用导数解决的几类问题

王春辉 赵有刚 许秀萍

用导数解决的几类问题

王春辉1赵有刚1许秀萍2

导数与函数是高中内容的重要组成部分，是高考的热点，同时也是高中学习的重点与难点。它整合了高中所学的数形结合思想、转化与划归思想与分类讨论思想，是集这几大思想的统一体，是高中数学从研究一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数图像与性质基础上，通过导数对函数的单调性、极值和最值的把握，大体上描绘出函数的图像，利用数形结合的方式来解好此类题型。下面笔者将通过例题的方式分析出这种题的解题方式。

【考纲要求】1）导数在研究函数中的应用。①了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）。②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过3次），会求在闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过3次）。2）生活中的优化问题：会利用导数解决某些实际问题。3）定积分与微积分基本定理：①了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念；②了解微积分基本定理的含义。

热点一：已知函数求极值或最值

【例11】求函数的极值：

【分析】本题的步骤：求定义域、求导函数、求导函数零点、列表和求极值。本题是解决此类问题的“母题”。解法略。

热点二：利用导数研究函数单调性问题

【例22】（2010年山东文科数学）已知函数当a=−1时，求曲线在点（2,f(2)）处的切线方程。2）当时，讨论f(x)的单调性。

【分析】本小题主要考查导数的概念、导数的几何意义和利用导数研究函数性质的能力。考查分类讨论思想、数形结合思想和等价变换思想。解法略。

热点三：导数与参数取值范围

【例33】设函数

热点四：恒成立问题

【例44】(2009年山东文科数学)已知函数，其中a≠0。1）当a,b满足什么条件时，f(x)取得极值？2）已知a>0，且f(x)在区间(0,1]上单调递增，试用a表示出b的取值范围。

【分析】本题为三次函数，利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值，函数在区间上为单调函数，则导函数在该区间上的符号确定，从而转为不等式恒成立，再转为函数研究最值。运用函数与方程的思想、化归思想和分类讨论的思想解答问题。解法略。

热点五：导数应用题

【例55】（2009年湖南理科数学）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩。经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+x) x万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元。1）试写出y关于x的函数关系式；2）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？

【分析】导数在应用题中的应用。解法略。

热点六：零点应用问题

【例66】已知函数(a为常数)是R上的奇函数，函数是区间上的减函数。1）求a的值。2）若在上恒成立，求t的取值范围。3）讨论关于x的方程的根的个数。

【分析】利用导数研究函数图像问题。解法略。

热点七：探索性问题

【例77】设函数求 f( x)的单调区间和极值。2）是否存在实数a，使得关于x的不等式f( x)≥a的解集为(0,+∞)？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由。

【分析】本小题主要考查函数的导数、单调性、极值、不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力。解法略。

（作者单位：1 山东省淄博市临淄中学数学组；2山东省淄博市淄博工业学校）

10.3969/j.issn.1671-489X.2011.13.129