分类思想在苏教版小学数学教材中的应用

黄伟星

【摘 要】分类思想作为基本数学思想方法之一，在苏教版小学数学教材中的应用极其广泛，教师在理解教材编排特点的基础上，在教学中应明晰分类概念，遵循分类标准，在概念形成、规则理解、问题解决和整理与复习中，巧妙渗透分类思想，帮助学生初步形成分类思想。

【关键词】分类思想 应用

如何在小学数学中进行分类思想的教学，帮助学生积累初步的数学活动经验呢？依据苏教版小学数学教材的编写体例，结合自己的教学实践经验，谈些思考。

一、理解分类的概念及其要素

数学中的分类是指按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的一种思想方法。分类以比较为基础，通过比较识别出数学对象之间的异同点，然后根据相同点将数学对象归并为较大的类，根据差异点将数学对象划分为较小的类，从而将数学对象区分为具有一定从属关系的等级关系。分类要具有三个要素：⑴母项，即被划分的对象；⑵子项，即划分后所得的类概念；⑶根据，即划分的标准。

二、遵循分类的标准和原则

分类的关键在于正确地选择分类标准。一个科学的分类标准，必须能够将需要分类的数学对象进行不重复、无遗漏的划分。

1.不重复。对母项进行分类后得到的所有子项必须互相排斥，各个子项概念的外延之间是不相容的关系。从集合的角度看，被分成的任何两类之间不相交，即无共同元素。不重复，即要求分类应是纯粹的。

2.无遗漏。经分类所得的各子项之和必须与被分类的母项正好相等。从集合的角度看，分类后所得各概念（子项）的并集应等于被分概念（母项）外延的全集。否则会出现过宽或过窄的逻辑错误。无遗漏，即要求分类应是完备的，从量的方面要求一个不能少。

3.同一标准。在一次分类中只能根据同一标准，否则就会出现划分的结果重复或过宽的逻辑错误，使划分后的结果混淆不清。需要说明的是，“对同一数学对象，若选取不同的标准，可以得到不同的分类”，所指的是进行了不止一次分类。当有些数学对象比较复杂，仅仅进行一次分类，不足以将问题讨论清楚时，需要进一步对其中一类或几类继续分类，即进行多级分类。在多级分类中，常常采用“二分法”，也就是按某一性质的有无进行分类。

4.按层次逐步划分。分类应取被分类概念最邻近的概念按步骤进行，不能越级，应按层次逐步进行。

三、分类思想在教材中的应用

分类思想在苏教版小学数学教材中应用广泛。学生在学习数学的过程中经常会遇到分类问题，如数的分类、形的分类等；在研究数学问题中，常常需要通过分类讨论解决问题，分类的过程就是对事物共性的抽象过程。教学活动中，要密切联系上述教学内容，使学生逐步体会为什么要分类，如何分类，如何确定分类的标准，在分类的过程中如何认识对象的性质，如何区别不同对象的不同性质。通过多次反复的思考和长期的积累，使学生逐步感悟分类是一种重要的思想。学会分类，可以有助于学习新的数学知识，有助于分析和解决新的数学问题。具体教学建议如下：

1.分类讨论明确概念。如：教学“认识平行”时，可以先根据具体场景中一些物体的构造，抽象出平面上不重合的两条直线的两种位置关系。再引导学生从两条直线是否相交这一角度进行分类，认识同一平面内两条直线的两种位置关系：相交或不相交。在此基础上，描述两条直线互相平行的概念，使学生认识同一平面内不相交的两条直线互相平行。再如：教学“认识方程”时，可以先结合具体情境，逐步抽象出一些等式和不等式，含未知数的等式和不含未知数的等式，再引导学生从是否是等式，是否含有未知数两个维度进行两次分类，由此揭示方程的共同属性：既要含有未知数，又要是等式，并描述方程的概念，使学生认识到含有未知数的等式是方程。得出概念后，可以让学生通过讨论“等式和方程的关系”，体会到方程也是等式，进一步明晰方程的概念。

