数学史融入数学教学的若干思考

摘要：数学史之于数学教学的价值由数学史的具体内容决定，如数学思想发展史促进认识数学学科的发展规律，数学重大发现、发明的历史背景形成教学的问题情境，数学问题研究的历史过程促进体验数学家的思维方法，有趣的历史故事激发数学学习的内在动力等。数学史融入数学教学要重视对数学史进行认知分析、文化分析并结合学生的认知水平，也要重视数学史上的“情节”以及典型困难、失败与错误，还要形成体系。数学史融入数学教学的基本策略包括先行组织、情境借用、故事再现、寓古于今等。

关键词：数学史；数学教学；HPM

将数学史的相关材料自然地融入数学教学过程，是值得重视的课题。说其值得重视，一是其确实在促进学生深刻理解数学本质，提升数学教学效果方面，有着非常重要的意义；二是这个课题尽管研究时间并不晚，但更多的是相关研究者在做研究，研究成果的应用并不广泛，对实际教学的影响并不突出，确实存在较多的难点需要突破。本文是笔者对数学史融入数学教学的若干思考。

一、数学史融入数学教学的价值

不少学者对数学史融入数学教学的价值（功能、作用）有过研究，并取得了很多成果。比如，汪晓勤教授从对教师、学生的作用两个方面做了较为系统的阐述。［1-2］笔者认为，这方面的研究需要更加深入，因为它能够决定数学史融入数学教学实践路径的选择与拓展。数学史之于数学教学的价值由数学史的具体内容决定，因此，从数学史内容的类别方面展开研究是一条可行的思路。

（一）数学思想发展史促进认识数学学科的发展规律

数学思想发展史是数学学科发展的主线，体现了数学科学发展的脉络。重要数学思想的发展脉络理应成为数学教学的重要内容。因为知道了数学思想的前世今生，就能够从整体上认识数学发展的规律，较为深刻地理解数学知识的本质。比如，从小学到高中，学生在初等代数的学习过程中，经历了“数”从正整数到复数的完整建构过程。因此，在学习的过程中将历史的过程有机再现，可以使学生对“数”的发展过程中经历（蕴含）的数学观念创新、数学哲学思想衍化、数学理性精神追求等有深刻的体验。

（二）数学重大发现、发明的历史背景形成教学的问题情境

数学发现、发明的历史背景往往构成数学知识（思想）生长的推动力。数学教学如果不利用这个推动力，学生就无法真正经历知识生成的真实思维过程。正如莱布尼兹所言：“了解重大发现，特别是那些绝非偶然，经过深思熟虑而得到的重大发展的真正起源是极为有益的。”［3］教学过程中，最好的问题情境就是数学的历史背景，它是提升学生发现和提出问题能力、培养学生创新和创造能力的最好载体。而且，数学史中的背景最能体现学科融合，因为，数学的起点往往是自然、社会中的问题，这些问题本身就是综合的，如微积分之于物理学，三角函数之于天文学。

（三）数学问题研究的历史过程促进体验数学家的思维方法

具体数学概念、方法等的历史思维过程，特别是数学家研究相关问题的思维过程，数学内容形成的沿革（如不等号符号化的思维方式：从文字表示、形象化表现到至善至美的符号等）是设计问题、启发思维的良好素材。可以这样认为：数学史就是数学过程，它既能激发学生像数学家一樣思考，又能让学生在经历数学的再发现、再创造的过程中感受数学文化的力量。

（四）经典的数学问题形成完整的问题解决过程

经典的数学问题（如斐波那契数列问题、哥尼斯堡七桥问题、三等分角问题等）可以形成完整的问题解决过程（包括很多数学知识的发现与应用过程，且不“掐头去尾烧中断”）。其中蕴含数学家的思想方法，或创立新的数学分支，或创造新的数学方法，或揭示数学的本质。这些都是那些人为编制的各种训练题所无法比拟的。将它们作为一个分支教学的背景性问题（初始问题）、一章内容的序言、学习过程中的启发性材料以及拓展阅读资料，都能对学生的学习起到很好的引导作用。

