一类考虑双隔离强度的传染病模型的稳定性研究

宋家城, 吕王勇,2*, 张 萍, 张 策, 史思红

(1. 四川师范大学 数学科学学院, 四川 成都 610066; 2. 四川师范大学 可视化计算与虚拟现实四川省重点实验室, 四川 成都 610066; 3. 海南师范大学 数学与统计学院, 海南 海口 570311)

众所周知,传染病比如鼠疫、霍乱、传染性非典型肺炎、艾滋病、病毒性肝炎等,不仅影响着人们的身心健康,而且还对经济的发展产生了一定的影响,更严重的甚至对人们的出行产生了影响,并且每年死于传染病的人不计其数．因此,很多学者针对传染病建立了一系列模型,并进行了相关的研究,例如:吴长青等[1]在总人口非常数条件下,研究了一类SIRS传染病模型的所有非负平衡点,以及平衡点的存在性、局部稳定性.高宏伟等[2]则考虑了一类具有非线性传染率、隔离率的SIRS传染病模型解的存在性.李明山等[3]考虑了一类连续SIR传染病模型的分岔性质.由于隔离措施和治疗措施对传染病的防控起到很重要的作用.因此,闫慧林等[4]考虑了一类具有隔离和治疗措施的新型冠状病毒肺炎(COVID-19)传染病模型.朱翌民等[5]考虑了隔离措施对COVID-19疫情控制的影响.丰利香等[6]考虑了具有隔离和不完全治疗的传染病模型.对于传染病的研究一直在不断进行[7-16],这为传染病的预防和控制提供了一定程度的支持.

传染病无时无刻不在人们的身边,我国一直对感染者实行隔离措施,以此来减少对易感者的感染,并且一些易感人群会由于媒体报道等原因,自觉做好防护措施从而变成有意识的易感者.同时考虑到感染者有显性和隐性之分,其中显性感染者指的是感染各种病原体之后,患者已经有相关的临床症状了,而隐性感染者指的是感染了各种病原体之后,没有表现出相应的临床症状.由于上述文章并没有对显性感染者和隐性感染者都建立隔离仓,因此本文对显性感染者和隐性感染者都建立隔离仓,并认为不仅显性感染者可以变为隐性感染者,而且被隔离的隐性感染者也可以变成被隔离的显性感染者,同时把易感者分成无意识易感者和有意识易感者,由此引入了有意识易感者接触感染者的调节因子,并且考虑到传染病一般都存在潜伏期,潜伏期患者也具有传染的风险,最后考虑到隐性感染者和显性感染者都有自愈的可能性,基于此建立了带有双隔离强度的传染病模型,并分析双隔离强度对传染病的影响.

1 模型建立

本文建立了一类具有双隔离强度的传染病模型,该模型中共有8个仓室:无意识易感者(S1)、有意识易感者(S2)、潜伏者(E)、显性感染者(I)、隐性感染者(A)、被隔离的显性感染者(Q)、被隔离的隐性感染者(M)、恢复者(R).本文考虑把易感者分成无意识易感者(S1)和有意识易感者(S2),认为无意识易感者(S1)由于媒体报道等原因会变成有意识易感者(S2).又考虑到一般传染病都存在潜伏期,故建立了一个潜伏者(E)的仓室,并且认为不仅隐性感染者和显性感染者会感染易感者,潜伏期的人群也会感染易感者,用βE表示无意识易感者与潜伏者接触的传染率,βA表示无意识易感者与隐性感染者接触的传染率,βI表示无意识易感者和显性感染者接触的传染率,为了区分有意识易感者和无意识易感者接触感染者的几率不同,引入了有意识易感者接触感染者的调节因子σ.同时也把隐性感染者(A)和显性感染者(I)都建立了隔离仓,分别用被隔离的隐性感染者(M)和被隔离的显性感染者(Q)表示,同时认为隐性感染者(A)可以变成显性感染者(I),并且被隔离的隐性感染者(M)经过一段时间后也会变成被隔离的显性感染者(Q).又考虑到隐性感染者(A)和显性感染者(I)被隔离的概率也是不一样的,q表示显性感染者的隔离率,即被追朔到为显性感染者的概率,ξ表示隐性感染者的隔离率,即被追朔到为隐性感染者的概率,最后考虑到隐性感染者(A)和显性感染者(I)都有自愈的可能性,即隐性感染者有一定的概率η变为恢复者(R),显性感染者也有一定的概率α变成恢复者(R).基于上述说明建立了S1S2EIAQMR模型.模型的参数定义见表1,模型的传播机制见图1.

根据模型传播流程图建立如下的模型:

图 1 S1S2EIAQMR模型的传播流程图

表 1 S1S2EIAQMR模型的参数定义

由(1)式知:参变量R可以其他7个参变量S1、S2、E、I、A、Q、M表示出来,而且参变量R在系统前7个方程中并未出现,因此只需要考虑系统(1)的子系统(2):

2 正性和不变集

对于系统(2),可以得到

Λ-μ(S1+S2+E+I+A+Q+M)-

d(I+A+Q+M)-αI-ηA-φM-δQ≤

Λ-μ(S1+S2+E+I+A+Q+M).

因此

S1(t)+S2(t)+E(t)+I(t)+

又因为模型中考虑的是人类,所以

S1(t)+S2(t)+E(t)+I(t)+

A(t)+Q(t)+M(t)>0.

