数学知识的关系与作用分析

钟志华　周美玲

摘 要：分析教材中数学知识的关系与作用是教学设计的起始环节。数学知识之间的关系包括上下位关系、并列关系、先后关系、演绎关系、特殊与一般关系、系统与要素关系等；数学知识的作用包括示范作用、奠基作用、工具作用、桥梁作用、铺垫作用、组织作用等。分析数学知识的关系与作用，可以充分揭示知识的来龙去脉，促进新课标理念的有效落实，为教学设计的其他环节（如学情分析、教学目标分析、教学重难点分析、教学方法设计等）提供重要依据，促进教学活动的有序进行；需要牢固树立联系的观点，深入研读数学课标，仔细阅读数学教材，进而具体分析知识之间的内在联系以及知识的组织方式。

关键词：数学教材；知识关系；知识作用；教学设计；联系观点

分析教材（可以理解为广义的教学材料）中数学知识（教学内容）的关系（地位）与作用（价值）——目前学界习惯上将其简称为“教材地位与作用分析”，是教学设计的起始环节。这里强调“教材”，是为了给分析数学知识的关系与作用约定一个范围，毕竟数学是一门博大精深的学问，从教学角度看，更多地是在课程（以教材为载体）的范围内讨论问题；分析知识之间的关系，可以确定某知识在知识体系中所处的地位（“地理位置”），不需要做价值判断；分析知识的作用，主要是考察该知识对其他内容的影响，需要做价值判断。当然，关系分析与作用分析不可能截然分开，因为有联系的事物之间总会或多或少地产生影响。

分析教材中数学知识的关系与作用通常包括以下内容：前面安排了哪些知识与技能作为认知基础？本节课包含了哪些内容？它们与前面的内容有何关系？是对前面内容的拓展、总结还是应用？它们与后续内容存在怎样的关系？后面还有怎样的发展？后续内容是在它们基础上的拓展、深化还是提升？它们的学习需要学生掌握哪些知识、技能或研究方法？将会发展学生哪些方面的能力或核心素养？对学生的进一步学习、将来就业乃至终身发展有何重要意义？等等。

一、 数学知识的关系与作用有几类

（一） 数学知识关系的类型

奥苏伯尔认为，概念之间具有上下位关系、并列关系。其实，数学知识之间的关系还可以根據性质的不同做进一步细分。从已有的教学经验来看，比较常见的类型有：

（1） 上下位关系。是指知识之间存在隶属关系，一般适用于概念之间关系的分析。比如，四边形与平行四边形、矩形、菱形、正方形等概念之间就是上下位关系，函数与一次函数、指数函数等具体函数之间也是上下位关系。

（2） 并列关系。是指两个知识相对于其上位知识而言具有同等地位，如三角形与四边形、等差数列与等比数列、指数函数与对数函数等。

（3） 先后关系。是指知识在教材中呈现的先后顺序。有些知识之间有固定的先后顺序，学习后面的知识要用到前面学过的知识，否则无法进行。比如加法与乘法，必须先讲加法，后讲乘法。再如三角形的边、高、中线、中位线等概念，必须先有三角形的概念，才能加以定义。有些知识之间虽然也有先后顺序，但是谁先谁后其实没有太大关系，只是因为这些知识放在一起总得有一个先后顺序。比如，正弦定理和余弦定理谁先谁后，对教学没有太大影响。再如，“两组对边分别平行”与“两组对边分别相等”谁作定义、谁作性质，都不妨碍平行四边形的学习，以“平行”作定义可能只是更加“名正言顺”而已。

（4） 演绎关系。又称蕴含关系或因果关系，一般是指命题之间的关系，即由一个命题推出另一个命题的关系。比如，“两直线平行”与“同位角相等”之间存在蕴含关系。再如，“三角形全等”与“对应边相等”之间也存在蕴含关系。

