结构生长：思维从“分化”走向“融合”

丁洪

［摘 要］对于同一个测量对象，周长和面积“和谐共生”，同时存在，不可分割。但是，周长具有“一维”的空间特质，面积具有“二维”的空间特质，两者的结构“合而不同”，本质有别，不可忽视。因此，教学将两者放在同一对象、同步研究和同时对比，有助于学生的思维从分化、回避、漠视渐进为融合、正视、聚焦，更好地生长出相关的概念、判断和推理能力。

［关键词］结构对比；思维融合；空间观念；数学化

［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2024）08-0001-04

周长和面积是测量专题教学的两个重要内容。事实上，物体表面的周长和面积同时存在，如数学书封面一周边线的长就是它的周长，数学书封面的大小就是它的面积；封闭平面图形的周长和面积兼而有之，如长方形一周边线的长就是它的周长，长方形内部的大小就是它的面积。应该说，对于同一个测量对象而言，周长和面积显然“和谐共生”，不可分割，但是它们明显“合而不同”。

考虑“怎么教”之前首先要考虑“教什么”。就周长和面积而言，先教周长，后教面积，是现行大部分教材编排的选择。从知识本位角度看，这样的编排遵循了知识的内在逻辑，它较为理性地从“一维的线”逐步过渡到“二维的面”，专题教学似乎试图通过时间差，努力实现知识点的个别强化和稳步推进，线性处理的痕迹一览无余。但是，从学生本位角度看，这样的编排有人为割裂之嫌，一方面它忽视了知识的整体建构，使得周长的教学对面积“视而不见”，面积的教学也对周长“避而不谈”，学生获得的只是单个的知识点，而非是对测量对象的结构把握；另一方面它忽视了学生的认知特点，因为小学生空间观念的建立存在特殊性，根据“混而不错”的现实路径，学生完整经历的是体、面、线、面、体的体验过程，进一步说，学生对面积大小的感觉要比对周长长短的感觉更为强烈，如果单纯学习周长而压抑对面积的认知，或者是单纯凸显面积不去关联周长，教师的教会显得不自由，学生的学会显得不自在，空间观念的渗透会显得不自然。

想要走出现实困境需要实际行动。教学先从学生熟悉的平面图形入手，以“外描线段”引出周长，以“内刷表面”引出面积，然后紧扣周长和面积的本质内涵，通过看、数、悟等不同层次的链式对比，有序“生长”出相关的概念、判断和推理，最终在变与不变的思辨中，实现了智慧学习。

一、联中比——生长出概念

（一）猜一猜

师（出示积木）：仔细观察，你看到了哪些熟悉的立体图形？请说出它的名字和特征。

（学生辨认长方体、正方体、圆柱等立体图形，并用手势和语言描述各图形的特征。）

师（出示图1）：如果像这样分别描出立体图形的一个面，你猜它是什么平面图形？

（学生在抢答中快速确认描出的是长方形、正方形、三角形和圆。）

（二）描一描

師：长方形是由几条线段围成的？正方形和三角形呢？描一描，数一数。

生1：长方形是由4条线段围成的。

生2：正方形也是由4条线段围成的。

生3：三角形是由3条线段围成的。

师：像这样，就能描出平面图形的所有边线（操作略）。

（三）刷一刷

师：这里有一把小刷子，咱们一起给长方形内部刷上颜色。

师（在长方形内部横着刷一部分，指着留白的地方）：刷好了吗？

生4：没有。

师：为什么？

生5：还有空白，还要刷。

师：再刷一刷子，这样就——

生6：刷好了。

师（出示正方形和三角形）：这两个图形的内部可以怎样刷色？

（学生回答略。）

（四）理一理

师（出示图2）：长方形所有边线的长度，就是它的周长。长方形整个表面的大小，就是它的面积。显然，长方形既有周长，也有面积。那正方形和三角形呢？

生7：正方形既有周长，也有面积。

生8：三角形既有周长，也有面积。

师（出示其他平面图形，图略）：这些平面图形也有周长和面积吗？

生9：都有。

师：看来，平面图形既有自己的周长，也有自己的面积。今天，我们就来认识它们。（板书课题：认识周长和面积）

【思考：概念的建立是理性认识的初级阶段。新概念往往表现出基础性、生长性和发展性的特征。首先，“描一描”调用了“长方形和正方形的直观认知”和“线段认知”，如果把“描”出的每一根线段看成是局部理解，它有具体长度，那么“描出平面图形的所有边线”就为平面图形周长概念的建构做了铺垫。其次，“刷一刷”调用了“长方形和正方形的直观认知”和“面的大小感知”，“刷好了吗？”的追问是激活学生对图形大小的经验，而后续更换刷色对象，则是迁移和强化认知体验，使得要求“刷出平面图形的整个表面”变得像呼吸一样自然。最后，“编筐编篓重在收口”，一方面直观地揭示了周长和面积的数学本质，实现了概念从“感性”到“理性”的必要切换；另一方面通过结构化定性“长方形既有周长也有面积”，驱动学生即时练习、迁移内化和形成表象，经历了概念从“特殊”到“一般”的螺旋上升。】

