解题教学要引导学生“寻找好的方法”

2023-08-22 05:47蔡维
数学教学通讯·初中版 2023年7期
关键词:解题教学

蔡维

[摘  要] 解题教学在当前数学课堂中占了相当大的比例,如何组织好解题教学,提升解题教学的效率是值得一线教师深入研讨的课题. 对于基础题的解题教学,教师可以在解题过程的规范与简化上引导学生进行对比学习;对于较难题的解题教学,教师要在审题和思路分析上进行研究,一般来说可先给出直观分析,然后给出“以数驭形”的抽象方法,让学生在解法对比中学会“寻找好的方法”.

[关键词] 解题教学;图形直观;以数驭形

在最近一次的阶段复习检测中,笔者所在学校的数学备课组选用了一道2022年河北省中考数学卷的一次函数综合题,从批阅情况来看,该题的答题得分率不高. 对于该题的解答,笔者访谈了一些学生,部分学生给出的做错原因是“没看懂题意”“感觉要分很多种情况进行讨论,时间来不及就放弃了”. 为此,笔者对这道习题进行深入分析,并围绕该题进行了解题教学的“微设计”,现整理成文,供各位读者研讨.

函数综合题的教学微设计

习题 (2022年河北中考,有删减)如图1所示,在平面直角坐标系中,线段AB的端点为A(-8,19),B(6,5). 某同学设计了一个动画:在函数y=mx+n(m≠0,y≥0)中,分别输入m和n的值,使得到射线CD,其中C(c,0). 当c=2时,会从C处弹出一个光点P,并沿CD飞行;当c≠2时,只发出射线而无光点弹出. 当有光点P弹出,并击中线段AB上的整点(横、纵坐标都是整数)时,线段AB就会发光. 求此时整数m的个数.

1. 教学环节一:理解题意

解题前,教师可以先预设以下“问题”,引導学生学会审题,充分理解题意.

问题1:线段AB对应的函数解析式是什么?(线段AB的函数解析式为y=-x+11,其中自变量x的取值范围为-8≤x≤6)

问题2:线段AB上有多少个整点?(15个)

问题3:当有光点弹出时,m,n之间有怎样的数量关系?(2m+n=0)

教学组织:对于这些问题,教师可在PPT上渐次呈现,然后组织学生讨论、交流,确认解答完毕之后再研究下一个问题,目的是让学生充分理解题意.

2. 教学环节二:直观感知

问题5:是否需要将线段AB上的15个整点逐一代入射线y=mx-2m进行验证?能否借助图形想到更快一点的方法?

预设:如图2、图3所示,设点G在线段AB上,过点G作GH⊥x轴,垂足为H.

教学组织:在教学过程中,图2、图3不宜直接呈现. 对于图2,教师可以先进行必要的启发引导,等学生理解之后,安排学生自主分析出图3,并挑选学生上台结合图形进行演示与讲解.

3. 教学环节三:以数驭形

问题6:上面的解法结合图形直观分析,逐个验算最终确定了5个符合要求的整数m. 那如果不借助图形,能否直接求解呢?

教学组织:在教学进程中,学生有可能会“丢三落四”,此时教师不宜“即时干预”,可以在学生完成整个答题过程之后,再组织学生进行辨析、纠错、完善.

4. 教学环节四:解后回顾

小结问题1:这道题的关键步骤有哪些?你是如何理解的?可结合解题步骤具体说说.

小结问题3:若整数t和整数m满足tm-2m=-t+11,分析整数m的值有哪些.

教学组织:“小结问题1”是开放式问题,目的是引导学生解题后回顾并提炼关键步骤;“小结问题2”和“小结问题3”则是将原问题的关键步骤提取出来,让学生再次巩固练习,进一步看清这道综合题的解题关键.

解题教学要引导学生“寻找好的方法”

单墫先生提倡要“努力寻找好的解法”[1],并指出:“一道问题可能有多种解法,有的解法很优雅,很好,值得学习,值得提倡;有的解法丑陋,不好,应当改进,不值得提倡.”下面笔者结合解题教学的一些实践谈谈体会.

1. 实施解题教学之前教师需要深度研题

实施解题教学之前教师深度研题,是一种服务于教学的解题研究.具体来说,教师的深度研究,肯定不能只满足于答案的获取、思路的贯通,还应从不同角度思考不同的解法,并在一题多解的基础上进行解法对比与解法优化,找到“简明好懂”的解法,并将“丑陋解法”“大量思维回路”的解法作为“待优化的解法素材”收集起来,以便解题教学时和学生一起对比分析.特别地,对于有些经过改编、“包装”的习题,教师要善于“简化”或“去情境化”,将其转化为学生熟悉的“基本问题”(如上面的“小结问题2”和“小结问题3”). 此外,教师进行深度解题,还应包括一题多变、多题归一、同类链接等,比如围绕某个基本图形进行深入探究——把与之相关的典型问题链接、集中在一起,作为解题教学的备用素材.

2. 实施解题教学时,教师要让学生在比较中学习

实施解题教学时,教师要根据习题的难易程度进行不同的教学预设. 如果是比较基础的例题、习题教学,教师教学时要侧重于巩固、训练新知识. 对于此类题,学生在思路获取上不会有太多的障碍,所以教师教学时可引导学生对比不同的解题语句与过程表达,训练学生更严谨、规范、简捷的解题过程. 如果是比较复杂的习题教学,教师教学时要突出审题教学、“思路是如何发生、发展的”,接着引导学生从不同的角度贯通解题思路,并对比不同的解法,让学生在解法比较中提升能力并成长. 特别地,教师要优先考虑直观图形的分析策略,比如函数类问题,教师可以让学生在构图分析中加深对问题的直观理解,在此基础上结合数学概念、公式进行推理或运算,采用“以数驭形”的解题过程来简化过程表达或语句组织. 实施解题教学的最后环节,还要重视解后回顾反思,教师要精心预设小结问题,引导学生学会反思、提炼关键,通过学习解一道题走向“学会解题”(涂荣豹?摇语).

3. 解题教学不宜直接“精致示范”

解题教学需要“指示正规”(傅种孙 语),但不宜一上来就是教师示范,而且是非常严谨、简捷的解法呈现,或者是神奇的辅助线直接“冒出来”,然后解释这条辅助线是多么重要、有效. 邵光华先生曾指出,教师不能“片面理解‘暴露思维过程”,即“教师从正确思路出发沿正确途径去解题,中间显现不出如思维的定向、选择这种重要的思维关键,这样不利于培养学生独立思维的能力”.[2]以上文习题为例,我们先组织学生讨论繁杂的数形结合方法,这种方法需要对15个整点进行逐个分析、计算. 这种“拙”的方法或思路显然不是最优(最简)的,但是符合不少学生的认知规律,于是教师就从这种看上去笨一点的思路出发,先组织学生对这种方法进行简化,结合直线斜率为整数可“看出”(或心算出)答案,然后给出“以数驭形”的“盲解”(不借助图形). 学生经历这个“曲折”的解题过程之后,往往能感悟出“思维的定向与选择”是解题关键. 想来,史宁中教授曾说的“希望教师的讲课要‘拙一点”,大概表达的就是这个意思吧.

参考文献:

[1]单墫. 单墫数学与教育文选[M]. 上海:华东师范大学出版社,2021.

[2]邵光华. 论数学解题教学的误区及教学策略[J]. 课程·教材·教法,1999(05):23-25.

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