2.分类讨论探索规律。如：教学“找规律”中的“试一试”时，可将“试一试”适当改变，问题如下：任意拿几根小棒和几个圆片，在桌上摆成一排，使小棒和圆片一一间隔排列。数数小棒的根数和圆片的个数，看看有什么关系。学生活动结束后，教师可展示三种情况的多个例子：第一种是两端都是小棒的情况，第二种是两端都是圆片的情况，第三种是一端是小棒，另一端是圆片的情况。接着引导学生从两端物体是否相同这个角度，对上述例子进行分类，初步发现规律：两种物体一一间隔排列成一行，当两端物体相同时，位于两端的这种物体的个数比另一种物体多1；当两端物体不同时，这两种物体的个数相同。再应用一一对应的思想解释所发现的规律。课末，可以继续进行摆小棒和圆片的活动：任意拿几根小棒和几个圆片，在桌上摆成一圈，使小棒和圆片一一间隔排列。数数小棒的根数和圆片的个数，再次发现规律：两种物体一一间隔排列成一圈，这两种物体的个数相同。再将其展开，与两种物体一一间隔排列成一排，两端物体不同的情况进行对比，发现其本质相同。最后，将所发现的规律分类整理成下图：

3.分类讨论解决问题。如：教学用“一一列举”的策略解决杂志订阅方法的问题时，先要适当帮助学生弄清题意，再引导学生进行分类思考，将订阅情况分成三类：只订阅1本，订阅2本，订阅3本，最后按照分类情况一一列举，其中订阅2本的具体方法可以让学生一一列举并写下来，也可以让学生用符号或画图来表达自己的思考过程。通过这样的教学设计，体会分类列举的优势，帮助学生真正做到不重复、不遗漏。再如：教学用“假设和调整”的策略解决租船问题时，可以分成两种情况进行思考：第一种情况是从特殊情况入手解决问题，即假设所租的船都是大船或小船，第二种情况是从一般情况入手解决问题，即假设所租的船有大船，也有小船。问题解决后，先引导学生发现解决问题的方法：假设——比较——调整——检验，再引导学生体会解决此类问题时，从特殊情况入手比较简单。

4.分类形成知识结构。在总复习阶段，通过分类可以使数学知识条理化、系统化、结构化，有助于学生更好地掌握知识和形成良好的知识结构。如：复习“正比例和反比例”时，可以分类整理成下表，通过比较，帮助学生进一步明确正比例和反比例的概念。

帮助学生掌握分类思想是数学教学的重要目标之一，是学生不断经历、体验分类活动过程的结果。分类思想需要在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，需要在数学学习活动过程中逐步形成的。

（作者单位：江苏省无锡市教育科学研究院）

【摘 要】分类思想作为基本数学思想方法之一，在苏教版小学数学教材中的应用极其广泛，教师在理解教材编排特点的基础上，在教学中应明晰分类概念，遵循分类标准，在概念形成、规则理解、问题解决和整理与复习中，巧妙渗透分类思想，帮助学生初步形成分类思想。

【关键词】分类思想 应用

如何在小学数学中进行分类思想的教学，帮助学生积累初步的数学活动经验呢？依据苏教版小学数学教材的编写体例，结合自己的教学实践经验，谈些思考。

一、理解分类的概念及其要素

数学中的分类是指按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的一种思想方法。分类以比较为基础，通过比较识别出数学对象之间的异同点，然后根据相同点将数学对象归并为较大的类，根据差异点将数学对象划分为较小的类，从而将数学对象区分为具有一定从属关系的等级关系。分类要具有三个要素：⑴母项，即被划分的对象；⑵子项，即划分后所得的类概念；⑶根据，即划分的标准。

二、遵循分类的标准和原则

分类的关键在于正确地选择分类标准。一个科学的分类标准，必须能够将需要分类的数学对象进行不重复、无遗漏的划分。

1.不重复。对母项进行分类后得到的所有子项必须互相排斥，各个子项概念的外延之间是不相容的关系。从集合的角度看，被分成的任何两类之间不相交，即无共同元素。不重复，即要求分类应是纯粹的。

