基于模糊先验的惩罚最大似然重建算法

张 丽

(山西大同大学物理与电子科学学院,山西大同037009)

0 引 言

近年来,由PET投影数据重建图像一直是国内外研究的热点。

目前重建算法主要分为解析法和迭代法。解析法的代表为滤波反投影重建(FBP),其在CT重建中有着广泛的应用,具有形式简单和成像速度快的优点,但是无法有效的抑制噪声[1]。迭代法的代表算法为最大似然估计(Maximum Likelihood,M LEM)重建算法[2]和最小二乘(LS)重建算法[3]等。但是他们由于缺乏有效的先验约束,在迭代重建过程中会出现噪声积累,从而所造成图像质量退化。为了解决迭代中图像质量恶化的问题,一些学者提出在图像迭代更新过程中引入合适的图像先验信息,这种先验具有抑制噪声、平滑图像的作用[4],常用的先验为二次型先验。虽然二次先验结构简单,但是容易过度平滑图像,丢失丰富的边缘信息,而非二次先验具有保持边缘的作用。可是先验函数中的阈值选择及其麻烦。鉴于此,本文在Hubber先验中运用模糊数学知识简化阈值的选择,形成了一个新的重建算法--基于模糊先验的惩罚最大似然重建算法。

1 惩罚最大似然算法

惩罚最大似然算法可以表示为:

其中

通过最优化方法进行求解,同时运用OSL算法[5],可得迭代公式:

本文选用具有保持边缘的Hubber先验[6],该先验属于非二次先验。Hubber先验的函数表达式为:

其中s为像素j的一个邻域,δ为先验的阈值。

2 基于模糊先验的惩罚最大似然重建算法

Hubber先验的阈值选取极其重要,现在常用的方法都是实验反复验证来选取合适的阈值。阈值的选取靠的是经验,这也增加了算法调试的难度。而本文将模糊知识与H ubber先验相结合来简化先验阈值的选取难度。

当图像受到噪声污染后,图像的不确定性在一定程度上表现为模糊性[7],因此,我们引入模糊熵来表示图像信息,计算Hubber先验的阈值。

模糊熵的数学表达式为:

其中J为图像的像素数,K值为像素数的倒数,μj表示像素j的隶属度。本文选取的隶属度函数为半升岭形函数:

其中 ‖ f‖j为像素j处的梯度模,‖ f‖m in和 ‖ f‖max分别为像素梯度模的最小值和最大值。A =‖ f‖min+‖ f‖max,B=‖ f‖max-‖ f‖min。我们经过实验反复验证,将Hubber先验中的阈值定义为:,Deep为图像的像素深度。

3 实验结果及分析

本实验利用shepp-logan模型产生所需的实验数据。模型大小为:128×128。投影参数:128个投影方向(均匀分布在0°～180°内)并且每个方向上有128个探测器对。利用公式Y*=AX*产生无噪声的观测数据,用该投影数据作为泊松变量的均值生成实际带噪声的投影数据[8],文中算法的初始值都为2。

3.1 评价准则

本文采用两个评估准则对重建图像进行评估。

1)信噪比(SNR)

图1 shepp-logan

其中μ表示重建图像的均值。

1)归一化均方误差(RM SE)

3.2 重建图像分析

本实验主要比较M LEM,PM L-QM,PM L-Hubber,PM L-FuzzyHubber四种重建算法的优缺点。为了便于对重建结果进行分析,三种方法都使用相同的均匀初始值2。PM L-QM,PM L-Hubber,PM LFuzzyHubber的β值分别取0.000 055,0.002,0.002 9,其中Hubber先验的阈值取0.002。

由图2可知,相对于M LEM算法,PM L-QM算法重建的图像噪声少,但是图像被过度平滑,丢失了边缘信息。PM L-FuzzyH ubber和PM L-H ubber算法重建的图像较平滑,同时保持了图像的边缘,有明显的细节特征,重建图像的质量明显好于M LEM和PM L_QM算法,而本文提出的PM L-FuzzyHubber算法噪声更少,图像质量好于传统的Hubber先验,且参数选取简单方便。这也说明了PM L-FuzzyHubber算法对噪声有很好的抑制作用,且具有保持边缘的作用,且算法简单,容易调试。

图3 体模图像及各算法的重建图像截面图

由图3可知,PM L-FuzzyHubber算法能够产生更好的结果,该算法重建的图像更接近原图。具有消除噪声和保持边缘的作用。

3.3 重建精度的比较

利用3.1中给出的两个评估准则对不同算法的重建图像进行定量分析,结果如表1所示。

表1 不同算法重建图像的定量分析

图4、5分别给出各个算法的RMSE和SNR的变化曲线。

由表1,图4、5可知,本文提出的算法的质量参数相比于其他算法优势非常明显,这也说明了算法的有效性。

4 结 论

基于模糊先验的惩罚最大似然估计重建算法(PM L-FuzzyHubber)能很好的抑制噪声,且具有保持图像边缘的作用,重建质量优于PM L-Hubber和PM L_QM算法。相对于传统的Hubber先验,FuzzyHubber先验无须手动设定阈值,这也简化了算法,降低了算法的调试难度。仿真结果也证明该算法达到了预期的目标,能自动的选择阈值,且重建图像要优于传统Hubber先验,这也说明了算法的有效性。

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