高中数学考试中的数列问题解题技巧分析

孙小星

引言：数列包含了需要重要的数学思想，在考试中对于数列知识的考察比较全面，在高考中具有逐渐加强的趋势。在考试中不仅考察数列极限、数学归纳法等基本的基础知识，而且常常和解析几何等知识结合起来，考查学生综合应用数学知识的能力。

一、递推数列的解题技巧

数列作为高中数学课程标准中的重要内容，具有起点低、难度大、技巧性强而且直观性不强的特点，常常是考试和竞赛中的热点内容。在数列问题中求通项公式是其中的核心内容，虽然等差数列和等比数列是学生常见的通项式形式，但是在实际的考试试题中数列的通项公式往往比较复杂。同时在解决数列问题时，常常需要先求出数列的通项公式，然后才能进一步的解决其它数学问题。

例1设数列{an}的前n项和为Sn，而且Sn=-bn+1- ，b是一个和n没有关系的常数，而且b≠1，请用n和b表示出an的表达式。

解： ；

整理可以得到a1= ；

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-b（an- an-1）+ ；

整理得 。

从而可以推得

通过不断的递推可以得到an=

从而可以得到

二、数列和不等式结合问题解题技巧

在数学试题中数列和不等式常常结合起来作为压轴题目出现，在数学试题中的比重比较大，因此应当重视数列和不等式的综合解题策略。同时在求解数列中的最值问题时，常常需要和不等式结合起来进行解决，通过建立相应的目标函数来得到最值，将数列问题转化为函数的问题，或者利用题目中的条件来确定不等式中的最值。

例2假设a>0，b>0，其中是3a、3b的等比中项，那么 的最小值为多少？

分析：根据等比中项的关系可以建立a，b之间的关系式，然后按照不等式求最值的方法求解即可。

解：由于3a·3b=3，所以可以得到a+b=1，

而且只有当 时，a=b才能成立。在本题目中不仅考察了指数函数和数列的知识，而且也考察了不等式求最值的知识，对于学生的变通能力具有比较高的要求。

数列和不等式证明的综合题目也是考试中常见的考察项目，在解决这类问题时常常利用比较的方法。特别是差值比较法是其中常见的方法，分析法和综合法也是其中常见的方法，此外还有放缩方法，通过适当的增加或者减少项数，扩大或者缩小分母的方法可以达到解题的目的。

例3已知数列{an}的前n项的和为Sn=2n2+2n，数列{bn}的前n项的和为Tn=2-bn。

（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；

（2）设cn=an·bn，试证明：当且仅当n≥3时，有cn+1

分析 由于可以求出an和bn的关系式，在求出之后可以得到cn的表达式，通过做商法来比较大小。

解：（1）由于a1=S1=4，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（2n2+2n-[2（n-1）2+2（n-1）]=4n，可以得到an=4n。

当n≥2时，bn=Tn-Tn-1=（2-bn）-（2- bn-1），可以得到2bn=bn-1所以数列{bn}是首项为1，公比为1/2的等比数列，从而可以得到 。

（2）由（1）可以得到

可以得到

；

由于 <1，从而可以得到

则n2-2n-1>0，即

n>1+ ，那么有n≥3。

又由于n≥3时， <1成立，所以 <1时，原式cn>0成立。

三、结语

数列不仅是高中数学重要的基础知识，而且其中还蕴涵了丰富的数学思想和方法，并且和其它的数学知识例如函数、方程、不等式等都具有比较密切的关系，而且还和微积分知识有着比较紧密的关系。同时随着信息技术的发展，数列作为数学中的基本知识得到了广泛的应用，而且也在经济、工科等方面的研究中占有重要的地位。数列知识是对递归序列的提升和系统化，它同时也推动了中学数学建模的发展，对于帮助提高学生分析和解决实际问题的能力都具有重要的促进作用。但是由于数列题型的变化比较复杂，在解题的过程中不仅要掌握好相关的数列知识，而且还应当掌握其它的数学知识，这样才能使有效的解决数列问题。

参考文献

[1] 徐伯衔.例谈数列中不等关系的解题思想[J].中学数学，2009（11）：317-318.

[2] 万丽娜，咸远峰.递推数列通项的九个模型[J].中国数学教育（高中版），2010（5）：168-169.

