带扩散项的Cahn-Hilliard方程解的适定性

李书岚, 蒲志林

(四川师范大学 数学科学学院, 四川 成都 610066)

本文研究如下带扩散项的广义Cahn-Hilliard方程的初边值问题

(x,t)∈Ω×R+,

(1)

(2)

u|t=0=u0,

(3)

其中,Ω⊂Rn(n=1,2,3)是有界正则区域,且具有光滑边界Γ,ν为边界上的单位外法向量,Δ为Laplace算子,f(u)为一对数型函数F(u)的导数,g(u)称为扩散项.

在方程(1)中,若g(u)=0,则称其为Cahn-Hilliard方程(简称CH方程),是数学物理上一类重要的非线性偏微分方程,它描述了与相分离过程相关的两相系统的重要定性特征.1958年,Cahn和Hilliard[1]首次基于热力学提出了相关模型,近几十年来,国内外众多学者对其进行了广泛研究,尤其是解的存在性、唯一性、正则性,以及相关动力系统的渐近性等[2-5].

然而,目前在Neumann边界条件下对带一般的非线性扩散项的CH方程的研究相对较少,为了增加此类数学模型的适用范围,并推广一些已有结果,本文将在现有研究基础上对具有更一般非线性扩散项的方程(1)～(3)进行解的先验估计,得到弱解的存在唯一性,进而还得到解的相关正则性.

1 主要假设和记号

f′(s)≥-c0,c0≥0,s∈R,

(4)

f(s)s≥c1F(s)-c2,F(s)≥-c3,

c1>0,c2,c3≥0,s∈R,

(5)

|f(s)|≤F(s)+c, ∀>0,s∈R, (6)

(7)

g′(s)≥-c4,c4≥0,s∈R,

(8)

|g(s)|≤c5(1+|s|2q+2),s∈R,

(9)

其中p≥2q+1.由于4q+4≤2p+2,则有

∀>0,s∈R.

(10)

令H=L2(Ω),V=H1(Ω),且定义〈u〉为空间平均,表示为

2 主要结果及其论证

证明首先证明存在性.为了得到解的存在性,先要得到uN与N无关的先验估计.以下用到的所有常数都是与N无关.考虑如下近似问题,其中N∈N,

(x,t)∈Ω×R+,

(11)

uN|t=0=u0.

首先,在Ω上对(11)式进行积分可得

(12)

等价地,上式可以写成下面的形式

(13)

其中根据假设(4)和插值不等式可得

(15)

再由假设(9)和Young不等式可得

(16)

′>0,

(17)

根据(14)～(17)式可得

(18)

将〈uN〉与(12)式做内积可得

c‖g(uN)‖L1(Ω)|〈uN〉|,

(19)

根据连续嵌入L2(Ω)⊂L1(Ω)可得

(20)

将(18)和(20)式相加可得

∀′>0.

(21)

(22)

其中

((f(uN),uN))-((f(uN),〈uN〉)),根据假设(5)式可得

((f(uN),〈uN〉))≤c‖f(uN)‖L1(Ω)|〈uN〉|,根据假设(6)式可得

‖f(uN)‖L1(Ω)≤

再根据假设(5)和(7)式可得F有界,则有

(23)

由(22)～(23)式可得

(24)

将(21)和(24)式相加可得

根据连续嵌入L4q+4(Ω)⊂L2(Ω),q≥1,再根据假设(10)则有

(25)

其中

(26)

c‖f(uN)‖L1(Ω)‖g(uN)‖≤

c‖g(uN)‖2+c′,

(27)

(28)

根据(25)～(28)式可得

(30)

(31)

其中

(33)

(34)

根据(30)～(35)式和(20)式,结合假设(10)可得

>0.

(35)

(36)

其中

(38)

(39)

由(36)～(39)式可得

(40)

并且

(41)

根据(40)和(41)式,结合前面的估计可得f(uN)在L2(0,T;L2(Ω))中有界.

接下来,根据上述的先验估计结果,结合标准的Aubin-Lions紧性结果,当N→+∞时可得

uN→u在L∞(0,T;H1(Ω))中弱收敛,uN→u在L2(0,T;H2(Ω))中弱收敛;

uN→u在L2(0,T;L2(Ω))中几乎处处成立;

uN→u在L4q+4(0,T;L4q+4(Ω))中弱收敛;

线性部分的估计可以直接得到,然后考虑非线性项,根据勒贝格控制收敛定理,再由先验估计已知f(uN)在L2(0,T;L2(Ω))中一致有界,则可以得到f(uN)在L2(0,T;L2(Ω))中收敛于f(u).同样由于先验估计(16)式可得g(uN)在L∞(0,T;L2(Ω))⊂L2(0,T;L2(Ω))中一致有界,则g(uN)在L2(0,T;L2(Ω))中收敛于g(u),则解的存在性得证.

〈f(u1)-f(u2)〉+(-Δ)-1(g(u1)-

g(u2)-〈g(u1)-g(u2)〉)=0,

(42)

在Ω对方程(1)～(3)积分可得

(43)

f(u2),u))-((f(u1)-f(u2),〈u〉))+

(((-Δ)-1(g(u1)-g(u2)-

(44)

其中

((f(u1)-f(u2),u))≥-c0‖u‖2≥

因此

|((f(u1)-f(u2),〈u〉))|≤

同样

|((g(u1)-g(u2)-〈g(u1)-g(u2)〉,

将〈u〉与(43)式做内积可得

根据(44)～(45)式,运用插值不等式‖u‖2≤‖▽u‖‖u‖-1可得

根据Gronwall引理可得

‖u1(t)-u2(t)‖-1≤c‖u1,0-u2,0‖-1,c>0,t∈[0,T].

由此可知u1(t)=u2(t),则解的唯一性得证.

定理 2.1关于方程(1)～(3)的解u满足

∀r0,且T>0.

证明方程(13)可写成如下形式

(46)

将(46)式对时间求偏导可得

(47)

其中根据假设(8)和连续嵌入H2(Ω)⊂L∞(Ω)有

根据插值不等式可得

同时还可以得到(48)式右边两项是有上界的.最后根据Gronwall引理可得

∀r0,T>0.