借题发挥 培养能力

陈慧

摘要：课堂教学中所讲的课本教材中的例题、习题不能简单的懂了就翻过去，而应该吃透、举一反三。本文谈谈借题发挥，培养学生的解题能力。

关键字：借题发挥；举一反三；培养能力

在初中数学教学中离不开例题、习题，而课本中举出的例题、习题都具有最典型的题目性质，所蕴含的教学内容也是非常丰富的，许多考试卷中的题目都是课本例题的演化、迁移的类型题；因此吃透课本教学中的类型题是很有必要的。

原题（苏科版八年级上册第38页习题9）

如图，点A、B在直线m的同侧，点是点B'关于m的对称点，AB'交m于点P

（1）AB'与AP+PB相等吗？为什么？

（2）在m上再取一点Q，并连接AQ与QB，比较AQ+QB与AP+PB的大小，并说明理由

根据这题我们可以得出结论：

如果两个点在一条直线的同一侧，对其中一个点做轴对称变换，把同侧点转化为异侧点，利用“两点之间线段最短”可以在已知直线上寻找到与同侧两点距离之和最短的点。

抽出数学模型：

已知直线m和直线m同侧两点A、B，在直线m上作一点M使AM+BM最小。

一、根据结论，直接应用

例1 如图：A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，分别向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺

设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？

分析：此题就是习题问题中的数学背景和模型，学生很容易找出M点的位置。再结合所学习的勾股定理很容易求出AM+BM的最小值，进一步求出总费用。

（通过对问题模型的直接练习，可以进一步加深学生对所学数学模型的理解。）

二、变换背景，灵活运用

题目的变换是多种多样的，一个类型题目我们要快速找出问题、分析问题、解决问题。

如，例2如图：在正方形ABCD中，AB=2，P是对角线AC上任意一点，若M是边AB的中点，求PM+PB的最小值。

分析：B、M是定点，且在定直线AC的同侧，P为定直线上的动点，完全符合习题中的数学模型。

由正方型的对称性可知，作B点关于AC的对称点必为点D，连结DM与AC的交点，就是所要找到的点P，此时PM+PB=PM+PD=DM，在直角△ADMZH中根据勾股定理易求PM+PB=DM=

变式：（四川、达州卷）在边长为2cm的正方形ABCD中，Q为BC边的中点，P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为_________。

分析：B、Q在直线AC同侧，动点P只能在AC上运动，△BPQ中，B、Q为定点，故BQ长不变，要使△PBQ周长最小，应使动点P到两定点B、Q之和PB+PQ最小，由例2可知，PB+PQ最小值为 ，则△BPQ的周长最小值为 +1.

例3（湖北、孝感卷）在平面直角坐标系中，有A（3，-2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n=____时，AC+BC的值最小。

分析：较之前面的问题，此题中“数学模型”较为隐蔽，对模型的识别主要靠问题本身。点C（1、n）是定直线l： X=1上的动点，而A，B是定点，且在定直线l的同侧，作点A（3，-2）关于定直线l的对称点A′（-1，-2），过A′B的直线y=0.8x—1.2与定直线l的交点即为所求的点，令x=1，可得n=-0.4.

三、拓展延伸，综合应用

通过对一道习题的应用、变化和延伸，这对提高学生的数学素养，发展学生的学习能力起到事半功倍的作用，同时也培养了学生综合运用知识的能力。

例4（浙江，衢州卷）如图，已知点A（-4，8）和点B（2，n）在抛物线上y=ax2.

（1）求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；

（2）平移抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C（-2，0）和点D（-4，0）是x轴上的两个定点.

①当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′最短，求此时抛物线的函数解析式；

②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由.

分析：第（1）小题完全具备习题中的数学模型，学生只要求出AP与X轴的交点坐标即为点O的坐标.