二、看中比——生长出判断

（一）剥一剥

师（拿出一个长方形塑料板，请学生用手指描一描周长，用手掌刷一刷面积）：接下来，老师要变个魔术——把长方形塑料板的一周边线全部“剥”下来，请仔细观察。

师：现在终于“剥”完了它的一周边线。把它拉直了，其实就是——

生1：一根长长的线段。

师：它里面包含几根小线段？

生2：4根。

师：这根线段的长度就是这个长方形的——

生3：周长。

（二）辨一辨

师（出示图3）：大家表现真好！给大家奖励一颗五角星。如果要将这颗五角星的周长描下来，这样描对吗？

生4：不对，少描了一条线段。

师：要想表示五角星面积，怎么样去刷色？

生5：把它刷满，就像左边五角星的样子。

师：看来，周长就是一周边线的长度，一条边都不能缺（板书：一周边线的长）。面积就是图形内部的大小，一块面都不能少（板书：图形内部的大小）。

（三）比一比

师（出示图4）：这里有两个长方形，用一种颜色的水彩笔描出它的周长，用另一种颜色的水彩笔涂出它的面积，请动手试一试。

（在学生画完后，教师组织学生重点交流“周长在哪里”和“面積在哪里”。）

师：哪个图形的面积比较大？哪个图形的周长比较长？

师：借助所画作品，与同桌说清楚“周长怎么比？面积怎么比？”。

生6：面积比的是图形内部的大小，我能直接看出来，左边长方形的面积比较大。周长比的是一周边线的长，分别比上边、下边、左边和右边，一共比4次，我发现左边长方形的周长比较长。

生7：对于周长，我只要比2次。先竖着比，发现它们一样长，再横着比，发现左边的长。这样左边长方形的周长就长一些。

师：无论是对应地比4次，还是根据长方形对边相等的特点巧妙地比2次，比周长都是在比什么？

生（齐）：一周边线的长。

【思考：判断的运用是理性认识的第二阶段。一般概念形成之后，必然跟进相应的判断。具体来说，是否“剥”下了长方形的“一周边线”是第一次判断，期间的追问和互动，都指向周长的本质内涵，即图形一周边线的长，不是一根或几根，而是所有边线的总和才能称之为周长；五角星的周长“描得对吗？”是第二次判断，学生通过现场指认、示范修正和描述解释，使得周长的概念逐渐完整，从而深入人心；第三次判断发生在两个长方形之间的比较，对于“哪个图形的面积比较大？”“哪个图形的周长比较长？”都需要讲清楚“比哪里？”“怎么比？”，无论是一一对应比4次，还是简化之后比2次，其实都是基于概念的判断行为，看似形式不同，其实本质相通。】

三、数中比——生长出推理

师：有一面白色的墙面，需要贴上正方形的瓷砖，先贴上第1块，这一块瓷砖有周长和面积吗？

生（齐）：有。

（师生互动，第一排边贴边数。）

师（整体出示第二排到第四排，并介绍两块花瓷砖，在出示第五排之前追问）：墙面贴满了吗？

师（出示图5）：这两块花瓷砖，你还能一下子看出哪个周长比较长，哪个面积比较大吗？

生1（用手比画）：左边的花瓷砖横着长，竖着短；右边的花瓷砖横着短，竖着长，看不出来。

师：怎么办？

师：把小正方形的边长看成1个长度单位，数一数并标出周长有几个小正方形边长这么长；把小正方形的面积看成1个面积单位，数一数并标出面积有几个小正方形面积这么大。组内交流“怎么数”和“怎么比”。