（五）有趣的历史故事激发数学学习的内在动力

历史故事（典故），包括重要数学发现的趣味性故事、传说以及著名数学家的成长经历、所获成就等，都是激发学生对数学学科的学习兴趣的重要素材。比如，笛卡儿创立解析几何的梦境、希帕索斯发现无理数而被投入大海的故事、希尔伯特旅馆、集合悖论等，既可以激发学生对数学的好奇心，又能使学生为数学家追求真理、坚韧不拔的精神所感动，还能促进学生对数学的深刻理解。历史故事具有较强的叙事性、情节性，能够吸引学生，教学效果好。

特别值得一提的是，数学文献，尤其是伟大数学家的原著，往往渗透了他们深邃的思想，体现出他们对客观世界的深刻认识以及用数学语言刻画自然和社会现象、规律的能力。向大师学习是培养具有数学天赋的学生的一条捷径。

（六）数学文化史使理性精神与人文素养齐头并进

数学是人类文化的组成部分，数学史与数学文化、数学史与人类文化有密切的联系。通过数学史可以让学生明白数学是什么，数学是怎样产生的，数学可以干什么，数学为什么要证明，数学家是如何学习、研究的，数学家又是怎么走向数学学习、研究之路的（怎样爱上数学的）。还可以由数学史连接初等数学与高等数学，从中管窥高等数学思想。当然，深层次认识数学史还有助于学生认识论与历史观的形成与发展。

二、数学史融入数学教学的难点

尽管很多教师都有在数学教学中融入数学史的意识，但是由于设计与实施时存在不少现实性的困难，导致这项工作难以常态化开展。

（一）缺少与数学教学内容相关的数学史料

一线教师熟悉的主要是祖冲之求圆周率、赵爽弦图、杨辉三角、高斯算法、国际象棋上放麦粒等一些数学典故，另外在一些书籍（如汪晓勤教授的一些著作）、杂志上的文章中可以见到一些零散的数学史素材。但总的来说，与中小学数学教学内容相关的数学史料还是非常少的，更谈不上系统性。教师没有数学史料就如同厨师没有食材，技艺再好也做不出好的食物。

由于本来就缺少或在历史过程中遗失等原因，数学史料中很少有发现过程的记载，绝大多数是结论和证明，有些连证明都没有。比如，中国古代的很多重要数学成果还需要现代数学家根据古代数学传统，猜测可能的推导或证明思路——吴文俊教授就做了不少这方面的工作。只有极少数现代数学家曾经对自己的数学发现过程进行回溯，如庞加莱、哈密尔顿等。法国数学家雅克·阿达玛在其著作《数学领域中的发明心理学》中介绍了几个著名数学家回忆其数学发现（发明）的心理过程，但基本都不是中小学数学教学内容。

（二）缺少将数学史料从学术形态转化为教育形态的有效方法

数学史在数学教学中的应用研究还在初级阶段，在理论体系和实施策略两个方面都不成熟。多数情况下，数学史在数学教学中的应用就是故事叙述。

有数学家思维过程的史料在数学教学中的使用相对比较容易，大多数情况下可以直接使用。比如，牛顿对指数幂运算ax进行推广的思维过程［4］，邦别利在一元三次方程求根公式的基础上，由方程x3=15x+4的公式解法得到的根的形式，“迫使”他承认“负数可以开平方”这个从直观上很难为人们所接受的观点的一系列思维过程［5］，都可以移植到课堂上。

但是，大多数数学结论缺少发现过程的历史记载。比如勾股定理，无论是中国古代的商高定理，还是古希腊的毕达哥拉斯定理，都只有结论，最多还有证明方法——有数百种之多。可是，“勾股定理是怎么发现的？”这个问题还是难以回答。有初中数学教材介绍，毕达哥拉斯观察地砖发现，等腰直角三角形直角边上的正方形和斜边上的正方形的面积关系（如下页图1所示），进而发现一般直角三角形三边的长度关系。从引导学生发现勾股定理的角度看，这当然无可厚非。但是，这个故事的可信度并不高，因为没有充分的史实来证明这一点。中外数学史家都没有找到毕达哥拉斯如何发现勾股定理的相关证据，只有一些猜测：毕达哥拉斯学派曾经研究过铺地砖的问题，因此，他们有可能受此启发而发现勾股定理。事实上，已经考证的史实是，公元前1700多年的汉谟拉比时代的巴比伦人就发现了勾股定理，并且毕达哥拉斯去过巴比伦。［6］梁宗巨先生认为：毕达哥拉斯很可能是从巴比伦人那里学来的，但从他们欣喜若狂的情况看，也不排除重新发现的可能性，或者是因为找到了证明的方法而兴奋。

