1+1>2 ，联袂应用

利用基本不等式解决某些代数式的最值（或取值范围）问题，一直是解决此类问题中最为常用的解题方法.有些综合问题由于代数式比较复杂，难度有时比较大，需要较强的解题技巧与策略.换元思维就是其中的一个重要手段，成为破解代数式的最值（或取值范围）问题的一大技巧.

1三角换元

利用三角换元思维解题时，经常要对代数式进行合理的设元或配方等处理，将问题转化为三角函数问题，结合三角恒等变换并利用三角函数的图象与性质等来确定对应代数式的最值（或取值范围）.

例题（2024年山西省高三联合模拟数学试卷第16题）已知 agt;0，bgt;0 ，且 ，则 b-1的最小值为

分析：根据题设条件中代数关系式的结构特征，合理进行三角换元处理，将对应的参数表示为三角函数表达式，通过合理变形与转化并利用基本不等式来加以放缩处理与巧妙转化，进而得以确定对应的最值.利用三角换元法处理是解决该问题的一个基本切入点与解题方法.

解析：依题，由于 agt;0，bgt;0 ，且 ，利用三角换元可设 则有

利用基本不等式，可得 ，当且仅当 即 时等号成立，所以 b-1的最小值为8，故填答案8.

点评：若在问题题设中含有两个正项代数式之和为1（或某个特定的值）时，经常可以借助三角换元处理，先将代数问题转化为三角函数问题，然后利用三角函数的知识进行变形与转化，从而得以分析与求解，达到解题的目的.三角换元思维常常用来处理两数或两式和为定值的关系……