（5） 特殊与一般关系。是指两个知识（通常是命题）之间前者可以看作后者特例的关系，如勾股定理与余弦定理、三角形内角和定理与多边形内角和定理等。

（6） 系统与要素关系。是指一个事物与构成这个事物的要素之间的关系，如三角形与三角形的边或角、方程与方程的解等。

此外，数学知识之间的关系还有很多，如等价关系、交叉关系、对立关系、平行关系、相等关系、具体与抽象的关系等。限于篇幅，不再一一列举。

总的来说，数学知识之间的关系错综复杂，要想完全揭示非常困难。因此，知识关系分析实际上是教学内容分析乃至数学教学设计的重中之重。

（二） 数学知识作用的类型

数学知识的作用有很多，比较常见的有：

（1） 示范作用。如指数函数对后续其他函数的学习、三角形对四边形及多边形的学习、全等三角形对相似三角形的学习、一元一次方程对一元一次不等式的学习，等等。

（2） 奠基作用。如加法对乘法的学习、乘法对乘方的学习、有理数对整式的学习、一元一次方程对高次方程或方程组的学习，等等。

（3） 工具作用。如代数式对方程、不等式以及函数的学习，函数的三要素、单调性、奇偶性、周期性等对具体函数的学习，等式（不等式）的性质对解方程（解不等式）的学习，等等。

（4） 桥梁作用。比如，绝对值是将与负数有关的加减乘除运算转化为非负数的加减乘除运算的桥梁，直角坐标系是代数问题与几何问题相互转化的桥梁。

（5） 铺垫作用。是指特意增加的知识（奥苏伯尔称其为“先行组织者”）对新知识的学习所起到的作用。比如，同类项是为学习整式的加减运算做铺垫的，同类根式是为学习根式的加减运算做铺垫的，同次根式是为学习根式的乘除运算做铺垫的，因式分解是为学习分式的加减运算与乘除运算做铺垫的，平行线分线段成比例这一基本事实是为学习三角形相似做铺垫的。虽然这些知识本身不是教学的重点，但是这些知识掌握的好坏会对后续知识的学习产生直接的影响。因此，对这些知识的学习，也应给予足够的重视。

（6） 组织作用。比如，初中数与代数领域的数、代数式、方程、不等式、函数等知识都可以用函数的观点统一在一起。这里，函数起到了知识组织的作用。

二、 分析数学知识的关系与作用有何意义

（一） 充分揭示知识的来龙去脉

传说古希腊诗人西蒙尼德斯在一次宴会上朗读了一首抒情诗，随后被他在诗中赞美的两位神灵卡斯托尔和波拉克斯叫出宴会大厅。就在他走出宴会大厅后，屋顶倒塌，里面的人无一生还，尸体血肉模糊，甚至连亲属也无法辨认。但西蒙尼德斯却根据各人在大厅里曾经就坐的位置辨认出了每一具尸体。西蒙尼德斯之所以能做到这一点，是因为他采用了一种在古代演讲中广泛使用的技术——地点法。故事也许纯属虚构，但现代认知心理学已经证明，把要记忆的对象安排在某种有序的位置十分重要，这种记忆术对于回忆一系列有序安排的事项确有帮助。［1］

其实，学习也是如此：就好比将知识放在大脑这个“图书馆”里，如果每个知识在头脑中都有确定的位置，都被放置得井井有条，那么，知识不仅不容易被遗忘，而且很容易被提取。而分析知识的关系与作用就是要查明所学知识到底与哪些知识有关系、有什么关系，从而将所学知识与学习者头脑中已有的知识建立联系。这样，不仅有利于学习者准确把握知识的来龙去脉，而且有利于将新知识顺利纳入原有的认知结构，进而促进知识的理解和记忆。

（二） 促进新课标理念的有效落实

新课程改革以来，各版义务教育和普通高中数学课程标准都强调知识的普遍联系以及把握知识关系的重要性。学生不应该就事论事地学习数学，不应该孤立地学习数学，不应该局限地学习数学，应该在普遍联系中学习数学，应该在数学学习中深刻体会数学知识之间、数学与其他学科之间以及数学与生活之间的联系。美国的数学课程标准也非常重视“联系”，认为帮助学生了解和掌握知识之间的联系十分重要，是数学教学中必须强调的一项重大任务。有了这种了解和掌握，学生就能领会数学是一个有机的整体，而不是一堆孤立、凌乱的东西；对事物的考察就能从多方面进行，思维就会更加活跃，解决问题的手法就会更加灵活多样，数学能力就能得到提高。［2］可见，联系的观点是国内外数学课标倡导的核心理念。

众所周知，教材是课标意志的体现。分析教材中数学知识的关系与作用直接体现了教师对课标理念的理解程度，也决定了教师能否将课标理念真正落实到日常教学中，也就在一定程度上影响了课改的走向。因此，运用联系的观点分析知识的关系与作用，不仅充分体现了新课标的内在要求，而且可以促进新课标理念的有效落实。