当然，有数学家思维过程的史料有时也不一定能够直接用于数学教学。数学史料需要选择、组合、改造，让其更契合学生、贴合教学，有真问题、做真研究、传真文化。这确实是个难点。

（三）历史性与时代性难以有机整合

历史时期不同，社会文化差异，如何在现代文化背景下合理、恰当地将数学史料用于数学教学，让学生置身于历史文化背景下，重温数学家们的思维过程？这是不容易的。现在学生接触的信息非常丰富，对不少内容在学习之前已有一定的了解（这就是文化背景对教学的影响）。众多的科普读物让学生已经知道了一些数学结论，网络上很多真假难辨的数学故事可能让学生对数学产生误解，如三角形内角和定理、等差数列求和公式及与其有关的高斯的故事等。这些都给数学教学过程的设计带来困扰。此外，古代有价值的问题可能现在并无困难。比如，用不可达两点的测距问题引入正弦定理和余弦定理的古代背景，因为红外测距仪的出现而并不形成有价值的问题情境。再如三等分角问题，现在的学生很难理解其必要性。

还有，一些古代学派的哲学思想强烈影响着当时学者的数学观，而这些哲学思想却很难为现在的学生所理解。比如，毕达哥拉斯学派的“形数”是直观地研究数列前若干项和的载体，在学习等差数列前n项和及高阶等差数列问题时都很有启发意义，但对当代的学生来说，很难说清楚“怎么想到研究这个东西的”。而且，古人的数学观本身也有一些时代局限性。比如，古希腊人擅长用几何方法研究数学问题，包括代数问题。他们研究正数的算术平均数与几何平均数之间的关系之类的问题时，都是通过构造几何图形（如在半圆内构造直角三角形、拼接矩形等）说明的。［7］而有了实数理论之后，从代数式的恒等变形更容易得到相关结论。

（四）数学史上真实探究的长期性与数学教学追求的短期效益有冲突

在数学教学中运用数学史，通常要让学生体验当初数学家所经历的真实的探究过程，进行真实的数学探究（从而完成数学建构），这就需要有足够的教学时间做保证。这对急于进行解题训练以满足应试需要的师生而言，是不怎么愿意的。因此，有些教学过程即使运用了数学史料，也没有让数学史中的“情节”真正上演，而是将数学的结果用历史的形式呈现，于是，数学课变成了历史课，而且是只进行史实呈现的历史课。

（五）现行教材固化了教师教学设计的思维

现行教材很少基于当初数学家的研究过程进行教学设计，即使运用了数学史，也大多以阅读材料的方式呈现史料，并且“传说”多于史实（据多个中外数学史家考证，就连高斯求前100个正整数和的故事的真实性，都不能得到证实）。教材对教学的示范作用是显著的，尤其是现行教材，相对于过往的教材，内容更加具体，过程更加详细，几乎可以为教师教学直接使用。教材没有在合理运用数学史方面作出应有的示范，也就难怪教师很少主动从数学史的角度思考教学过程的设计。

三、数学史融入数学教学应注意的问题

数学史料从学术形态到教育形态，不仅要强调故事性，更要重视历史背景、历史过程、思想方法、思维策略，体现、彰显数学家的数学思想、数学精神，让学生感受理性精神在数学创造中的巨大力量以及数学科学在促进人类文化发展中的巨大作用。

（一）重视对数学史进行认知分析

将数学史融入数学教学，仅知道与教学内容相关的数学史是远远不够的，对数学史的认知分析很重要。因为数学史中的很多内容缺少完整的问题研究过程，能考证的细节非常欠缺，所以，數学家当初的认知思维需要通过合理的分析得到再现。此外，我们的学生与数学家毕竟存在多方面的差异，即使知道数学家研究的具体过程，也不一定适合现在的学生，也需要在对数学家的认知分析与对学生的认知分析的基础上进行合理的设计。数学史认知分析的重要方法就是读原著，因为其中蕴含了创造者的思想、思维。比如，教学“复数”，可以读一下卡尔达诺的《大术》的第26章第2节《关于二次方程的虚数根》［8］和邦别利的《代数学》的第27章第1节《论虚数》［9］，再读一读纳欣的《虚数的故事》中的相关内容［10］，从而设计出得到学生认同的虚数概念导入过程。