综上可得

将在不变集Ω上讨论系统的稳定性.

3 平衡点分析

为了对平衡点进行分析,首先计算出无病平衡点,基本再生数和地方病平衡点,并证明了地方病平衡点的唯一性,最后对无病平衡点和地方病平衡点进行了稳定性分析.

3.1 无病平衡点与基本再生数令系统(2)的右侧等于0,并且令E=I=A=Q=M=0,则可以得到:

(βEES1+βAAS1+βIIS1+

σβAAS2+σβEES2+σβIIS2,0,0,0,0,0)T,

其中

G=βEFC+βIFD+βAr2C,F=μ+d+θ1+η+ξ,

C=μ+d+q+α.

由方程(3)的第1个式子,可得

(4)

将(4)式代入方程(3)的第2式,可得

S2=

则

同时,由方程(3)的第4和5式可得

r1E+θ1A=(μ+d+α+q)I.

整理可得

于是上式可写为

(5)

将(5)式代入方程(3)的第3式,可得

于是

又令

C1=CF,D1=DF.

于是可得

(6)

直接对I求导得

其中

D2=σD1G[GI+(p+μ)D1][σGI+μD1]-

D1G[σGI+(pσ+μ)D1]{σGI+μD1+

σ[GI+(p+μ)D1]}=

D1G{σ[GI+(p+μ)D1][σGI+μD1]-

[σGI+(pσ+μ)D1][σGI+μD1+

σ[GI+(p+μ)D1]]}=

D1G{[σGI+σ(p+μ)D1-σGI-(pσ+

μ)D1][σGI+μD1]-

σ[GI+(p+μ)D1][σGI+(pσ+μ)D1]}=

D1G{(σμD1-μD1)(σGI+μD1)-

[σGI+(pσ+μ)D1]σ[GI+(p+μ)D1]}=

σ2G2I2-(pσ+μ)D1σGI-

-D1G{μD1(σμD1+μD1)+

σ[σG2I2+σpD1GI+G(pσ+μ)D1I+

-D1G{(σG)2I2+2σD1G(pσ+μ)I+

故K′(I)<0.所以K(I)是关于I的单调递减函数,又因为

且

其中I*是方程K(I)=0的唯一正根.

3.3 无病平衡点的局部稳定性

证明系统在P0处的雅可比矩阵为

其中

D3=μ+d+φ+θ2,

接下来求雅可比矩阵J(P0)的特征值:

|λE-J(P0)|=0=

化简可得

|λE-J(P0)|=

(λ+μ+p)(λ+μ)(λ+μ+d+δ)(λ+D3)×

显然-(μ+p)、-μ、-(μ+d+δ)、-D3为J(P0)的特征值,矩阵的另外3个特征值满足方程

展开可得

λ3+D7λ2+D8λ+D9=0,其中

D7=(μ+r1+r2)(1-R0)+

D8=(1-R0)(μ+r1+r2)(C+F)+

D9=(1-R0)(μ+r1+r2)CF+D5r2θ1,D7D8-D9=D7(D8-CF)+

(C+F)CF+D5Fr1+D6Cr2.

当R0<1时,D7,D8,D9>0.并且当R0<1时有

Δ1=D7>0,

于是由Routh-Hurwitz判别法可以得到:雅可比矩阵J(P0)的所有特征值都是负数,故无病平衡点是局部渐近稳定的.证毕.

3.4 无病平衡点的全局稳定性

则系统(2)可以被改写为

定义Lyapunov函数

则L1沿系统的全导数为:

现令

3.5 地方病平衡点的全局稳定性

定理 4对于系统(2),当R0>1时,地方病平衡点P*是全局渐近稳定的.

作如下变换,并记

则系统(2)可以被改写为

其中

并定义Lyapunov函数:

K1I*(z-1-lnz)+K2A*(h-1-ln h)+

K3Q*(l-1-lnl)+K4M*(n-1-ln n),则L4沿系统的全导数为

通过化简,可得

K2r2E*+K3qI*+K3θ2M*+K4ξA*-

K1r1E*-K1θ1A*+K3qI*)+

K1θ1A*-K2r2E*+K4ξA*)+

l(-K3qI*-K3θ2M*)+n(K3θ2M*-K4ξA*)-

从上式可得

K3=0,K4=0.

于是L4沿系统的全导数为

根据均差不等式的性质,利用一种代数方法[8]定义函数L5如下:

4 基本再生数的敏感性分析

由基本再生数R0的表达式,利用基本再生数进行参数的敏感性分析[9],以显性感染者的隔离率q为例,结果如下:

q[(βEF+βAr2)C-G]×

5 结论

本文建立了一类具有双隔离强度的传染病模型,首先确定了系统的正性和不变集,其次分析了模型的无病平衡点和基本再生数R0,然后计算了地方病平衡点并证明了地方病平衡点的唯一性.之后证明了平衡点的稳定性,即当R0<1时,无病平衡点不仅是局部渐近稳定的,也是全局渐近稳定的,即疾病最终消除;当R0>1时,通过构造Lyapunov函数来说明,地方病平衡点是全局渐近稳定的,即疾病将持续存在.然后通过对基本再生数的敏感性分析,得到增加隐性感染者和显性感染者隔离强度都可以减小基本再生数,从而可以控制疾病的蔓延.