让类比为概念课添彩
——“直线的斜率”课堂实录及反思

☉江苏省溧水高级中学 刘琼

让类比为概念课添彩
——“直线的斜率”课堂实录及反思

☉江苏省溧水高级中学 刘琼

一、课堂教学实录

1．创设情境，诱导新知萌芽

师：在数学史上，曾经有这么几位数学家，他们雄心勃勃，想创造一种能解决世界上一切问题的方法，（展示笛卡儿的照片）法国著名的数学家笛卡儿就是其中的一位.他们的设想是这样的：“任何问题→数学问题→代数问题→方程问题→求解方程→得到结论”.如何用代数的方法来解决几何问题是他们遇到的难题之一.据说有一天，当笛卡儿躺在床上休息的时候，忽然看见墙角的蜘蛛网上有一只蜘蛛在爬来爬去，他突发奇想，假如在墙角的三根交线上分别标上刻度，不就能用有序数对来表示蜘蛛的位置了么？这一想可不得了，使得代数学和几何学联系在了一起，产生了解析几何学.笛卡儿的这种想法就是直角坐标系的雏形，有了直角坐标系，点就可以用数来表示，进而线与面也能用数来表示，从而使得用代数的方法来研究几何问题有了可能.（多媒体展示神舟十号绕月球运动的轨道，雄伟的南京长江大桥，错综复杂的现代立交桥等图片）

师：想成为伟大的建筑师么？想探索太空的奥秘么？

众生：想.

师：那么我们得进一步研究这些美妙的曲线，怎么研究它们呢？

生1：用方程.（不少学生已经做了预习，因此能很快答出）

师：我们将这些曲线放在笛卡儿的直角坐标系中，用代数的方法即大家所说的方程来研究这些曲线，便可以实现你们的梦想了.因此，本章解析几何内容的学习非常有用.今天我们先从最简单的曲线——直线入手.

问题1：怎样确定一条直线？

众生：两点.

师：很好，两点可以确定一条直线，（教师用三角板斜边两头的两点演示）如果只确定一点，再加一什么样的条件，直线也可以定下来？（教师继续用三角板旋转给予提示，借助三角板这一工具，学生理解起来更直观、更形象）

生2：方向.

师：非常好，已知一点，和一直线的方向即直线的倾斜程度，也可以确定一条直线.

问题2：从“数”的角度，怎样表示点？

生3：把它放在直角坐标系中，用点的坐标来表示点.

问题3：从“数”的角度，又用什么来刻画直线的倾斜程度呢？

师：这就是我们今天这节课研究的重点.

2．活动探究，让新知在类比中自然建构

图1

图2

图3

图4

（课件给出了我们生活中熟悉的一组图片：倾斜程度不同的楼梯以及滑滑梯）

师：这是我们每天都会上上下下很多次的楼梯，你喜欢爬哪一个？为什么？

众生：图2所示的，因为图2所示的平缓，图1所示的陡.

问题4：为什么说图1所示的更陡？你能给个让大家都心服口服的理由吗？（不少同学举手）

（多媒体演示，同时老师将简单的楼梯图形画到黑板上，以便接下来更形象地比较）

生4：楼梯宽度相同的时候，每一级越高越陡.

师：这两个楼梯宽度一定相同吗？不同怎么比？

生4：看它们的比值，每一级高度比宽度，比值越大越陡.（生4很得意地坐了下来）

师：太棒了，我们把每一级楼梯的高度叫级高，宽度叫级宽，实际上就是用级高/级宽来刻画楼梯的倾斜程度.（老师在黑板上板书，并将级高和级宽在图形中标出，即在一个直角三角形中标出）

师：这是我们儿时的最爱——滑滑梯，你更爱哪一个？

众生：图3.（大多数学生讲图3，也有几个胆小的讲图4，又有学生指着图4反驳，那个太没感觉了）

问题5：我们又怎样来刻画它们的倾斜程度呢？它没级高也没级宽.（有了楼梯作铺垫，举手的同学特别多）（老师将简单的滑滑梯图片画到楼梯的右边，方便比较）

生5：滑滑梯的整个高度比上它的宽度.（教师将其在图形中标出，发现又是一个直角三角形的两直角边之比）

师：这不正是我们平时所讲的坡度吗？（将问题的结论与我们的现实生活联系起来）

问题6：任一条直线，怎样刻画它的倾斜程度呢？（教师将直线画到最右边，方便比较）

〈学生活动〉：学生思考，小组合作交流，并呈现其成果.