第（2）小题①：设将抛物线y=/12x2向左平移m个单位，则平移后A′，B′的坐标分别为A′（-4-m，8）和B′（2-m，2），点A′关于x轴对称点的坐标为A′′（-4-m，-8）.直线A′′B′的解析式为y=/53x+/53m-/43.要使A′C+CB′最短，点C应在直线A′′B′上，将点C（-2，0）代入直线A′′B′的解析式，解得m=14/5.故将抛物线y=/12x2向左平移14/5个单位时A′C+CB′最短，此时抛物线的函数解析式为y=/12（x+14/5）. ②左右平移抛物线

y=/12x2，

因为线段A′B′和CD的长是定值，所以要使四边形A′B′CD的周长最短，只要使A′D+CB′最短；

第1种情况：如果将抛物线向右平移，显然有A′D+CB′>AD+CB，因此不存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短.

第2种情况：设抛物线向左平移了b个单位，则点A′和点B′的坐标分别为A′（-4-b，8）和B′（2-b，2）。因为CD=2，因此将点B'向左平移2个单位得B''（-b，2），要使A'D+CB'最短，只要使A'D+DB''最短.点A'关于x轴对称点的坐标为A''（-4-b，-8），直线A''B''的解析式为

要使A'D+DB''最短，点D应在直线A''B''上，将点D（-4，0）代入直线A''B''的解析式，解得 .故将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形A'B'CD的周长最短，此时抛物线的函数解析式为

对于第（2）小题中的问题①学生严格按照习题中的数学模型来解答，思路清晰。对于第（2）小题中的问题②通过简单的动静转化，巧妙地创造了应用习题模型的条件，通过对数学模型的深层次挖掘，学生自觉学会分析问题结构，开拓模型应用思路的意识和创新能力。

摘要：课堂教学中所讲的课本教材中的例题、习题不能简单的懂了就翻过去，而应该吃透、举一反三。本文谈谈借题发挥，培养学生的解题能力。

关键字：借题发挥；举一反三；培养能力

在初中数学教学中离不开例题、习题，而课本中举出的例题、习题都具有最典型的题目性质，所蕴含的教学内容也是非常丰富的，许多考试卷中的题目都是课本例题的演化、迁移的类型题；因此吃透课本教学中的类型题是很有必要的。

原题（苏科版八年级上册第38页习题9）

如图，点A、B在直线m的同侧，点是点B'关于m的对称点，AB'交m于点P

（1）AB'与AP+PB相等吗？为什么？

（2）在m上再取一点Q，并连接AQ与QB，比较AQ+QB与AP+PB的大小，并说明理由

根据这题我们可以得出结论：

如果两个点在一条直线的同一侧，对其中一个点做轴对称变换，把同侧点转化为异侧点，利用“两点之间线段最短”可以在已知直线上寻找到与同侧两点距离之和最短的点。

抽出数学模型：

已知直线m和直线m同侧两点A、B，在直线m上作一点M使AM+BM最小。

一、根据结论，直接应用

例1 如图：A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，分别向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺

设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？

分析：此题就是习题问题中的数学背景和模型，学生很容易找出M点的位置。再结合所学习的勾股定理很容易求出AM+BM的最小值，进一步求出总费用。

（通过对问题模型的直接练习，可以进一步加深学生对所学数学模型的理解。）

二、变换背景，灵活运用

题目的变换是多种多样的，一个类型题目我们要快速找出问题、分析问题、解决问题。

如，例2如图：在正方形ABCD中，AB=2，P是对角线AC上任意一点，若M是边AB的中点，求PM+PB的最小值。

分析：B、M是定点，且在定直线AC的同侧，P为定直线上的动点，完全符合习题中的数学模型。

由正方型的对称性可知，作B点关于AC的对称点必为点D，连结DM与AC的交点，就是所要找到的点P，此时PM+PB=PM+PD=DM，在直角△ADMZH中根据勾股定理易求PM+PB=DM=

变式：（四川、达州卷）在边长为2cm的正方形ABCD中，Q为BC边的中点，P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为_________。

分析：B、Q在直线AC同侧，动点P只能在AC上运动，△BPQ中，B、Q为定点，故BQ长不变，要使△PBQ周长最小，应使动点P到两定点B、Q之和PB+PQ最小，由例2可知，PB+PQ最小值为 ，则△BPQ的周长最小值为 +1.