（二）重视对数学史进行文化分析

数学是文化的产物，常常受到当时环境和时代背景的影响。更多地了解这些方面的知识，有助于我们理解数学是如何与其他人类活动相适应的。比如，数概念的扩展过程与人类的社会生活密切相关（如自然数、分数、负数等），也与哲学、艺术等科学有紧密的联系（如无理数），还为数学自身的知识生长需求所驱动（如复数、四元数等）。当然，其每一次扩展后又与其他学科（如物理）相结合，从而得到充分而深刻的应用，反过来又进一步为数的意义提供新的解释（如复数的几何意义、复数在物理学中的广泛应用等）。

（三）学生的认知水平也很重要

数学史用于数学教学要与学生的认知能力相适应，符合认知倾向，不能以历史替代学生思维过程的暴露。很多情况下，教学中选用的史料需要进行适当的裁剪、重组，以更具情境性、问题性的形式出现，与学生的思维起点、认知基础相契合，从更高的数学观点、用回溯的“追问”艺术，引导学生再发现、再创造。比如，对两角和与差的余弦公式，数学史上有很多推导方法，单是几何方法都非常多，如何找到适应学生认知水平的史料进行教学设计，需要认真推敲。特别是现代文化对学生的影响，是数学史融入数学教学必须关注的问题。对某个具体的数学内容，除了考虑当初数学家是在怎样的背景下产生研究需求的，是如何进行研究的，还要考虑这个过程、思想、知识与方法在现实社会、生活、科技领域有哪些应用。

（四）重视收集与教学内容相关的数学史“情节”

数学家工作的具体情节是值得借鉴的宝贵资源，因为其中包含了怎么想到的、遇到了什么困难、是如何克服的等非常重要的细节，而且包含着数学创造、创新的源泉以及重要的数学思想方法和思维策略，从而可以成为课堂上学生活动“剧情”的底稿，也是培养学生数学素养所必需的。比如，牛顿构造分数指数幂的思维过程对0指数幂、负指数幂、分数指数幂、实数指数幂的教学都是非常有指导意义的。有了数学史的滋润，学生就不会为“0个a相乘、-1个a相乘究竟是什么意义？”而纠结，反而会对数学符号的价值、数学本质的统一性有深刻的认识。

（五）数学史上的典型困难、失败与错误也很重要

不仅数学史上成功的研究可以为数学教学提供有益的启示，困难、失败与错误也是重要的教学资源，它们是体现数学思维过程完整性的必要补充，而且蕴含着丰富的数学思维训练价值。了解一个概念的曲折历史往往可以引导我们对相关的问题有深刻的理解。比如，在关于负数的基本概念形成后很长一段时间里，数学家们发现它们仍然很难处理，问题不在于如何利用这些数字来运算的规则，而在于这一概念本身，包括如何以有意义的方式解释这些规则。欧拉就曾认为函数f（x）=xa2+x2与g（x）=a2x2+x4是同一个函数，于是对函数奇偶性的性质“一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数”产生了怀疑，并试图对其加以进一步的限定。［11］理解这一点，有助于我们同情学生可能遇到的困难并产生共鸣。而了解这些困难在历史上是如何解决的，也可以帮助学生找到克服困难的方法。再如，概率论研究初期，数学家们对古典概型的研究就存在较多的错误认识，并逐步经历了从错误到有正确的思路但结论仍然错误，再到建立严谨的古典概型的过程。这个过程正是学生有可能经历的认识过程。

（六）数学史融入数学教学要形成体系

数学史融入数学教学要纳入整体设计，不是零散、孤立、点缀式的，而要具有立体、联系和深刻性的特征，最好能完整地体现。数学史中，每一个具体的数学分支、具体的数学内容，其形成与获得不是一蹴而就的，往往经历了相当长的发展、演化过程。在这个过程中，也不是一个内容（知识点）本身在完善、严谨，而是整个数学体系、结构在完善、成型，只有体系自恰、严密，其部分才能准确、严谨。这是数学史融入数学教学要形成体系的根本原因。比如，教学“函数的性质”时，要考虑当初数学家研究的分别是哪些性质，为什么研究这些性质，是以怎样的函数来进行研究的。