生6：画一直角三角形，还是用高比宽.（教师将学生所说在黑板上展示出来，进一步引导）

师：怎么表示这个直角三角形的高与宽？

生6：两点的纵坐标之差作为三角形的高，横坐标之差作为三角形的宽.（教师示意停一下）

师：有问题吗？讲横坐标、纵坐标之前，你应该先干什么？（学生恍然大悟）

生6：哦！建系.

师：很好，就像没有学校，我们到哪儿去上课啊？用点的坐标之前我们得先创造条件——建系，好，现在请一位同学用数学的语言将其再表述一遍.

生7：先建立直角坐标系，在直线上取两点A（x1，y1）、B（x2，y2），过A点作x轴的垂线，过B点作y轴的垂线，交于P点，用

来刻画直线的倾斜程度.

师：表述得很好，我们将其叫做直线的斜率.（教师边板书边提问）

生8：x1≠x2时才能这么写.

师：哦！是的，太好了，用分式时要注意分母不为0，那么当x1=x2时，这条直线什么样子？有斜率吗？

众生：直线垂直于x轴，此时斜率不存在.

思考1：该比值的大小与A、B两点的选取有关吗？为什么？

众生：没有.

师：这一点我们可以用几何画板来验证（在直线上拖动A、B两点中任一点，发现结果都不变），你能给出具体解释吗？

生9：相似三角形对应边成比例.

师：很好，这样我们只要在直线上任选两点即可.

二、课后教学反思

1.提前渗透，启发引导

怎么想到把直线放到坐标系中去研究的呢？这是这一节课需要突破的难点.如果直接介绍斜率的概念，学生当然能接受，肯定也能运用公式来解决问题，但这样显得生硬而不自然.所以笔者的设想是适度回顾数学史，介绍笛卡尔直角坐标系的产生背景，让学生初步了解解析几何的研究思想，这样既为后面学生想到把直线放到直角坐标系中去研究作了铺垫，也起到了启发引导的作用.

2.类比生活，层层逼近，建构概念

直线的斜率概念的构建，过两点的斜率公式的推导是本节课的重点也是难点，因此怎样突出这个重点、突破难点是本节课的关键.笔者采用类比的思想，利用层层逼近的方法，从具体的生活实例到抽象的数学问题.先从学生最熟悉且天天接触的楼梯入手，直观比较其陡峭程度并从数学的角度进一步给出解释，学生不难想到用级高比级宽；然后把学生的思绪带到童年，我们的最爱——滑滑梯，长大后我们从数学的角度重新再来认识它，进一步激起学生的兴趣，为什么说这个坡陡点儿，那个平缓些？类比楼梯借助滑滑梯的高与宽作一个直角三角形，还是用高与宽之比来刻画，这实际上就是我们熟悉的坡度；最后才回到最抽象的任给一条直线，怎样刻画它的倾斜程度呢？这样有了前面两个作铺垫，便很容易想出在直线上任取两点，构造直角三角形，同样用两直角边的比，怎样刻画两直角边的长度呢？问题又来了，前面我们介绍的数学史也发挥作用了，放在直角坐标系中，借助点来表示，难题便迎刃而解.由楼梯中的现成的直角三角形→在滑滑梯中借助其高与宽作直角三角形→任一条直线上任取两点构造直角三角形，层层逼近，过渡很自然.

本节课教学效果非常好，即使是文科学生，反应也非常热烈.数学史的介绍，实际生活情境的引入，问题串的设计，核心问题的给出，师生间的对话等，都不同程度地起到了激发学生兴趣、明确研究意图、引领学生探究、自然建构新知、顺利衔接过渡的作用.