2.无遗漏。经分类所得的各子项之和必须与被分类的母项正好相等。从集合的角度看，分类后所得各概念（子项）的并集应等于被分概念（母项）外延的全集。否则会出现过宽或过窄的逻辑错误。无遗漏，即要求分类应是完备的，从量的方面要求一个不能少。

3.同一标准。在一次分类中只能根据同一标准，否则就会出现划分的结果重复或过宽的逻辑错误，使划分后的结果混淆不清。需要说明的是，“对同一数学对象，若选取不同的标准，可以得到不同的分类”，所指的是进行了不止一次分类。当有些数学对象比较复杂，仅仅进行一次分类，不足以将问题讨论清楚时，需要进一步对其中一类或几类继续分类，即进行多级分类。在多级分类中，常常采用“二分法”，也就是按某一性质的有无进行分类。

4.按层次逐步划分。分类应取被分类概念最邻近的概念按步骤进行，不能越级，应按层次逐步进行。

三、分类思想在教材中的应用

分类思想在苏教版小学数学教材中应用广泛。学生在学习数学的过程中经常会遇到分类问题，如数的分类、形的分类等；在研究数学问题中，常常需要通过分类讨论解决问题，分类的过程就是对事物共性的抽象过程。教学活动中，要密切联系上述教学内容，使学生逐步体会为什么要分类，如何分类，如何确定分类的标准，在分类的过程中如何认识对象的性质，如何区别不同对象的不同性质。通过多次反复的思考和长期的积累，使学生逐步感悟分类是一种重要的思想。学会分类，可以有助于学习新的数学知识，有助于分析和解决新的数学问题。具体教学建议如下：

1.分类讨论明确概念。如：教学“认识平行”时，可以先根据具体场景中一些物体的构造，抽象出平面上不重合的两条直线的两种位置关系。再引导学生从两条直线是否相交这一角度进行分类，认识同一平面内两条直线的两种位置关系：相交或不相交。在此基础上，描述两条直线互相平行的概念，使学生认识同一平面内不相交的两条直线互相平行。再如：教学“认识方程”时，可以先结合具体情境，逐步抽象出一些等式和不等式，含未知数的等式和不含未知数的等式，再引导学生从是否是等式，是否含有未知数两个维度进行两次分类，由此揭示方程的共同属性：既要含有未知数，又要是等式，并描述方程的概念，使学生认识到含有未知数的等式是方程。得出概念后，可以让学生通过讨论“等式和方程的关系”，体会到方程也是等式，进一步明晰方程的概念。

2.分类讨论探索规律。如：教学“找规律”中的“试一试”时，可将“试一试”适当改变，问题如下：任意拿几根小棒和几个圆片，在桌上摆成一排，使小棒和圆片一一间隔排列。数数小棒的根数和圆片的个数，看看有什么关系。学生活动结束后，教师可展示三种情况的多个例子：第一种是两端都是小棒的情况，第二种是两端都是圆片的情况，第三种是一端是小棒，另一端是圆片的情况。接着引导学生从两端物体是否相同这个角度，对上述例子进行分类，初步发现规律：两种物体一一间隔排列成一行，当两端物体相同时，位于两端的这种物体的个数比另一种物体多1；当两端物体不同时，这两种物体的个数相同。再应用一一对应的思想解释所发现的规律。课末，可以继续进行摆小棒和圆片的活动：任意拿几根小棒和几个圆片，在桌上摆成一圈，使小棒和圆片一一间隔排列。数数小棒的根数和圆片的个数，再次发现规律：两种物体一一间隔排列成一圈，这两种物体的个数相同。再将其展开，与两种物体一一间隔排列成一排，两端物体不同的情况进行对比，发现其本质相同。最后，将所发现的规律分类整理成下图：