生2：左边花瓷砖的周长有12条小正方形边长这么长，右边花瓷砖的周长也有12条小正方形边长这么长，它们的周长相等。

生3：左边花瓷砖的面积有8个小正方形这么大，右边花瓷砖的面积有9个小正方形这么大。右边花瓷砖的面积大。

师（出示图6）：我们是先确定数的单位，再数出单位的个数，然后顺利比出结果。

【思考：推理的介入是理性认识的第三阶段。具体来说，第一阶段是看着不好比，其实质是部分判断之间虽然有联系，但是对于整体“一周边线”而言，并不能将这些单个的判断有机整合，形成新的判断，换句话说，“推理”在这里难以进行；第二阶段是数着比，其实质是借助小正方形瓷砖的边长为1个长度单位，分别数出“周长有12条小边长这么长”，借助小正方形的面积为1个面积单位，分别数出“面积有8个小正方形这么大”和“面积有9个小正方形这么大”。这样，无论是周长，还是面积，因为有了联结的工具，即“相同单位”，所以可以产生新的判断，最终顺利推理出“它们的周长相等”和“右边花瓷砖的面积大一些”的结论。最后，借助动态演示和过程梳理，使得推理的要点和路径得以可视化、结构化和一般化。】

四、悟中比——生长出智慧

（一）初次变

师（出示图7）：大正方形瓷砖由9块小正方形组成。接下来，我要变魔术了，你说变，它就变！

生（齐）：变！变！变！

师（出示图8）：与原来大正方形瓷砖相比，你能一下子判断下面瓷砖的面积和周长哪个变了吗？

生1：面积肯定变了，因为都少了一些小正方形。

师：有道理。那么，周长到底变了没有？请沿着现在瓷砖一周边线数一数和比一比。

生2：左边瓷砖的周长有12条小正方形边长这么长。与原来相比，周长不变。

生3：中间瓷砖的周长有12条小正方形边长这么长。与原来相比，周长也不变。

生4：右边瓷砖的周长有14条小正方形边长这么长。与原来相比，周长变了。

师：看来，瓷砖面积都发生变化，但是瓷砖一周边线的长度，有的不变，有的变了。

（二）再次变

师：老师又要变魔术了，先将大正方形瓷砖平均分成两块小长方形，然后拼接；或者，将大正方形瓷砖平均分成两块小三角形，然后拼接。你说变，它就变！

生（齐）：变！变！变！

师（出示图9-1、图9-2）：与原来大正方形瓷砖相比，你能一下子判断现在瓷砖的面积和周长哪个没有变吗？

生5：面积没有变，因为没有多一块，也没有少一块。

师：描一描现在瓷砖的一周边线，与大正方形瓷砖相比，哪一部分一样长，哪一部分变化了？

（学生先独立思考，再组内交流，最后汇报。）

生6：我来说图9-1的瓷砖。它横着的4条边线与正方形的4条边线一样长，竖着的2条边线是多出来的，所以周长变了。

生7：我来说图9-2的图形。它横着的2条边线与正方形横着的2条边线一样长，斜着的两條边线比正方形竖着的边线要长，所以周长变了。

师：先确定一样长的部分，再确定变化的部分，最后合起来推理得到结论。为你们点赞！

（三）终极变

师（出示图10）：老师将大正方形瓷砖分割后变成——

生（齐）：七巧板。

师：七巧板可以拼接成有趣的图案，你看到了什么？

生（齐）：小鱼、小鹅和小羊。

师：你猜，拼成的图案和原来正方形相比，面积变了吗？周长呢？这个问题留给同学们课后思考，并和小伙伴分享。

【思考：智慧的演绎是理性认识的综合阶段。只有在认知的最近发展区和稍复杂的境遇下，智慧才能找到迸发的土壤和契机。具体来说，图形第一次的变化较为“温和”，解决面积的变化问题时，有的学生根据“图形内部的大小在减少”，运用概念直接判断，有的学生借助“单位思想”逐步量化，间接地解决问题；解决周长的变化问题，学生暂时选择了“单位思想”，量化后再比较。这对于三年级的学生来说是可行的，毕竟智慧生长离不开方法的基础迁移。图形第二次的变化较为“剧烈”，原因不在面积（因为可以借助直观演示，运用概念直接判断），关键是周长的变化问题，在问题“与大正方形瓷砖相比，哪一部分一样长，哪一部分变化了？”的引导下，学生将“一周边线”解构成两个部分，先各个击破，然后再有机重构和推理。因为阶段结构认知和理解水平的局限，有时智慧生长仍然需要教师的适时点拨。图形第三次的变化较为“深远”，与前面变化不同的是，七巧板的分割内容和拼接情况更为复杂，这里不需要学生即时回答，而是留下“未完待续”的活动，巧妙地将学习从课堂引向课外，鼓励学生动手操作、对比思考和感悟规律。显然，这样处理，智慧生长的空间已经从“有限精彩”走向了“无限可能”。】

【本文系江苏省教育科学“十三五”规划重点课题“基于问题链驱动的小学生数学化学习的研究”阶段性成果（课题批准文号：C-b/2020/02/26）。】

（责编 金 铃）