（三） 为教学设计的其他环节提供重要依据

作为教学设计的起點，准确分析知识的关系与作用，不仅可以更加全面、深刻地认识数学知识的内在结构，更加清楚地了解知识的来龙去脉，而且可以为其后的学情分析、教学目标分析和教学重难点分析等环节提供依据。比如，分析教学目标时，教师不仅需要根据学习者的已有知识确定其“最近发展区”——教学目标，而且需要根据所确定的教学目标分析各使能目标（从原有知识基础到达教学目标需要到达的次级目标），最终找到恰当的认知起点，同时需要在此基础上编制一张达成教学目标的“教学过程图”。所有这些，都离不开对知识关系与作用的精准分析。

（四） 促进教学活动的有序进行

众所周知，教材的知识序决定教学的逻辑序，而教学的逻辑序又进一步决定学生的认知序。因此，深入分析知识的关系与作用，可以根据知识发生发展的来龙去脉，构建恰当的教学路线，选择合适的教学方法甚至评价方法等，从而为教学设计及教学实施提供更有针对性的指导。数学教学要注重知识之间的逻辑联系，即不仅要注重知识的“生长点”，而且要注重知识的“延伸点”，才能使学生把局部的数学知识置于整体的知识体系中，才能加强学生对数学的整体把握和宏观认识。

比如，教学人教版初中数学七年级下册《平行线》一课，如果教师充分了解“平行线”知识在《相交线与平行线》这一章乃至整个几何学中的地位与作用，就应该认识到平行线是本章乃至初中几何的教学重点，研究平行线要转化为相交线来进行，从而也会自然地认识到引入第三条直线只是为判定两条直线是否平行提供一个参照标准。这样，又会进一步认识到本节课的教学难点是如何引导学生将平行线问题转化为相交线问题来研究，从而也就自然地理解引入同位角、内错角、同旁内角完全是为研究平行线服务的，它们只是工具，研究平行线才是真正的目的。

再如，根据平行线与学生生活经验之间的关系以及同位角、内错角、同旁内角三者之间关系的性质，可以发现，教学“同位角相等，两直线平行”这一基本事实时，依据学生以往将三角板沿直尺平推来作平行线的学习经验，先尝试操作探索，再归纳发现结论，更利于学生的接受。而教学“内错角相等或同旁内角互补，两直线平行”这两个判定定理时，则宜采用将内错角或同旁内角转化为同位角的演绎推理方法进行探索。这样不仅可以在不增加学生学习难度的前提下充分提高课堂教学的效率，而且可以在充分体现教学方法灵活性与多样性的同时，最大限度地激发学生学习的主动性与积极性。

三、 怎样分析数学知识的关系与作用

（一） 牢固树立联系的观点

联系的观点不仅是哲学的基本观点，而且是研究教学问题的重要出发点。著名教育学家布鲁纳认为，教学任何学科主要应使学生掌握这一学科的基本结构［3］，而学习结构就是学习事物是怎样相互联系的［4］。著名教育学家奥苏伯尔则认为，有意义学习的本质是在新旧知识之间建立非任意的实质性的联系。［5］雷钠特·N.凯恩等人的脑科学研究进一步证实，学习的本质就在于找出所学知识与学习者已经知道的和看重的东西之间是如何相关的，以及信息和经验之间是怎样联系的。［6］分析教材中数学知识的关系与作用也自然需要运用联系的观点来指导。

数学知识的内在逻辑性决定了数学教材是充满联系的统一整体。新知识只有与已有知识真正建立联系，才能被纳入相应的知识体系中，才能被理解和应用。然而，许多数学知识之间的联系并不是一眼就能看出来的，它常常隐含在知识的深处，需要教师去挖掘、研究，并与学生一起将知识直观化、系统化、结构化。因此，在分析知识的关系与作用时，要树立“一切从联系出发”的观点，形成随处联系、随时联系的意识；要着眼于教学内容的纵横联结，注意教学内容的整体与局部、前与后、因与果等的衔接与递进，在联系中将新旧知识融为一体。即不仅要看到数学知识之间的联系，而且要看到数学知识与其他学科知识之间的联系，同时要看到数学知识与现实生活之间的联系。具体到数学知识之间的联系，则不仅要知道教材各个章节之间的联系，而且要知道数学各个分支之间的联系；不仅要知道哪些知识之间有联系，而且要知道这些知识之间有什么联系。在进行教学设计时，则不仅要分析知识的关系、作用与教学目标、教学重难点之间的联系，而且要分析知识的关系、作用与学情、教学方法、教学过程等之间的联系。这样，才能在教学设计的各个环节充分立足知识的关系与作用，才能使因“材”施教的原则真正落到实处。