3.分类讨论解决问题。如：教学用“一一列举”的策略解决杂志订阅方法的问题时，先要适当帮助学生弄清题意，再引导学生进行分类思考，将订阅情况分成三类：只订阅1本，订阅2本，订阅3本，最后按照分类情况一一列举，其中订阅2本的具体方法可以让学生一一列举并写下来，也可以让学生用符号或画图来表达自己的思考过程。通过这样的教学设计，体会分类列举的优势，帮助学生真正做到不重复、不遗漏。再如：教学用“假设和调整”的策略解决租船问题时，可以分成两种情况进行思考：第一种情况是从特殊情况入手解决问题，即假设所租的船都是大船或小船，第二种情况是从一般情况入手解决问题，即假设所租的船有大船，也有小船。问题解决后，先引导学生发现解决问题的方法：假设——比较——调整——检验，再引导学生体会解决此类问题时，从特殊情况入手比较简单。

4.分类形成知识结构。在总复习阶段，通过分类可以使数学知识条理化、系统化、结构化，有助于学生更好地掌握知识和形成良好的知识结构。如：复习“正比例和反比例”时，可以分类整理成下表，通过比较，帮助学生进一步明确正比例和反比例的概念。

帮助学生掌握分类思想是数学教学的重要目标之一，是学生不断经历、体验分类活动过程的结果。分类思想需要在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，需要在数学学习活动过程中逐步形成的。

（作者单位：江苏省无锡市教育科学研究院）

【摘 要】分类思想作为基本数学思想方法之一，在苏教版小学数学教材中的应用极其广泛，教师在理解教材编排特点的基础上，在教学中应明晰分类概念，遵循分类标准，在概念形成、规则理解、问题解决和整理与复习中，巧妙渗透分类思想，帮助学生初步形成分类思想。

【关键词】分类思想 应用

如何在小学数学中进行分类思想的教学，帮助学生积累初步的数学活动经验呢？依据苏教版小学数学教材的编写体例，结合自己的教学实践经验，谈些思考。

一、理解分类的概念及其要素

数学中的分类是指按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的一种思想方法。分类以比较为基础，通过比较识别出数学对象之间的异同点，然后根据相同点将数学对象归并为较大的类，根据差异点将数学对象划分为较小的类，从而将数学对象区分为具有一定从属关系的等级关系。分类要具有三个要素：⑴母项，即被划分的对象；⑵子项，即划分后所得的类概念；⑶根据，即划分的标准。

二、遵循分类的标准和原则

分类的关键在于正确地选择分类标准。一个科学的分类标准，必须能够将需要分类的数学对象进行不重复、无遗漏的划分。

1.不重复。对母项进行分类后得到的所有子项必须互相排斥，各个子项概念的外延之间是不相容的关系。从集合的角度看，被分成的任何两类之间不相交，即无共同元素。不重复，即要求分类应是纯粹的。

2.无遗漏。经分类所得的各子项之和必须与被分类的母项正好相等。从集合的角度看，分类后所得各概念（子项）的并集应等于被分概念（母项）外延的全集。否则会出现过宽或过窄的逻辑错误。无遗漏，即要求分类应是完备的，从量的方面要求一个不能少。

3.同一标准。在一次分类中只能根据同一标准，否则就会出现划分的结果重复或过宽的逻辑错误，使划分后的结果混淆不清。需要说明的是，“对同一数学对象，若选取不同的标准，可以得到不同的分类”，所指的是进行了不止一次分类。当有些数学对象比较复杂，仅仅进行一次分类，不足以将问题讨论清楚时，需要进一步对其中一类或几类继续分类，即进行多级分类。在多级分类中，常常采用“二分法”，也就是按某一性质的有无进行分类。