四、数学史融入数学教学的基本策略

汪晓勤教授总结出数学史融入数学教学的四种方式（附加式、复制式、顺应式和重构式），并且形成了较多的实践案例。［12-13］国外也有很多学者提出了他们的方式。比如，Tzanakis和Arcavi总结了数学史在数学教学中的三种运用方式：提供直接的历史信息、借鉴历史进行教学（发生教学法）、开发对数学及其社会文化背景的深刻认识。笔者这里想要提出的是将数学史融入数学课堂教学的自然过程中，让数学史在发现与提出问题、分析与解决问题的完整过程中发挥重要作用的一些策略。

（一）先行组织：用数学思想史统摄章节、课时学习的内容和过程

在一章、一節或一课时的起始部分，将本章、本节或本课时内容的核心思想通过数学史呈现出来，用以统整一个阶段的教学内容，将相应阶段的教学都置于核心数学思想的引领下。

比如，在解析几何这个数学分支的起始课，介绍笛卡儿、费马创立解析几何的初衷及过程，揭示解析几何的核心思想：用代数方法研究几何问题［所有问题都可以转化为数学问题，数学（几何）问题都可以利用方程表示，研究方程就可以知道问题的性质，从而解决所有的问题］，其关键在于两个步骤，即将几何图形用方程表示和运用方程研究几何图形的性质。有了这个核心思想，直线、圆、圆锥曲线等都有了一致的研究方法和过程。［14］

（二）情境借用：引导学生重温知识产生的历史过程

数学知识是数学研究的产物，是将原始背景和曲折过程过滤、剔除后“纯净”的剩留物，而对教学更有价值的可能正是这些被过滤、剔除掉的过程性事物。因为，这些东西才能激发研究的兴趣，体现研究的过程。

比如函数奇偶性的概念。为什么叫奇函数？为什么叫偶函数？教材上没有说，只说了满足什么样条件的函数叫奇函数或偶函数。严谨的教学应该让学生知道这个“为什么”。历史上首次提出奇函数、偶函数概念的是欧拉。由于早期的函数局限于幂函数以及由其复合得到的函数，因此最早的关于奇函数、偶函数的讨论都是针对幂函数以及相关复合函数而言的。欧拉提出“奇函数”“偶函数”之名显然源于幂函数的指数或指数的分子的奇偶性：整数指数或分数指数（分母为大于1的奇数）的分子为偶数的幂函数为偶函数，整数指数或分数指数（分母为大于1的奇数）的分子为奇数的幂函数为奇函数。［15］

基于上述历史过程，函数奇偶性的教学应该从特殊的幂函数入手，即从y=x、y=x2、y=x3、y=x-1等学生熟悉的幂函数（按教材顺序，这时学生还没有学习幂函数，但对这些特殊的幂函数有所了解）开始，考察其图像的特征（暂时不能动手画出的，可以用相关软件，如“几何画板”画出），探索函数满足怎样的条件时才能具有这样的特征，并研究具有这样的特征时函数解析式的结构特点，从而使概念中的“奇”“偶”形态呈现出来，让学生自己都能作出这样的命名。

（三）故事再现：使学生了解知识生成的合理性

教学中，需要使学生了解知识生成的合理性。在感性的、现实的素材很难为学生理解、接受时，要由数学本身的内在矛盾，通过理性精神的追求来消除困惑，了解合理性。但是，就学生的数学观念系统、数学认知水平而言，有些数学内容还难以理解和认同。这时，可以直接提供历史故事，形成认知冲突，进而了解合理性。

比如，在复数教学中，为了说明负数开平方的必要性（合理性），可以直接介绍意大利数学家邦别利用卡尔达诺公式求解三次方程x3=15x+4时，得到方程的三个根分别为-2+3，-2-3和32+-121+32--121，同时他通过观察发现（现在利用信息技术作图很容易看出）4是这个方程的解，所以他认为32+-121+32--121=4……

