“做中学”，这对提高他们的数学学科知识、动手实践能力、信息技术应用能力、组织策划能力等大有裨益，能助力他们核心素养更好地落地生根.