引言：数列包含了需要重要的数学思想，在考试中对于数列知识的考察比较全面，在高考中具有逐渐加强的趋势。在考试中不仅考察数列极限、数学归纳法等基本的基础知识，而且常常和解析几何等知识结合起来，考查学生综合应用数学知识的能力。

一、递推数列的解题技巧

数列作为高中数学课程标准中的重要内容，具有起点低、难度大、技巧性强而且直观性不强的特点，常常是考试和竞赛中的热点内容。在数列问题中求通项公式是其中的核心内容，虽然等差数列和等比数列是学生常见的通项式形式，但是在实际的考试试题中数列的通项公式往往比较复杂。同时在解决数列问题时，常常需要先求出数列的通项公式，然后才能进一步的解决其它数学问题。

例1设数列{an}的前n项和为Sn，而且Sn=-bn+1- ，b是一个和n没有关系的常数，而且b≠1，请用n和b表示出an的表达式。

解： ；

整理可以得到a1= ；

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-b（an- an-1）+ ；

整理得 。

从而可以推得

通过不断的递推可以得到an=

从而可以得到

二、数列和不等式结合问题解题技巧

在数学试题中数列和不等式常常结合起来作为压轴题目出现，在数学试题中的比重比较大，因此应当重视数列和不等式的综合解题策略。同时在求解数列中的最值问题时，常常需要和不等式结合起来进行解决，通过建立相应的目标函数来得到最值，将数列问题转化为函数的问题，或者利用题目中的条件来确定不等式中的最值。

例2假设a>0，b>0，其中是3a、3b的等比中项，那么 的最小值为多少？

分析：根据等比中项的关系可以建立a，b之间的关系式，然后按照不等式求最值的方法求解即可。

解：由于3a·3b=3，所以可以得到a+b=1，

而且只有当 时，a=b才能成立。在本题目中不仅考察了指数函数和数列的知识，而且也考察了不等式求最值的知识，对于学生的变通能力具有比较高的要求。

数列和不等式证明的综合题目也是考试中常见的考察项目，在解决这类问题时常常利用比较的方法。特别是差值比较法是其中常见的方法，分析法和综合法也是其中常见的方法，此外还有放缩方法，通过适当的增加或者减少项数，扩大或者缩小分母的方法可以达到解题的目的。

例3已知数列{an}的前n项的和为Sn=2n2+2n，数列{bn}的前n项的和为Tn=2-bn。

（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；

（2）设cn=an·bn，试证明：当且仅当n≥3时，有cn+1

分析 由于可以求出an和bn的关系式，在求出之后可以得到cn的表达式，通过做商法来比较大小。

解：（1）由于a1=S1=4，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（2n2+2n-[2（n-1）2+2（n-1）]=4n，可以得到an=4n。

当n≥2时，bn=Tn-Tn-1=（2-bn）-（2- bn-1），可以得到2bn=bn-1所以数列{bn}是首项为1，公比为1/2的等比数列，从而可以得到 。

（2）由（1）可以得到

可以得到

；

由于 <1，从而可以得到

则n2-2n-1>0，即

n>1+ ，那么有n≥3。

又由于n≥3时， <1成立，所以 <1时，原式cn>0成立。

三、结语

数列不仅是高中数学重要的基础知识，而且其中还蕴涵了丰富的数学思想和方法，并且和其它的数学知识例如函数、方程、不等式等都具有比较密切的关系，而且还和微积分知识有着比较紧密的关系。同时随着信息技术的发展，数列作为数学中的基本知识得到了广泛的应用，而且也在经济、工科等方面的研究中占有重要的地位。数列知识是对递归序列的提升和系统化，它同时也推动了中学数学建模的发展，对于帮助提高学生分析和解决实际问题的能力都具有重要的促进作用。但是由于数列题型的变化比较复杂，在解题的过程中不仅要掌握好相关的数列知识，而且还应当掌握其它的数学知识，这样才能使有效的解决数列问题。

参考文献

[1] 徐伯衔.例谈数列中不等关系的解题思想[J].中学数学，2009（11）：317-318.

[2] 万丽娜，咸远峰.递推数列通项的九个模型[J].中国数学教育（高中版），2010（5）：168-169.