例3（湖北、孝感卷）在平面直角坐标系中，有A（3，-2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n=____时，AC+BC的值最小。

分析：较之前面的问题，此题中“数学模型”较为隐蔽，对模型的识别主要靠问题本身。点C（1、n）是定直线l： X=1上的动点，而A，B是定点，且在定直线l的同侧，作点A（3，-2）关于定直线l的对称点A′（-1，-2），过A′B的直线y=0.8x—1.2与定直线l的交点即为所求的点，令x=1，可得n=-0.4.

三、拓展延伸，综合应用

通过对一道习题的应用、变化和延伸，这对提高学生的数学素养，发展学生的学习能力起到事半功倍的作用，同时也培养了学生综合运用知识的能力。

例4（浙江，衢州卷）如图，已知点A（-4，8）和点B（2，n）在抛物线上y=ax2.

（1）求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；

（2）平移抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C（-2，0）和点D（-4，0）是x轴上的两个定点.

①当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′最短，求此时抛物线的函数解析式；

②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由.

分析：第（1）小题完全具备习题中的数学模型，学生只要求出AP与X轴的交点坐标即为点O的坐标.

第（2）小题①：设将抛物线y=/12x2向左平移m个单位，则平移后A′，B′的坐标分别为A′（-4-m，8）和B′（2-m，2），点A′关于x轴对称点的坐标为A′′（-4-m，-8）.直线A′′B′的解析式为y=/53x+/53m-/43.要使A′C+CB′最短，点C应在直线A′′B′上，将点C（-2，0）代入直线A′′B′的解析式，解得m=14/5.故将抛物线y=/12x2向左平移14/5个单位时A′C+CB′最短，此时抛物线的函数解析式为y=/12（x+14/5）. ②左右平移抛物线

y=/12x2，

因为线段A′B′和CD的长是定值，所以要使四边形A′B′CD的周长最短，只要使A′D+CB′最短；

第1种情况：如果将抛物线向右平移，显然有A′D+CB′>AD+CB，因此不存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短.

第2种情况：设抛物线向左平移了b个单位，则点A′和点B′的坐标分别为A′（-4-b，8）和B′（2-b，2）。因为CD=2，因此将点B'向左平移2个单位得B''（-b，2），要使A'D+CB'最短，只要使A'D+DB''最短.点A'关于x轴对称点的坐标为A''（-4-b，-8），直线A''B''的解析式为

要使A'D+DB''最短，点D应在直线A''B''上，将点D（-4，0）代入直线A''B''的解析式，解得 .故将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形A'B'CD的周长最短，此时抛物线的函数解析式为

对于第（2）小题中的问题①学生严格按照习题中的数学模型来解答，思路清晰。对于第（2）小题中的问题②通过简单的动静转化，巧妙地创造了应用习题模型的条件，通过对数学模型的深层次挖掘，学生自觉学会分析问题结构，开拓模型应用思路的意识和创新能力。

摘要：课堂教学中所讲的课本教材中的例题、习题不能简单的懂了就翻过去，而应该吃透、举一反三。本文谈谈借题发挥，培养学生的解题能力。

关键字：借题发挥；举一反三；培养能力

在初中数学教学中离不开例题、习题，而课本中举出的例题、习题都具有最典型的题目性质，所蕴含的教学内容也是非常丰富的，许多考试卷中的题目都是课本例题的演化、迁移的类型题；因此吃透课本教学中的类型题是很有必要的。

原题（苏科版八年级上册第38页习题9）

如图，点A、B在直线m的同侧，点是点B'关于m的对称点，AB'交m于点P

（1）AB'与AP+PB相等吗？为什么？

（2）在m上再取一点Q，并连接AQ与QB，比较AQ+QB与AP+PB的大小，并说明理由

根据这题我们可以得出结论：

如果两个点在一条直线的同一侧，对其中一个点做轴对称变换，把同侧点转化为异侧点，利用“两点之间线段最短”可以在已知直线上寻找到与同侧两点距离之和最短的点。

抽出数学模型：

已知直线m和直线m同侧两点A、B，在直线m上作一点M使AM+BM最小。

一、根据结论，直接应用

例1 如图：A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，分别向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺

设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？

分析：此题就是习题问题中的数学背景和模型，学生很容易找出M点的位置。再结合所学习的勾股定理很容易求出AM+BM的最小值，进一步求出总费用。

（通过对问题模型的直接练习，可以进一步加深学生对所学数学模型的理解。）

二、变换背景，灵活运用

题目的变换是多种多样的，一个类型题目我们要快速找出问题、分析问题、解决问题。

如，例2如图：在正方形ABCD中，AB=2，P是对角线AC上任意一点，若M是边AB的中点，求PM+PB的最小值。

分析：B、M是定点，且在定直线AC的同侧，P为定直线上的动点，完全符合习题中的数学模型。

由正方型的对称性可知，作B点关于AC的对称点必为点D，连结DM与AC的交点，就是所要找到的点P，此时PM+PB=PM+PD=DM，在直角△ADMZH中根据勾股定理易求PM+PB=DM=

变式：（四川、达州卷）在边长为2cm的正方形ABCD中，Q为BC边的中点，P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为_________。

分析：B、Q在直线AC同侧，动点P只能在AC上运动，△BPQ中，B、Q为定点，故BQ长不变，要使△PBQ周长最小，应使动点P到两定点B、Q之和PB+PQ最小，由例2可知，PB+PQ最小值为 ，则△BPQ的周长最小值为 +1.

例3（湖北、孝感卷）在平面直角坐标系中，有A（3，-2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n=____时，AC+BC的值最小。

分析：较之前面的问题，此题中“数学模型”较为隐蔽，对模型的识别主要靠问题本身。点C（1、n）是定直线l： X=1上的动点，而A，B是定点，且在定直线l的同侧，作点A（3，-2）关于定直线l的对称点A′（-1，-2），过A′B的直线y=0.8x—1.2与定直线l的交点即为所求的点，令x=1，可得n=-0.4.

三、拓展延伸，综合应用

通过对一道习题的应用、变化和延伸，这对提高学生的数学素养，发展学生的学习能力起到事半功倍的作用，同时也培养了学生综合运用知识的能力。

例4（浙江，衢州卷）如图，已知点A（-4，8）和点B（2，n）在抛物线上y=ax2.

（1）求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；

（2）平移抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C（-2，0）和点D（-4，0）是x轴上的两个定点.

①当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′最短，求此时抛物线的函数解析式；

②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由.

分析：第（1）小题完全具备习题中的数学模型，学生只要求出AP与X轴的交点坐标即为点O的坐标.

第（2）小题①：设将抛物线y=/12x2向左平移m个单位，则平移后A′，B′的坐标分别为A′（-4-m，8）和B′（2-m，2），点A′关于x轴对称点的坐标为A′′（-4-m，-8）.直线A′′B′的解析式为y=/53x+/53m-/43.要使A′C+CB′最短，点C应在直线A′′B′上，将点C（-2，0）代入直线A′′B′的解析式，解得m=14/5.故将抛物线y=/12x2向左平移14/5个单位时A′C+CB′最短，此时抛物线的函数解析式为y=/12（x+14/5）. ②左右平移抛物线

y=/12x2，

因为线段A′B′和CD的长是定值，所以要使四边形A′B′CD的周长最短，只要使A′D+CB′最短；

第1种情况：如果将抛物线向右平移，显然有A′D+CB′>AD+CB，因此不存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短.

第2种情况：设抛物线向左平移了b个单位，则点A′和点B′的坐标分别为A′（-4-b，8）和B′（2-b，2）。因为CD=2，因此将点B'向左平移2个单位得B''（-b，2），要使A'D+CB'最短，只要使A'D+DB''最短.点A'关于x轴对称点的坐标为A''（-4-b，-8），直线A''B''的解析式为

要使A'D+DB''最短，点D应在直线A''B''上，将点D（-4，0）代入直线A''B''的解析式，解得 .故将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形A'B'CD的周长最短，此时抛物线的函数解析式为

对于第（2）小题中的问题①学生严格按照习题中的数学模型来解答，思路清晰。对于第（2）小题中的问题②通过简单的动静转化，巧妙地创造了应用习题模型的条件，通过对数学模型的深层次挖掘，学生自觉学会分析问题结构，开拓模型应用思路的意识和创新能力。