如前所述，对于发现、提出问题有较大难度的课题，也可以直接用故事的形式呈现史实，给出结论，再引导学生从结论出发进行回溯，探索当初数学家是怎么想到的。

（四）寓古于今：让历史性与时代性有机结合

一是用今天的数学知识结构和历史的数学思想方法组织教学，从而克服历史原型中的认知困难。比如，对数概念的产生以及对数表的构造，不管是部分数学史家认为的受三角函数积化和差的启发，还是另一些数学史家认为的由阿基米德的等比数列与等差数列的关系想到将积、商转化为和、差的思路［16-17］，都难以为中学生所理解。所以，现在通常的做法都是基于欧拉发现指数与对数的关系引进对数的概念（在纳皮尔时代，这样的关系并没有被发现。或者说，创造对数时，还没有研究指数函数）。笔者认为，这样的做法是恰当的。不过，仅将“逆运算”作为引进对数的起因，并不符合数学的历史过程，也削弱了引入对数的强大历史动因，更反映不出对数在数学史上的地位和作用。因此，建议将转化或降低运算级以提高运算效率作为提出课题的重要背景和目标郑重地提出来，再结合指数幂中的指数将“比”化为“差”的功能，提出逆运算（由幂求指数）的目标要求。

二是用今天的情境背景呈现问题，以历史的数学思想分析问题，或将历史上的问题与今天的问题同时呈现，让学生明晰它们本质上的一致性，再展开探索与建构。这样，可将古今有机融合，使学生更容易理解问题，快捷地进入数学探究的过程。比如，目前的教材都是通过几个例子（解析式、表格、图像）引入，让学生归纳它们的共同特征，从而建构函数的概念。这样的方式，既没有体现建立函数概念的必要性，又过于抽象——从怎样的角度发现“共同特征”对学生而言是很有难度的。要引入函数的概念，就要让学生感受变量之间的依赖关系，从而体会引进新概念的必要性。为此，可先提出问题：考古工作人员发现了一口很深的古井，从井口扔下石块可以听到其接触井底的声音，如何根据石块降落的时间确定古井的深度呢？然后引导：伟大的科学家伽利略为研究物体下落的运动规律，设计过让球沿一个平缓的斜面滚落的实验。我们借助现代技术手段重温一下伽利略的实验：用定时摄像机和电子感应器记录1秒、2秒、3秒……时物体的位移，从而建立位移与时间的关系s=4.9t2。为什么由这个关系式能够根据时间确定古井的深度呢？分析：每个确定的t都对应唯一确定的s……［18］

参考文献：

［1］［5］［12］［17］汪晓勤，沈中宇.数学史与高中数学教学——理论、实践与案例［M］.上海：华东师范大学出版社，2020：6-7，21，13，45.

［2］［13］汪晓勤，栗晓妮.数学史与初中数学教学——理论、实践与案例［M］.上海：華东师范大学出版社，2019：6-7，15.

［3］［8］［9］李文林.数学珍宝——历史文献精选［M］.北京：科学出版社，1998：序言i，214，221.

［4］［7］［11］［15］汪晓勤.HPM：数学史与数学教育［M］.北京：科学出版社，2017：438，210-211，135，133.

［6］霍华德·伊夫斯.数学史概论（第六版）［M］.欧阳绛，译.大连：大连理工大学出版社，2009：80.

［10］保罗·J.纳欣.虚数的故事［M］.朱惠霖，译.上海：上海教育出版社，2008：13-16.

［14］汪晓勤，韩祥临.中学数学中的数学史［M］.北京：科学出版社，2002：162-168.

［16］伊恩·斯图尔特.数学的故事［M］.汪晓勤，译.上海：上海辞书出版社，2013：90-91.

［18］GeorgeJohnson.历史上最美的10个实验［M］.王悦，译.北京：人民邮电出版社，2010：4-9.

（石志群，江苏省泰州市教研室，特级教师，正高级教师。全国优秀教师，江苏省有突出贡献的中青年专家。曾获江苏省红杉树园丁奖。苏教版高中数学教材副主编、分册主编、核心编委。在省级以上刊物发表论文200多篇，其中核心期刊50多篇，被人大复印报刊资料《高中数学教与学》全文转载35篇。）