（二） 深入研读数学课标

课标是规定某一学科的课程性质、目标、内容，并给出实施建议的指导性文件，是教师教学的重要依据。所谓“站得高才能看得远”，课标的研读能帮助教师站在一定的高度审视教材。比如，教材中分散在各册（各章节）的多个问题情境中蕴含的多个知识点，在课标中可能是集中在一个领域（一个主题）的几句话中表达相互关联的几个课程内容要求，或者是指向同一课程目标的“同质”教学内容。我们调查发现，大部分教师都能认识到课标对教材分析的重要性，但是对课标的认识更多来自专家对课标理念的宏观介绍，而忽视自身对课标内容的深入研读。要知道，教材是围绕课标要求编写的，研读课标是读懂教材的重要前提和基础。教师只有在深入研读和理解课标的基础上，才能深刻把握教材，才能读懂教材编排背后蕴含的道理和意图，才能在分析教材时有更清晰的方向和更明确的目标，才能基于课标的核心理念对教材作出更合理、更到位的分析。教师在分析教材中知识的关系与作用时，要深入反思：教材有没有很好地体现课标的理念？哪里体现了课标的理念？体现了哪些理念？是怎样体现这些理念的？

比如，学习“空间直角坐标系”这一知识时，有许多学生提出：“为什么学习平面直角坐标系时直接在原来的数轴上加了一条坐标轴，而学习空间直角坐标系时不直接在原来的坐标系上再添一条坐标轴？”对于这一问题，纯粹从知识的角度很难找到合适的答案，但是，如果立足课标中的数学核心素养（课程目标），那就应该知道这样放置不仅更直观（有利于学生直观想象），而且更经济（因为第一卦限平时接触比较多，必须放在容易看见的地方）。由此教学，学生不但更容易理解这样放置的合理性，避免死记硬背，而且在以后的学习过程中会根据实际问题的需要灵活地建立坐标系，从而使思维的主动性、灵活性得到充分培养。

（三） 仔细阅读数学教材

深刻理解课标要求后，教师还需要通过仔细阅读教材，获得对教材主要内容及其分布的大致把握。这是精准分析教材中知识关系与作用的前提。

阅读过程可以按照由粗到细的顺序，即：首先，对学段教材进行整体泛读，大致把握教材的整体结构，从宏观角度对学段教材的编写顺序和思路有一个整体感知，理清各册教材之间的联系；其次，重点阅读本学期讲授的分册教材，明确本学期要学习哪些章节，梳理各个章节之间的内在关联，思考其中的编排意图；再次，针对每一章的内容，梳理各节之间的内在联系，对各节需解决的主要问题有一个比较清晰的认识；最后，着眼于每一节或每一课时的内容，梳理主要的知识点。当教师对教材中有哪些节点以及节点如何分布有了比较准确的把握时，也就完成了“定位”或者说“描点”的工作。采用这样由粗到细、不断聚焦、层层深入的方式，就能获得对教材全面系统、细致深入的把握。［7］

（四） 具体分析知识之间的内在联系以及知识的组织方式

知识关系与作用的分析有很多类型，既可以对某个章节进行分析，也可以对某个单元进行分析，还可以对某一课时进行分析。本文主要探讨某一课时的知识关系与作用分析。

运用联系的观点分析某一课时的数学知识（教学内容），应该从全局的角度把握教材，立足整体思考该教学内容在教材中的“地理位置”以及这样安排的目的与意义。即不仅要分析该知识安排在哪里，而且要分析为什么要这样安排，同时要弄清楚该知识与什么知识有联系、有什么联系。具体来说，要从内、外两个方面深入分析所学知识与哪些知识（数学知识、其他学科的知识、实际生活中的知识）有联系、有什么联系。这里的知识既可以是学生已经学过的知识，也可以是学生将要学习的知识；学生已有的知识既可以是书本知识，也可以是生活经验。此外，还要进一步分析知识的组织方式或编排方式及其背后的数学思想或核心素养。

