《正余弦定理的应用（一）——距离测量问题》教学设计

董 强

甘肃省西和县第一中学，甘肃 西和742100

教学目标：

知识目标：能够运用正弦定理和余弦定理等解三角形知识，解决不可到达点的距离测量问题.

能力目标：能够将实际问题，尤其是距离测量问题转化成解三角形的问题进行解决。

情感目标：（1）通过本节课所学知识解决一些生活中的实际问题，让学生体会数学的实用性；

（2）通过小组讨论活动，培养学生的团队协作意识。

学情分析：

正余弦定理是高中数学中很重要的内容之一，在学生已经具备一些数学基本功的基础上，以正余弦定理本身为出发点，以其在实际生活中的应用为主线系统学习和掌握正余弦定理在诸如距离测量等的实际问题中的应用。数学建模的过程是一个长期学习的过程，学生对数学必修内容的学习即将结束的时候，数学建模意识已经建立起来并达到成熟，教科书在必修5 安排正余弦定理的应用是恰到好处，对教师的教和学都是有积极意义的。

教学重点：分析测量问题的实际背景，从而找到测量距离的方法。

教学难点：从实际问题中抽象出正确的数学模型，同时做到操作的可行性。

教学方法：小组讨论法、引导探究法、讲练结合法

教学过程：

一、复习回顾

（一）正弦定理

注：正弦定理可以解决以下的解三角形问题：

（1）已知三角形的任意两边和其中一边的对角；

（2）已知三角形的任意两角和一边。

（二）余弦定理

a2=b2+c2-2bc cosA

b2=a2+c2-2ac cosB

c2=a2+b2-2ab cosC

注：余弦定理可以解决以下的解三角形问题：

（1）已知三角形的三边；

（2）已知三角形的任意两边和一角。

（三）回顾小测

（1）在△ABC 中，若sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC的形状是______三角形。

（2）在△ABC 中，已知a=2，则bcosC+ccosB 等于______。

二、讲授新课

一些实际问题：

1.如何测量地球和月亮之间的距离；

2.怎样在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离；

3.怎样测量不可到达的两点之间的距离。

这将是我们今天要解决的问题。

例1：设A、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在A 的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出AC 的距离是55m，∠BAC=51°，∠ACB=75°，求A、B 两点间的距离（精确到0.1m）。

春天，一颗颗种子随手扔下，生根、发芽、长叶，精心料理，浇水施肥，理所当然会生长出各式各样的蔬菜。英老是这样想：子宫和菜地都是属于女人的，一个为男人传宗接代，一个需要女人辛辛苦苦耕耘一辈子。年复一年，菜地照常绿意葱葱，生机勃勃，而子宫就不一样了，和身体其他器官一样，它一天天走向衰老。更可怕的是，一头凶猛的野兽鲁莽地钻入了英衰老而脆弱的子宫，肆无忌惮地吞噬着她。

分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形.解：根据正弦定理，得

答：A、B 两点间的距离为65.7m。

点评：

1.是根据测量的需要适当确定的线段，称其为基线。

2.这是测量不能直接度量的两点的一种方案，可引申如下：

测量两点都不能到达的两点间距离，如下例.

例2：A、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间的距离的方法。

解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D 两点分别测得∠BCA=α，∠ACD=β，∠CDB=γ，∠BDA=δ.△ADC 在△BDC 中，应用正弦定理得：

计算出AC 和BC 后，再在△ABC 中，应用余弦定理计算出AB 两点间的距离

请同学们想一想，还有没有别的测量方法？

三、随堂练习

练习1、为了测量河宽，在岸的一边选定两点A、B，望对岸的标记物C，测得∠CAB=45°，∠CBA=75°，AB=120 米，则河宽为________米.

练习2、（2009 年宁夏高考）

为了测量两山顶M、N 间的距离，飞机沿水平方向在A、 B 两点进行测量，A、B、M、N 在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A、B 间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M、N 间的距离的步骤.

四、小结

解应用题的基本思路：

五、作业

P19习题1.2A 组1、2。

六、教后反思

本节课是继正弦定理和余弦定理之后的应用型的章节，是基于正余弦定理基础之上的知识应用层次，正余弦定理的应用是高中重要且实用的章节，是知识层次的最高要求.能将实际问题转化为解三角形的问题，通过解三角形来求解实际问题是本节课的重点，也是知识能力的最高要求，通过学情分析，结合教材难易程度设计了本课，通过教学过程可以发现，学生对知识的应用已经上了一个台阶，需要在练习的过程中再加要求.基于以上分析，以后备课授课的过程中教师应该注意以下几点：

首先，将课前测试科学合理地重视起来，做到新课前的小测巩固.这比单独的知识点的复习回顾效果明显，而且学生也有挑战感，让他们觉得自己是“跳起来吃到了桃子”，学生有成就感，教师也觉得开场有了激情，有了新课开演的前奏。

其次，例题的教学分层次展开是本节课的一大亮点，这样做，既降低了例题本身的难度，使得学生一节课后有一种自我整理为精华的感觉，更重要的是让学生在探究的过程中学会了化归思想，学会了如何将同类问题划归为基本问题。

再次，课前准备这一环节也是必不可少的，比如本节课中要用到的距离测量的钢卷尺或者皮尺，角度测量的测角仪等，有的学生平时很少接触，可能不是很熟悉，这样的图片给学生做一课前演示准备是很有必要的，这样做，无疑会让学生对新解决的问题产生“熟悉感”，会对新课的讲授起到一定的辅助作用。

最后，练习的设计符合递进式原则，从易到难，也符合学生的认知规律，学生从做练习的过程中既能体会到成就感，也能感受到挑战性.在练习中加入一定难度的高考题链接，是遵循了新课改的基本理念的，以能力为基本要求，以知识点为基本依托，做到知识和考题的前呼后应。

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