4.按层次逐步划分。分类应取被分类概念最邻近的概念按步骤进行，不能越级，应按层次逐步进行。

三、分类思想在教材中的应用

分类思想在苏教版小学数学教材中应用广泛。学生在学习数学的过程中经常会遇到分类问题，如数的分类、形的分类等；在研究数学问题中，常常需要通过分类讨论解决问题，分类的过程就是对事物共性的抽象过程。教学活动中，要密切联系上述教学内容，使学生逐步体会为什么要分类，如何分类，如何确定分类的标准，在分类的过程中如何认识对象的性质，如何区别不同对象的不同性质。通过多次反复的思考和长期的积累，使学生逐步感悟分类是一种重要的思想。学会分类，可以有助于学习新的数学知识，有助于分析和解决新的数学问题。具体教学建议如下：

1.分类讨论明确概念。如：教学“认识平行”时，可以先根据具体场景中一些物体的构造，抽象出平面上不重合的两条直线的两种位置关系。再引导学生从两条直线是否相交这一角度进行分类，认识同一平面内两条直线的两种位置关系：相交或不相交。在此基础上，描述两条直线互相平行的概念，使学生认识同一平面内不相交的两条直线互相平行。再如：教学“认识方程”时，可以先结合具体情境，逐步抽象出一些等式和不等式，含未知数的等式和不含未知数的等式，再引导学生从是否是等式，是否含有未知数两个维度进行两次分类，由此揭示方程的共同属性：既要含有未知数，又要是等式，并描述方程的概念，使学生认识到含有未知数的等式是方程。得出概念后，可以让学生通过讨论“等式和方程的关系”，体会到方程也是等式，进一步明晰方程的概念。

2.分类讨论探索规律。如：教学“找规律”中的“试一试”时，可将“试一试”适当改变，问题如下：任意拿几根小棒和几个圆片，在桌上摆成一排，使小棒和圆片一一间隔排列。数数小棒的根数和圆片的个数，看看有什么关系。学生活动结束后，教师可展示三种情况的多个例子：第一种是两端都是小棒的情况，第二种是两端都是圆片的情况，第三种是一端是小棒，另一端是圆片的情况。接着引导学生从两端物体是否相同这个角度，对上述例子进行分类，初步发现规律：两种物体一一间隔排列成一行，当两端物体相同时，位于两端的这种物体的个数比另一种物体多1；当两端物体不同时，这两种物体的个数相同。再应用一一对应的思想解释所发现的规律。课末，可以继续进行摆小棒和圆片的活动：任意拿几根小棒和几个圆片，在桌上摆成一圈，使小棒和圆片一一间隔排列。数数小棒的根数和圆片的个数，再次发现规律：两种物体一一间隔排列成一圈，这两种物体的个数相同。再将其展开，与两种物体一一间隔排列成一排，两端物体不同的情况进行对比，发现其本质相同。最后，将所发现的规律分类整理成下图：

3.分类讨论解决问题。如：教学用“一一列举”的策略解决杂志订阅方法的问题时，先要适当帮助学生弄清题意，再引导学生进行分类思考，将订阅情况分成三类：只订阅1本，订阅2本，订阅3本，最后按照分类情况一一列举，其中订阅2本的具体方法可以让学生一一列举并写下来，也可以让学生用符号或画图来表达自己的思考过程。通过这样的教学设计，体会分类列举的优势，帮助学生真正做到不重复、不遗漏。再如：教学用“假设和调整”的策略解决租船问题时，可以分成两种情况进行思考：第一种情况是从特殊情况入手解决问题，即假设所租的船都是大船或小船，第二种情况是从一般情况入手解决问题，即假设所租的船有大船，也有小船。问题解决后，先引导学生发现解决问题的方法：假设——比较——调整——检验，再引导学生体会解决此类问题时，从特殊情况入手比较简单。

4.分类形成知识结构。在总复习阶段，通过分类可以使数学知识条理化、系统化、结构化，有助于学生更好地掌握知识和形成良好的知识结构。如：复习“正比例和反比例”时，可以分类整理成下表，通过比较，帮助学生进一步明确正比例和反比例的概念。

帮助学生掌握分类思想是数学教学的重要目标之一，是学生不断经历、体验分类活动过程的结果。分类思想需要在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，需要在数学学习活动过程中逐步形成的。

（作者单位：江苏省无锡市教育科学研究院）