下面，以“平行线”知识为例，说明如何运用联系的观点指导知识关系与作用分析：

先从外部看，平行线是两条直线之间常见且重要的一种位置关系。平行线与之前所学的相交线，从知识的角度看，是一种并列关系；而从教学的角度看，还具有承接关系和转化关系。之所以说它们具有承接关系，是因为相交线与平行线是两条直线之间最基本的两种关系，学过相交线后必然要学习平行线，同时平行线的学习又建立在相交线学习的基础上，研究平行线要用到与相交线有关的许多知识，如对顶角、邻补角等。所謂转化关系，是指研究两条直线之间的平行关系最终要转化为这两条直线与第三条直线之间的相交关系来处理。这里，第三条直线所起的作用是为这两条直线是否平行提供一个参照标准：如果这两条直线与第三条直线的倾斜程度相同（同位角相等），就可以判断这两条直线平行。另外，平行线与很多后续知识都有密切关系，一些更复杂的图形之间的关系需要借助平行关系去研究。比如，证明三角形内角和定理要用到平行线的性质定理，很多三角形全等的证明要用到平行线知识，研究平行四边形和梯形要用到平行线知识，研究三角形相似要用到平行线知识。而到了高中阶段，涉及平行线知识的内容就更多了：立体几何中，研究两条直线的异面关系、直线与平面的平行关系、平面与平面的平行关系等都要转化为直线与直线的平行关系；解析几何中，要用代数方法研究两条直线之间的平行关系……

以上主要体现的是平行线的工具作用。其实，平行线的作用还可以体现在思想方法层面：由平行线引出的平移变换作为一种基本而重要的变换，在数学知识的学习中具有非常广泛的应用。通过平移可以将各种复杂函数的研究转化为简单函数的研究，如将一般二次曲线转化为标准二次曲线来研究，将一般三角函数转化为基本三角函数甚至转为一一对应的三角函数来研究。如果再将平移这一方法做进一步推广，则又可以得到科学研究中的一种重要方法——移植方法。比如，可以将研究指数函数的方法应用到对数函数、三角函数、反三角函数等许多函数的研究中，可以将研究椭圆的方法移植到双曲线、抛物线的研究中，可以将数学的研究方法移植到物理、化学等学科的研究中，可以将自然科学的研究方法移植到社会科学的研究中。

再从内部看，“平行线”涉及的主要概念有平行线、同位角、内错角、同旁内角等。其中，后三者是研究前者的工具。在后三者中，同位角最基本，内错角、同旁内角是由同位角派生出来。之所以这么说，是因为：一方面，学习“同位角相等，两直线平行”这一基本事实时，学生有沿直尺平移三角板作平行线的经验；另一方面，利用所判断的两条直线与第三条直线的倾斜程度相同（同位角相等）更直接，更符合人的认知规律，也更便于学生理解（这一点由解析几何中两条直线平行的判定方法可见一斑）。“平行線”涉及的主要命题有平行公理、平行线的判定定理和性质定理等。其中，平行公理与“同位角相等，两直线平行”是作为基本事实来处理的。之所以这样处理，一方面，考虑了它们比较直观，学生比较容易理解；另一方面，则考虑到学生刚学演绎证明，理解后者的证明还有难度，因此，采用归纳的方式来学习。

最后，分析知识的组织方式（编排方式）。一般来说，教材中的知识是围绕核心概念、大观点或数学思想、核心素养组织的。就“平行线”而言，核心概念就是平行线，因为无论平行公理，还是平行线的判定定理与性质定理，都是围绕平行线这一概念展开的；至于同位角、内错角、同旁内角等概念，也都是为研究平行线服务的。“平行线”涉及的数学思想有抽象思想、分类思想、推理思想、归纳思想及化归思想等，而将有关知识有机联系起来的主要是化归思想。之所以这样说，是因为：首先，从核心概念“平行线”来看，它是转化为“相交”这一概念来定义的；其次，研究两条直线平行是转化为这两条直线与第三条直线所成的各种角的关系来进行的；再次，利用内错角和同旁内角来判定两条直线平行是转化为“同位角相等，两直线平行”来研究的；甚至，“两直线平行，同位角相等”这一性质还可以利用反证法转化为“同位角相等，两直线平行”来证明……由此可见，我们可以用“化归”这一核心思想将“平行线”的主要知识有机地组织在一起。