引言：数列包含了需要重要的数学思想，在考试中对于数列知识的考察比较全面，在高考中具有逐渐加强的趋势。在考试中不仅考察数列极限、数学归纳法等基本的基础知识，而且常常和解析几何等知识结合起来，考查学生综合应用数学知识的能力。

一、递推数列的解题技巧

数列作为高中数学课程标准中的重要内容，具有起点低、难度大、技巧性强而且直观性不强的特点，常常是考试和竞赛中的热点内容。在数列问题中求通项公式是其中的核心内容，虽然等差数列和等比数列是学生常见的通项式形式，但是在实际的考试试题中数列的通项公式往往比较复杂。同时在解决数列问题时，常常需要先求出数列的通项公式，然后才能进一步的解决其它数学问题。

例1设数列{an}的前n项和为Sn，而且Sn=-bn+1- ，b是一个和n没有关系的常数，而且b≠1，请用n和b表示出an的表达式。

解： ；

整理可以得到a1= ；

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-b（an- an-1）+ ；

整理得 。

从而可以推得

通过不断的递推可以得到an=

从而可以得到

二、数列和不等式结合问题解题技巧

在数学试题中数列和不等式常常结合起来作为压轴题目出现，在数学试题中的比重比较大，因此应当重视数列和不等式的综合解题策略。同时在求解数列中的最值问题时，常常需要和不等式结合起来进行解决，通过建立相应的目标函数来得到最值，将数列问题转化为函数的问题，或者利用题目中的条件来确定不等式中的最值。

例2假设a>0，b>0，其中是3a、3b的等比中项，那么 的最小值为多少？

分析：根据等比中项的关系可以建立a，b之间的关系式，然后按照不等式求最值的方法求解即可。

解：由于3a·3b=3，所以可以得到a+b=1，

而且只有当 时，a=b才能成立。在本题目中不仅考察了指数函数和数列的知识，而且也考察了不等式求最值的知识，对于学生的变通能力具有比较高的要求。

数列和不等式证明的综合题目也是考试中常见的考察项目，在解决这类问题时常常利用比较的方法。特别是差值比较法是其中常见的方法，分析法和综合法也是其中常见的方法，此外还有放缩方法，通过适当的增加或者减少项数，扩大或者缩小分母的方法可以达到解题的目的。

例3已知数列{an}的前n项的和为Sn=2n2+2n，数列{bn}的前n项的和为Tn=2-bn。

（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；

（2）设cn=an·bn，试证明：当且仅当n≥3时，有cn+1

分析 由于可以求出an和bn的关系式，在求出之后可以得到cn的表达式，通过做商法来比较大小。

解：（1）由于a1=S1=4，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（2n2+2n-[2（n-1）2+2（n-1）]=4n，可以得到an=4n。

当n≥2时，bn=Tn-Tn-1=（2-bn）-（2- bn-1），可以得到2bn=bn-1所以数列{bn}是首项为1，公比为1/2的等比数列，从而可以得到 。

（2）由（1）可以得到

可以得到

；

由于 <1，从而可以得到

则n2-2n-1>0，即

n>1+ ，那么有n≥3。

又由于n≥3时， <1成立，所以 <1时，原式cn>0成立。

三、结语

数列不仅是高中数学重要的基础知识，而且其中还蕴涵了丰富的数学思想和方法，并且和其它的数学知识例如函数、方程、不等式等都具有比较密切的关系，而且还和微积分知识有着比较紧密的关系。同时随着信息技术的发展，数列作为数学中的基本知识得到了广泛的应用，而且也在经济、工科等方面的研究中占有重要的地位。数列知识是对递归序列的提升和系统化，它同时也推动了中学数学建模的发展，对于帮助提高学生分析和解决实际问题的能力都具有重要的促进作用。但是由于数列题型的变化比较复杂，在解题的过程中不仅要掌握好相关的数列知识，而且还应当掌握其它的数学知识，这样才能使有效的解决数列问题。

参考文献

[1] 徐伯衔.例谈数列中不等关系的解题思想[J].中学数学，2009（11）：317-318.

[2] 万丽娜，咸远峰.递推数列通项的九个模型[J].中国数学教育（高中版），2010（5）：168-169.