四、 数学知识的关系、作用分析与教学设计其他环节之间的联系

作为教学设计起始环节的数学知识关系与作用分析，与其他环节之间有着密切联系，具体如下：

（一） 与学情分析之间的联系

作为教学设计的起点，知识关系与作用分析清晰地揭示了知识之间的内在联系，这就为学情分析提供了可资利用的框架和参照。在进行学情分析时，可以对照知识关系与作用分析中的知识地图来思考：哪些知识学生已经掌握？哪些知识学生还没有掌握？哪些知识学生比较熟悉？哪些知识学生还比较生疏？学生有什么兴趣爱好？学生有什么学习特点？采取怎样的教学方法比较容易激发学生的学习兴趣和数学思考？等等。

比如，对《方程的根与函数的零点》一课进行学情分析时，如果我们已经知道从一（二）次函数的观点看一元一（二）次方程（不等式）、函数的图像和性质等与方程的根、函数的零点之间的内在联系，就应该进一步思考：这些预备知识或研究方法，学生有没有真正掌握？如果没有掌握，是什么原因？学生还存在什么困难？学生通常采用哪些学习方法？这些方法是否适应新知识的学习？教学应该选择什么认知起点？应该采用什么教学手段或方法，才更有利于学生的理解？等等。

（二） 与教学目标分析之间的联系

分析教学目标时，除了考虑课标和学情之外，最主要的就是要考虑学科的影响。而学科对教学目标影响的最直接方式就是知识的关系与作用。一般来说，知识关系与作用分析主要探索知识之间有无联系、有什么联系。而教学目标分析不仅要考虑知识之间的内在联系，更要考虑学生的认知起点和“最近发展区”。如果将表征知识关系的知识地图作为参照系，则教学目标分析实际上就是要在有关的知识地图中找到一条能让学生通过探索获得成功的道路。由于知识关系分析清晰地揭示了各知识之间的联系，教师不仅可以据此确定合理的教学目标，而且可以为教学目标的达成找到恰当的认知起点和清晰的探究路径。

比如，依据前面的知识关系分析框架（知识地图），如果以学生前两章所学的函数概念与性质，以及幂、指数、对数等基本初等函数模型的图像与性质作为认知起点，那么，《方程的根与函数的零点》一课的教学目标应该侧重于“在对函数图像与性质有一定了解的基础上，进一步考察函数与方程（不等式）等其他数学知识之间的联系，为进一步探索运用函数零点存在性定理求方程的近似解，以及函数在其他学科及生产、生活中的应用奠定基础”；如果将“从一（二）次函数的观点看一元一（二）次方程（不等式）”作为认知起点，那么，本节课的教学目标应该侧重于“在初中阶段学习的用函数的观点看一元一（二）次方程的基础上，从更一般的意义上探索函数与方程之间的关系，了解函数零点存在性定理，体会从特殊到一般、数形结合等数学思想，逐步养成从不同的角度看问题的习惯”；如果将“函数”“方程”这两个概念作为认知起点，那么，本节课的教学目标应该侧重于“经历对函数与方程的构成要素及其关系的比较、梳理、分析过程，初步体会研究事物之间联系的方法，渗透普遍联系的辩证唯物主义观点”。［8］

（三） 与教学重难点分析之间的联系

从联系的观点看，教学重点通常指那些与其他知识关联度比较高或联系比较多的知识点。［9］因此，分析教学重点时，要从知识的发展演变或来龙去脉（知识的联系）中把握。教学重点既可以依据知识关系来分析，也可以依据知识作用来分析。从知识关系（特别是表征知识关系的知识地图）来看，那些事关新知识的生长点，新旧知识的转折点、联系点往往最容易成为教学重点。比如，消元法是将多元方程组转化为一元方程的根本方法，因此自然成为二元一次方程组的教学重点。从知识作用来看，那些对其他知识的学习影响比较大的知识往往最容易成为教学重点。比如，函数的单调性、奇偶性等性质是函数图像与性质研究的重要方面，因此必然成为函数研究的重点。

从联系的观点看，教学难点就是那些不容易发现联系的知识点。具体来说，就是那些太抽象、离学生生活太远、过程太复杂、关系太隐蔽、学生难于理解和掌握的知识、技能与方法。［10］比如，无理数概念、“负负得正”的法则由于离现实生活较远而成为教学难点。再如，证明等腰三角形的性质时，由于缺少添加辅助线的经验而造成困难。又如，学习零点存在性定理时，根据端点函数值异号判断函数在该区间内有零点，不仅要将零点与端点函数值的符号建立联系，而且要与目前尚未学习的函数连续性概念等知识建立联系，这对刚接触零点概念的学生来说是一件很不容易的事情，因此，发现并深刻理解函数零点存在性定理是本节课的教学难点。

（四） 与教学方法设计之间的联系

由于数学知识之间的联系错综复杂，教学方法会随着认知起点、教学目标和探究路径等情况的变化而变化。知识关系、作用分析与教学方法设计之间的联系主要表现为，根据知识之间联系及性质的不同而采取不同的教学方法。它是因“材”施教教學原则的具体体现。

比如，依据前面的分析，《方程的根与函数的零点》一课既可以将“函数的概念与性质”作为认知起点，按照“概念—性质—学科内应用—学科外应用”的知识探究顺序和结构分析方法来教学；又可以将“用函数的观点看一元一（二）次方程（不等式）”作为认知起点，采用从特殊到一般的方法来教学；还可以将“函数”“方程”这两个概念作为认知起点，引导学生从联系的观点出发，运用比较、梳理、归纳等思维方法来分析函数与方程的构成要素及其关系。

（五） 与教学过程设计之间的联系

数学教学过程一般包括创设问题情境、提出研究问题、提出猜想、验证猜想、巩固小结等环节。在明确知识的关系与作用、教学目标与教学重难点等的基础上，可以依据知识地图设计探究路线和教学环节。

比如，《方程的根与函数的零点》一课，若以上述第三种教学方法（思路）来设计教学过程，则可以先向学生呈现“函数与方程”这一课题，创设悬念情境，引发学生对两者关系的探究兴趣；然后通过“看到这个标题，你们会提出什么问题？”“你们最想研究什么问题？”“函数与方程之间到底有什么关系？”“怎么研究函数与方程之间的关系？”“从哪些方面研究函数与方程之间的关系？”“过去我们有没有研究过函数与方程之间的关系？”“当时是从哪些方面来研究的？”“这些关系对一般的函数和方程是否仍然成立？”等一系列问题，启发学生循序渐进地探索函数与方程之间的关系。

参考文献：

［1］吴庆麟，等.认知教学心理学［M］.上海：上海科学技术出版社，2000：115.

［2］陈昌平，黄建弘，邹一心.数学教育比较与研究［M］.上海：华东师范大学出版社，1996：329.

［3］［4］布鲁纳.教育过程［M］.邵瑞珍，译.北京：文化教育出版社，1982：1，28.

［5］D.P.奥苏贝尔，等.教育心理学——认知观点［M］.佘星南，宋钧，译.北京：人民教育出版社，1994：45.

［6］雷钠特·N.凯恩，杰弗里·凯恩.创设联结：教学与人脑［M］.吕林海，译.上海：华东师范大学出版社，2004：4.

［7］唐悦.中学数学教材地位和作用分析的现状和策略研究［D］.南通：南通大学，2021：37.

［8］钟志华，刘鸿坤.基于联系观点的数学教学设计——以“方程的根与函数的零点”为例［J］.数学教学，2020（2）：2125.

［9］钟志华，凌皓岚.从联系观点看教学重点的内涵、价值及确定依据［J］.中学数学杂志，2021（5）：15.

［10］钟志华，黄桂君.从联系观点看高中函数概念教学难点及成因［J］.数学通报，2022（6）：2529+48.

（钟志华，南通大学理学院，教授，硕士生导师。主要研究方向：数学教材与教学。周美玲，南通大学理学院。）

*本文系江苏省教育科学“十四五”规划重点课题“数学哲学与数学教育深度融合的理论与实践研究”（编号：B/2022/01/05）、“基于HPM的数学教学难点分析与突破策略研究”（编号：B/2022/03/90），也系南通大学专业学位研究生教学案例库建设项目“基于创新能力的中学数学教学设计案例库建设”（编号：JXAL2202）的阶段性研究成果。周美玲为本文通讯作者。